一道高考解析幾何題的幾點思考

李昭平

題目（2014年高考安徽卷理科數學第19題）：如圖，已知兩條拋物線E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.（Ⅰ）證明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

思考1：解法基礎，注重創新

直線與圓錐曲線的位置關系是高考考查解析幾何的核心內容，它充分體現了解析幾何“由數研形”和“由形研數”兩大基本思想.2014年高考安徽卷對解析幾何的考查也不例外.

本題主要考查直線與拋物線之間的位置關系、解方程組、平面幾何知識與向量在解析幾何中的運用，考查邏輯推理能力、提煉概括能力和運算求解能力.雖解法常規，但背景設計跳出了以往的傳統題型.以兩條拋物線為載體，通過研究直線與拋物線的位置關系，獲得三角形之間的平行與面積關系，融解幾、平幾、方程、向量等知識于一體，具有推陳出新之效. 考生的普遍反映是：“入手易、深入難”“會而不對、會而不全”.因此，從難度、區分度、新穎度和滿意度等幾個方面來看，此題是一道解法基礎、注重創新的好題.

思考2：多種思路， 體驗探究

思路（1）：運用向量法

（Ⅰ）設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），則 由y=k1x，

y2=2p1x，得A1

，

. 由 y=k1x，

y2=2p2x，得A2

，

.同理可得B1

，

，B2

，

.所以=

-

，

-

=2p1

-

，

-

，=

-

，

-

=2p2

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）由（I）知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1～△A2B2C2 . 因此=. 又由（I）中的=知=. 故=.

思路（2）：運用斜率法

A1

，

、A2

，

、 B1

，

、 B2

，

，

①當k1+k2≠0時，k[A B][1][1] ==，k[A B][2][2] ==，

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2]，A1B1∥A2B2 .

②當k1+k2=0時，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，故A1B1∥A2B2 .

綜合①②，知A1B1∥A2B2 .

（Ⅱ）的解法與上述相同，略去.

顯然，無論是思路（1）還是思路（2），聯立方程組求出A1、B、A2、B2的坐標是必須的.運用向量法，通過求出和的坐標，根據向量平行的充要條件獲證.運用斜率法，必須討論斜率存在和不存在兩種情況.從考生和閱卷反饋的信息來看，考生的得分率并不高.一是題面新、字母多、運算量較大；二是需要提煉概括規律；三是陷入求面積的表達式，沒有想到利用平面幾何中的相似，這是一個思維難點. 解題中， 讓考生體驗探究的過程，凸現考生的綜合能力.

思考3：聯想論證，獲得新知

聯想1： 已知兩個橢圓E1∶+=1（a>b>0）和 E2∶+=1（k>0）.過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.

（Ⅰ）證明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

解析：假設A1，A2和B1，B2均在第一象限.

（Ⅰ）設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），則 由y=k1x，

+

=1，得A1

，

.同理可得B1

，

，A2

，

，B2

，

，

所以=ab

-，

-，

=kab

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）同原題得到，= .

說明：上述橢圓E1和E2的離心率相同，稱為相似橢圓.聯想1是從拋物線向橢圓的類比.

聯想2： 已知兩條雙曲線和過原點的兩條直線E1∶-=1（a，b>0）和 E2∶-=1（k>0），過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點. （Ⅰ）A1B1∥A2B2； （Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

說明：上述雙曲線E1和E2的離心率相同，稱為相似雙曲線.聯想2是從拋物線向雙曲線的類比.解析過程與聯想1類似，大家自己完成，這里略去.

聯想3：已知兩條拋物線E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），過原點O的兩條直線l與E1，E2分別交于A1，A2兩點，B1，B2兩點分別在E1，E2上，且A1B1∥A2B2 .證明： O，B1，B2三點共線.

證明：設直線l的方程為y=kx（k≠0），則A1

，

， A2

，

.

設B1（， y1）， B2（， y2）. 由A1B1∥A2B2，得∥，所以·=0，即（-）·（y2-）-（-）·（y1-）=0，整理得（p1y2-p2y1）（ky1-2p1）（ky2-2p2）=0.因為（ky1-2p1）（ky2-2p2）≠0，所以p1y2=p2y1.而 =（，y1）， =（，y2）.

于是·y2-y1·=y1y2（-）=y1y2·=0，所以∥ .

故O，B1，B2三點共線.

說明： 聯想3是對原題進行逆向思考而得到的.

以上我們從一道高考題出發，通過分析、求解、聯想對其進行思考和研究，融觀察、猜想、證明于一體，三種圓錐曲線的和諧美和統一美盡現其中. 這給我們的啟示是： 高考題往往具有代表性、典型性和拓展性，備考復習中恰當地選用，對提高思維水平和綜合能力十分有益.

