一種思維規(guī)律在高中數學教學中的運用

麻昌義

【摘 要】在高中數學教學中，特殊與一般是相輔相成的，一般中包含著特殊，特殊也常常寓于一般，在求解一個特殊問題時，不要就題論題，應盡可能抓做其結論，或方法作些推廣，而在求解一個一眼不能望穿的一般問題時，則常需要從特殊中去尋求方法與思路，對一個問題，既要考慮一般性的方法，以適應解一類題，又要根據問題的具體特點，給出一些簡單、巧妙的解法進行這方面訓練、思路會更靈活，路會更多樣。

【關鍵詞】思維規(guī)律 數學教學 特殊與一般

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.069

特殊與一般是相輔相成的一種思維規(guī)律，一般中包含著特殊，特殊也常常寓于一般，在求解一個特殊問題時，不要就題論題，應盡可能抓做其結論，或方法作些推廣，而在求解一個一眼不能望穿的一般問題時，則常需要從特殊中去尋求方法與思路，對一個問題，既要考慮一般性的方法，以適應解一類題，又要根據問題的具體特點，給出一些簡單、巧妙的解法進行這方面訓練、思路會更靈活，路會更多樣。

一、從特殊絕對不能肯定一般嗎？

肯定一個全稱命題，通常須給予證明，不能采用舉例辦法，但是否對任何問題都不能用特殊來肯定一般呢？也不是，對選擇題，對一般情況正確的結論，對特殊情況必然正確（注意只有一個答案是正確情形）。

例1：數列1， 前n項和等于（ ）

A、 B、 C、 D、2

一般思路是先考慮通項an= ，后用裂項相消，其實只需令n=1便可排除A、C、D而選B。

例2：過拋物線y=ax2（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與QF的長度分別是p、q，則 等于（ ）

A、2a B、 C、4a D、

考慮過焦點的一條垂直于對稱軸的特殊直線，并由拋物線定義不難解得選C，否則就小題大做了。

例3：已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則（ ）

A、b∈（-∞，0） B、b∈（0，1） C、b∈（1，2） D、b∈（2，+∞）

取特殊函數f（x）=x（x-1）（x-2）展開比較得b=-3<0，故選A。

例4：函數f（x）=Msin（wx+φ）（w>0）在區(qū)間[a b]是增函數，且f（a）=-M，f（b）=M則函數g（x）=Mcos（wn+φ）在區(qū)間[a b]

A、可以是增函數 B、是減函數

C、可以取得最大值M D、可以取得最小值-M

略析：取w=1，φ=1，則[a，b]可視為[ ， ]，由f（x）=Msinx，g（x）=Mcos，x∈[ ， ]，易得x=0時，g（x）取得最大值M，不可能取得-M，g（x）在此區(qū)間既不是增函數，也不是減函數，選C。

二、特殊問題一般化

數學中的（不必數學）許多發(fā)現(xiàn)發(fā)明都是從特殊問題開始，而后一般化而得到的、學習的時候，應深刻領會概念、定義和定理的本質，盡力弄清它們與周圍知識之間的聯(lián)系，下面舉二個事例，作些推廣和深化。

例5：已知數列 計算s1，s2，s3，由此推測出Sn的公式，然后用數學歸納法證明這個公式。

我們把這個題改為求和

，大部份學生都采取折項相消得出了結論，本題可否伸展開去呢？

對于圓x2+y2=R2，設P（x0，y0）為坐標面的一點，當點P在圓上時，有x02+y02=R2點P在圓外時，有x02+y02>R2，點P（x0，y0）在圓內有x02+y02

則有（1）點P在橢圓內部時有

（2）點P在橢圓外部時有

（3）點P在橢圓上時有

運用這些結論處理問題就容易了。

三、一般問題從特殊開始

事實上，數學上的許多一般結論都是從一些簡單的事實，經過抽象、概括、歸納、推廣而得到的。因此，在求解某些問題時常采用先退為進的辦法，從特殊事例開始去尋找思路、途徑。

例6：如果a1，a2…an都是小于1的函數，而b1，b2…bn是這些數的某一種排列，那么所有的數（1-a1）b1，（1-a2）b2…（1-an）bn，不可能都大于 。

分析：先考慮特殊情況

因乘法滿足交換律，故有：

0<（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）bn=（1-a1）a1（1-a2）a2…（1-an）an≤（ ）n

顯然，不可能n個因式都大于 。