關注發散思維 培養創新能力

汪君

［摘要］ 社會的發展與創新思維密切相關，而發散思維則是創新思維的堅實基礎. 數學學科的本質就是培養學生的思維能力，要培養學生的思維能力就必須提到發散思維. 簡言之，學生具備了發散思維能力，就具備了創新思維的潛質. 換句話說，數學學科在培養學生創新思維能力方面具有學科優勢.

［關鍵詞］ 發散思維；創新能力；數學教學

何謂發散思維呢？發散思維也稱“求異思維”，是創新思維的核心. 發散思維多指思維活動發揮作用的靈活性和廣闊程度，是一種不以常規尋求變異，尋求產生多種可能的答案或結論，而不是單一正確答案或結論的思維品質. 楊振寧教授說：“加強發散性思維的訓練，是培養學生創新思維能力的‘重點工程”.

既然發散思維如此重要，那么我們在指導學生學習數學之中，如何培養學生的發散思維呢？筆者在長期的數學教學實踐中可以從以下幾方面對學生進行養成訓練.

重視直覺思維的培養

直覺思維是人腦對于突然出現的新事物、新現象、新問題的一種迅速的識別，敏銳而深入的洞察，直接的本質理解和綜合的整體判斷. 換句話說，直覺思維就是直接領悟的思維認知. 這種思維的特征是快速、直接、跳躍、多向、綜合，含有很大的猜想成分，其過程是觀察→猜想→結論，從觀察到猜想的很短時間內產生許多想法或念頭. 數學教育心理學研究表明，三種數學思維中，直覺思維引起的發散性思維因素越多，直覺思維能力就越強，發散性思維能力也就越強. 教學教學過程中，教師應指導學生對問題作多方面的整體觀察和合理猜想. 選擇題的主要功能就是培養和訓練學生的直覺思維能力，因此，在數學教學中，應重視用選擇題提高學生的直覺思維能力. 教師在平時的教學中應適當應用選擇題訓練合理猜想技能，不能只在做試題或試題分析時重視它.

培養逆向思維

逆向思維是發散思維的一種重要形式，它是從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題的，表現為定義、定理、公式、法則，逆向進行推理，反向進行證明，從反方向形成新結論. 逆向思維是擺脫思維定式、突破舊有思維框架、產生新思想、發現新知識的重要思維方式. 逆向思維的訓練能使學生不受思維習慣的拘束，從而提高他們從反向考慮問題的自覺性.

例1?搖 如圖1所示，在△ABC中，∠B=2∠C，∠DAC=90°，求證：CD=2AB.

分析?搖 要證明CD=2AB成立，只需證明AB＝■CD即可，所以取CD的中點M，連結AM，則AM=DM=CM=■CD. 所以只需證明AB=CM或AB=AM或AB=DM即可. 由題設可知，易證AM=AB.

訓練側向思維

側向思維是發散思維的另一種形式，它是從知識之間的橫向相似聯系出發，即從同一學科的不同分支出發考察對象，或者用不同的學科知識去模擬、仿造或分析問題的思維方式. 側向思維利用了事物之間的相似性，它要求不同分支或不同學科的知識與方法能交叉起來，用其他領域的知識與方法來解決本領域的問題. 因此，在數學問題解決教學中，教師應引導學生加強知識之間的橫向聯系，重視側向思維的訓練，提高學生的創造能力.

聯想是一種立體思維，應引導學生帶著問題根據某些線索去進行聯想，這樣的訓練引人入勝，它可以使學生的思維廣闊，不拘一格，這對活躍思維、誘發創造因子的萌動大有益處.?搖

例2 （勾股定理）直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a 2+b 2=c 2. 老師如果照本宣科，讓學生自己看課本，學生也能看懂課本對定理的證明方法，但學生很難理解如何能想到這個證明方法. 這時，教師可引導學生從側向聯想.?搖

師：在以前我們的幾何證明中，證過這種形式的結論嗎？?搖

學生思考后回答：沒有. ?搖

師：那么，在以前所學的幾何運算中，大家在哪里見過形如“a 2”的式子呢？?搖

學生可能要經過一段時間的思考后才能回答：正方形的面積——S=a 2，圓的面積——S=πr 2.?搖

學生很快可以排除由直角三角形構成圓的面積法，那么就可以專心思考怎樣由直角三角形構造出正方形，這樣，學生利用幾個全等的直角三角形構造出正方形后可找到證明勾股定理的證明方法. 學生在拼正方形的過程中“不太聽話”，有不少同學拼出其他的幾何圖形，找到了不同的證明勾股定理的方法.?搖這樣，根據勾股定理的表達式結構形式“a 2”，引導學生側向思維，并進一步證明或否定，讓學生互相討論、研究，鼓勵他們敢于發表自己的獨立見解，從而找到證明命題的方法. 這對于學生求知欲的激發、學習興趣的產生和意志品質的培養都將產生良好的效果.