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校 徐國堅endprint

題目（2014年高考安徽卷理科數學第19題）：如圖，已知兩條拋物線E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.（Ⅰ）證明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

思考1：解法基礎，注重創新

直線與圓錐曲線的位置關系是高考考查解析幾何的核心內容，它充分體現了解析幾何“由數研形”和“由形研數”兩大基本思想.2014年高考安徽卷對解析幾何的考查也不例外.

本題主要考查直線與拋物線之間的位置關系、解方程組、平面幾何知識與向量在解析幾何中的運用，考查邏輯推理能力、提煉概括能力和運算求解能力.雖解法常規，但背景設計跳出了以往的傳統題型.以兩條拋物線為載體，通過研究直線與拋物線的位置關系，獲得三角形之間的平行與面積關系，融解幾、平幾、方程、向量等知識于一體，具有推陳出新之效. 考生的普遍反映是：“入手易、深入難”“會而不對、會而不全”.因此，從難度、區分度、新穎度和滿意度等幾個方面來看，此題是一道解法基礎、注重創新的好題.

思考2：多種思路， 體驗探究

思路（1）：運用向量法

（Ⅰ）設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），則 由y=k1x，

y2=2p1x，得A1

，

. 由 y=k1x，

y2=2p2x，得A2

，

.同理可得B1

，

，B2

，

.所以=

-

，

-

=2p1

-

，

-

，=

-

，

-

=2p2

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）由（I）知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1～△A2B2C2 . 因此=. 又由（I）中的=知=. 故=.

思路（2）：運用斜率法

A1

，

、A2

，

、 B1

，

、 B2

，

，

①當k1+k2≠0時，k[A B][1][1] ==，k[A B][2][2] ==，

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2]，A1B1∥A2B2 .

②當k1+k2=0時，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，故A1B1∥A2B2 .

綜合①②，知A1B1∥A2B2 .

（Ⅱ）的解法與上述相同，略去.

顯然，無論是思路（1）還是思路（2），聯立方程組求出A1、B、A2、B2的坐標是必須的.運用向量法，通過求出和的坐標，根據向量平行的充要條件獲證.運用斜率法，必須討論斜率存在和不存在兩種情況.從考生和閱卷反饋的信息來看，考生的得分率并不高.一是題面新、字母多、運算量較大；二是需要提煉概括規律；三是陷入求面積的表達式，沒有想到利用平面幾何中的相似，這是一個思維難點. 解題中， 讓考生體驗探究的過程，凸現考生的綜合能力.

思考3：聯想論證，獲得新知

聯想1： 已知兩個橢圓E1∶+=1（a>b>0）和 E2∶+=1（k>0）.過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.

（Ⅰ）證明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

解析：假設A1，A2和B1，B2均在第一象限.

（Ⅰ）設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），則 由y=k1x，

+

=1，得A1

，

.同理可得B1

，

，A2

，

，B2

，

，

所以=ab

-，

-，

=kab

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）同原題得到，= .

說明：上述橢圓E1和E2的離心率相同，稱為相似橢圓.聯想1是從拋物線向橢圓的類比.

聯想2： 已知兩條雙曲線和過原點的兩條直線E1∶-=1（a，b>0）和 E2∶-=1（k>0），過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點. （Ⅰ）A1B1∥A2B2； （Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

說明：上述雙曲線E1和E2的離心率相同，稱為相似雙曲線.聯想2是從拋物線向雙曲線的類比.解析過程與聯想1類似，大家自己完成，這里略去.

聯想3：已知兩條拋物線E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），過原點O的兩條直線l與E1，E2分別交于A1，A2兩點，B1，B2兩點分別在E1，E2上，且A1B1∥A2B2 .證明： O，B1，B2三點共線.

證明：設直線l的方程為y=kx（k≠0），則A1

，

， A2

，

.

設B1（， y1）， B2（， y2）. 由A1B1∥A2B2，得∥，所以·=0，即（-）·（y2-）-（-）·（y1-）=0，整理得（p1y2-p2y1）（ky1-2p1）（ky2-2p2）=0.因為（ky1-2p1）（ky2-2p2）≠0，所以p1y2=p2y1.而 =（，y1）， =（，y2）.

于是·y2-y1·=y1y2（-）=y1y2·=0，所以∥ .

故O，B1，B2三點共線.

說明： 聯想3是對原題進行逆向思考而得到的.

以上我們從一道高考題出發，通過分析、求解、聯想對其進行思考和研究，融觀察、猜想、證明于一體，三種圓錐曲線的和諧美和統一美盡現其中. 這給我們的啟示是： 高考題往往具有代表性、典型性和拓展性，備考復習中恰當地選用，對提高思維水平和綜合能力十分有益.

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校 徐國堅endprint

題目（2014年高考安徽卷理科數學第19題）：如圖，已知兩條拋物線E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.（Ⅰ）證明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

思考1：解法基礎，注重創新

直線與圓錐曲線的位置關系是高考考查解析幾何的核心內容，它充分體現了解析幾何“由數研形”和“由形研數”兩大基本思想.2014年高考安徽卷對解析幾何的考查也不例外.