發展多向思維

發展多向思維是發散思維的典型形式，它是從盡可能多的方面來考查同一問題，使思維不局限于一種模式或一個方面，從而獲得多種解答或多種結果的思維方式. 多向思維在解決數學問題時有三種基本形式，即“一題多解”“一題多變”“一法多用”. 因此，在數學教學中，要讓學生對同一數學問題從不同的角度去觀察、去思考、去分析，以尋求不同的解決問題的方法，進行“一題多解”；也可以讓學生對數學問題通過改變條件或改變結論，進行“一題多變”，使學生廣泛聯想和類比，從而培養學生思維的靈活性和變通性. 同時，還可以指導學生“一法多用”，使學生在學習中做到舉一反三、觸類旁通.

在平時的學習和復習中，若注重對某些典型習題的多解性、多變性進行挖掘、引申，對題目進行加工、改造，不僅有利于將所學知識縱橫聯系、融會貫通，還有利于探究能力、發散思維能力與解決問題能力的培養.

例3?搖 如圖2所示，AB∥CD，∠B=60°，∠D=50°，求∠BED的度數.

解答?搖 解法一，如圖3所示，過點E作EF∥AB，則∠1=∠B=60°. 因為AB∥CD，EF∥AB，所以EF∥CD. 所以∠2＝∠D＝50°. 所以∠BED＝∠1+∠2＝60°+50°＝110°.

解法二，如圖4所示，延長BE交CD于點F，因為AB∥CD，∠B=60°，所以∠BFD=60°. 又∠D=50°，所以∠BED＝∠BFD+∠D=60°+50°=110°.

解法三，如圖5所示，過點B作BF⊥CD于點F，則∠BGE=∠DGF=90°-∠D=40°，∠EBG=∠ABG-∠ABE=90°-60°=30°. 所以∠E=180°-∠EBG-∠EGB=180°-30°-40°=110°.

解法四，如圖6所示，連結BD，因為AB∥CD，所以∠ABD+∠CDB=180°，即∠ABE+∠EBD+∠EDB+∠CDE=180°. 又∠EBD+∠EDB+∠BED=180°，所以∠BED=∠ABE+∠CDE=60°+50°=110°.

……

變式訓練1?搖 （圖形不變，改變條件或結論）如圖7所示，∠B+∠D=∠BED，求證：AB∥CD.

變式訓練2?搖 （改變圖形）（1）如圖8所示，AB∥CD，求證：∠B+∠E+∠D=360°.

（2）如圖8所示，∠B+∠E+∠D＝360°，求證：AB∥CD.

變式訓練3?搖 （隱去圖形，改為開放的探索性問題）已知AB∥CD，點E為直線AB和CD外一點，若∠EAB＝α，∠ECD＝β，求∠AEC.

分析?搖 由于本題沒有給出圖形，使得此題成為一道答案不確定的開放性探究題，應針對圖形的不同情況分類討論，逐一求解，本題的圖形可是圖9~圖11等各種圖形.

開展數學開放題教學，也是培養學生多向思維的有效途徑

數學開放題是指條件不充分、結論不確定、解題方法多樣化的題目. 數學開放題以其新穎的問題內容、生動的問題形式和問題解決的發散性，給解題者發揮創造性思維提供了廣闊空間，為培養解題者的發散思維能力提供了良好的載體. 數學開放題教學，有利于學生間的交流與合作，有利于培養學生的開拓精神，也有利于不同層次的學習者在解決問題中得到發展，都有自己的收獲，因此開放題受到了全世界數學教育界的高度重視.

例4（2006年漢川中考）如圖12所示，有下列四個條件：①AE=AD；②AB=AC；③OB=OC；④∠B=∠C. 請你以其中兩個為已知條件，第三個為結論，推出一個正確的命題：_________.

分析?搖 四個條件任取兩個，共有6種不同的組合，要求寫出相應的6種命題并一一進行研究，這是一個很有價值的研究性課題. 本題中只要求寫出一個命題，具有明顯的開放性. 通過證明△ABE≌△ACD，即可組建真命題①②→④；②④→①；①④→②等.

點評?搖 本題是條件和結論都開放的試題，可以充分考查學生對幾何知識點的整合能力，它一改過去的傳統模式，鼓勵探究、關注過程，體現了“不同的人在數學上得到不同的發展”這一新課程理念. 這類開放性試題旨在讓學生經歷多角度認識問題、多策略思考問題，嘗試解釋不同答案合理性的數學活動，培養和提高創新意識及自主探索新知識的能力.

當然，思維的內涵是豐富的，學生思維能力培養的途徑是多樣的，創新思維能力的養成也不是一成不變的. 我們追求學生思維能力的養成，但我們依然不必拘泥于任何形式的思維定式. 不過，我們還是相信這句話：數學學科具有培養學生創新思維學科的優勢. 培養學生良好的思維習慣是我們的追求，學生具有良好的思維養成是我們的欣慰，也是我們的職責.