本題主要考查直線與拋物線之間的位置關系、解方程組、平面幾何知識與向量在解析幾何中的運用，考查邏輯推理能力、提煉概括能力和運算求解能力.雖解法常規，但背景設計跳出了以往的傳統題型.以兩條拋物線為載體，通過研究直線與拋物線的位置關系，獲得三角形之間的平行與面積關系，融解幾、平幾、方程、向量等知識于一體，具有推陳出新之效. 考生的普遍反映是：“入手易、深入難”“會而不對、會而不全”.因此，從難度、區分度、新穎度和滿意度等幾個方面來看，此題是一道解法基礎、注重創新的好題.

思考2：多種思路， 體驗探究

思路（1）：運用向量法

（Ⅰ）設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），則 由y=k1x，

y2=2p1x，得A1

，

. 由 y=k1x，

y2=2p2x，得A2

，

.同理可得B1

，

，B2

，

.所以=

-

，

-

=2p1

-

，

-

，=

-

，

-

=2p2

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）由（I）知A1B1∥A2B2.同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1～△A2B2C2 . 因此=. 又由（I）中的=知=. 故=.

思路（2）：運用斜率法

A1

，

、A2

，

、 B1

，

、 B2

，

，

①當k1+k2≠0時，k[A B][1][1] ==，k[A B][2][2] ==，

所以k[A B][1][1] =k[A B][2][2]，A1B1∥A2B2 .

②當k1+k2=0時，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，故A1B1∥A2B2 .

綜合①②，知A1B1∥A2B2 .

（Ⅱ）的解法與上述相同，略去.

顯然，無論是思路（1）還是思路（2），聯立方程組求出A1、B、A2、B2的坐標是必須的.運用向量法，通過求出和的坐標，根據向量平行的充要條件獲證.運用斜率法，必須討論斜率存在和不存在兩種情況.從考生和閱卷反饋的信息來看，考生的得分率并不高.一是題面新、字母多、運算量較大；二是需要提煉概括規律；三是陷入求面積的表達式，沒有想到利用平面幾何中的相似，這是一個思維難點. 解題中， 讓考生體驗探究的過程，凸現考生的綜合能力.

思考3：聯想論證，獲得新知

聯想1： 已知兩個橢圓E1∶+=1（a>b>0）和 E2∶+=1（k>0）.過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點.

（Ⅰ）證明：A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

解析：假設A1，A2和B1，B2均在第一象限.

（Ⅰ）設直線l1，l2的方程分別為y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），則 由y=k1x，

+

=1，得A1

，

.同理可得B1

，

，A2

，

，B2

，

，

所以=ab

-，

-，

=kab

-

，

-

.

故=，所以A1B1∥A2B2.

（Ⅱ）同原題得到，= .

說明：上述橢圓E1和E2的離心率相同，稱為相似橢圓.聯想1是從拋物線向橢圓的類比.

聯想2： 已知兩條雙曲線和過原點的兩條直線E1∶-=1（a，b>0）和 E2∶-=1（k>0），過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點. （Ⅰ）A1B1∥A2B2； （Ⅱ）過原點O作直線l（異于l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點. 記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值.

說明：上述雙曲線E1和E2的離心率相同，稱為相似雙曲線.聯想2是從拋物線向雙曲線的類比.解析過程與聯想1類似，大家自己完成，這里略去.

聯想3：已知兩條拋物線E1∶y2=2p1x（p1>0）和E2∶y2=2p2x（p2>0），過原點O的兩條直線l與E1，E2分別交于A1，A2兩點，B1，B2兩點分別在E1，E2上，且A1B1∥A2B2 .證明： O，B1，B2三點共線.

證明：設直線l的方程為y=kx（k≠0），則A1

，

， A2

，

.

設B1（， y1）， B2（， y2）. 由A1B1∥A2B2，得∥，所以·=0，即（-）·（y2-）-（-）·（y1-）=0，整理得（p1y2-p2y1）（ky1-2p1）（ky2-2p2）=0.因為（ky1-2p1）（ky2-2p2）≠0，所以p1y2=p2y1.而 =（，y1）， =（，y2）.

于是·y2-y1·=y1y2（-）=y1y2·=0，所以∥ .

故O，B1，B2三點共線.

說明： 聯想3是對原題進行逆向思考而得到的.

以上我們從一道高考題出發，通過分析、求解、聯想對其進行思考和研究，融觀察、猜想、證明于一體，三種圓錐曲線的和諧美和統一美盡現其中. 這給我們的啟示是： 高考題往往具有代表性、典型性和拓展性，備考復習中恰當地選用，對提高思維水平和綜合能力十分有益.

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校 徐國堅endprint