數學建模在高等數學中的應用

張芝華

摘要：數學模型是溝通實際問題與數學工具之間聯系的橋梁，是將數學理論知識應用于實踐的過程。如何在高等數學教學中體現數學建模思想呢？我們可以通過實例來建立數學模型，從而培養學生的數學建模意識，提高學生的數學運用能力和實踐能力。

關鍵詞：數學建模；高等數學；學生

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）09-0244-02

高等數學是高校經濟學專業的一門主要基礎課程，教學中一個重要任務就是培養學生的數學實際應用能力。數學模型則是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，實際上就是將數學理論知識應用于實踐的過程。如何在高等數學教學中體現數學建模思想，我認為可以從分析處理教材、組織教學內容、選擇教學方法等方面入手，在教學中注重培養學生的數學建模意識，意在提高學生的數學運用能力、實踐能力和創造能力，這是一個有效的方法。下面通過實例進行數學建模講解。

例1：計算復利息問題。

設本金為A0，利率為r，期數為t，如果每期結算一次，則本利和A為：A=A0（1+r）'.

如果每期結算m次，t期本利和Am為：Am=A0（1+■）m.

在現實世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產生立即結算，m→∞，得到下面的極限：■A0（1+■）m.

這個式子反映了現實世界中一些事物生長或消失的數量規律，因此，它不僅在數學理論上，而且在實際應用中都是很有用的極限。為了使問題簡化起見，在上式中，令n=■，則當m→∞時n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，問題歸結為求極限：■（1+■）n.

這個極限就是我們高等數學中講得重要極限，可以證明：■（1+■）n=e.

例2：養魚問題：某養殖場飼養兩種魚，若甲種魚放養 萬尾，乙種魚放養x萬尾，收獲時，兩種魚的收獲量分別為 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使產魚總量最大的放養數（α>β>0）。

解：設產魚總量為z，則z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由題設α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲、乙兩種魚的放養數。通過上例的分析我們看到利用多元函數的偏導數，來解決實際問題。

例3：廣告問題。設某產品銷售單價為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設產品經廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費A有關系式x=200■，求使產品經營利潤最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數為R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤函數為L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元），又L''=

-■A■<0知A*為最優的廣告投入，使利潤最大。

通過上例的分析我們看到利用極值可以求利潤最大問題，來解決實際問題。

例4：人口問題。Maltlhus于18世紀末在研究了人口統計資料后，提出在人口的自然增長過程中，單位時間內人口增長量與人口總數成正比。記時刻t的人口數量為N（t），考慮 t到t+Δt時間內人口的增長率量，根據Maltlhus理論，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r為比例系數，而增長量與Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解為N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數學最簡單的一階微分方程■=rx的模型，來解決實際問題。endprint

摘要：數學模型是溝通實際問題與數學工具之間聯系的橋梁，是將數學理論知識應用于實踐的過程。如何在高等數學教學中體現數學建模思想呢？我們可以通過實例來建立數學模型，從而培養學生的數學建模意識，提高學生的數學運用能力和實踐能力。

關鍵詞：數學建模；高等數學；學生

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）09-0244-02

高等數學是高校經濟學專業的一門主要基礎課程，教學中一個重要任務就是培養學生的數學實際應用能力。數學模型則是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，實際上就是將數學理論知識應用于實踐的過程。如何在高等數學教學中體現數學建模思想，我認為可以從分析處理教材、組織教學內容、選擇教學方法等方面入手，在教學中注重培養學生的數學建模意識，意在提高學生的數學運用能力、實踐能力和創造能力，這是一個有效的方法。下面通過實例進行數學建模講解。

例1：計算復利息問題。

設本金為A0，利率為r，期數為t，如果每期結算一次，則本利和A為：A=A0（1+r）'.

如果每期結算m次，t期本利和Am為：Am=A0（1+■）m.

在現實世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產生立即結算，m→∞，得到下面的極限：■A0（1+■）m.

這個式子反映了現實世界中一些事物生長或消失的數量規律，因此，它不僅在數學理論上，而且在實際應用中都是很有用的極限。為了使問題簡化起見，在上式中，令n=■，則當m→∞時n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，問題歸結為求極限：■（1+■）n.

這個極限就是我們高等數學中講得重要極限，可以證明：■（1+■）n=e.

例2：養魚問題：某養殖場飼養兩種魚，若甲種魚放養 萬尾，乙種魚放養x萬尾，收獲時，兩種魚的收獲量分別為 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使產魚總量最大的放養數（α>β>0）。

解：設產魚總量為z，則z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由題設α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲、乙兩種魚的放養數。通過上例的分析我們看到利用多元函數的偏導數，來解決實際問題。

例3：廣告問題。設某產品銷售單價為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設產品經廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費A有關系式x=200■，求使產品經營利潤最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數為R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤函數為L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元），又L''=

-■A■<0知A*為最優的廣告投入，使利潤最大。

通過上例的分析我們看到利用極值可以求利潤最大問題，來解決實際問題。

例4：人口問題。Maltlhus于18世紀末在研究了人口統計資料后，提出在人口的自然增長過程中，單位時間內人口增長量與人口總數成正比。記時刻t的人口數量為N（t），考慮 t到t+Δt時間內人口的增長率量，根據Maltlhus理論，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r為比例系數，而增長量與Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解為N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數學最簡單的一階微分方程■=rx的模型，來解決實際問題。endprint

摘要：數學模型是溝通實際問題與數學工具之間聯系的橋梁，是將數學理論知識應用于實踐的過程。如何在高等數學教學中體現數學建模思想呢？我們可以通過實例來建立數學模型，從而培養學生的數學建模意識，提高學生的數學運用能力和實踐能力。

關鍵詞：數學建模；高等數學；學生

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）09-0244-02

高等數學是高校經濟學專業的一門主要基礎課程，教學中一個重要任務就是培養學生的數學實際應用能力。數學模型則是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，實際上就是將數學理論知識應用于實踐的過程。如何在高等數學教學中體現數學建模思想，我認為可以從分析處理教材、組織教學內容、選擇教學方法等方面入手，在教學中注重培養學生的數學建模意識，意在提高學生的數學運用能力、實踐能力和創造能力，這是一個有效的方法。下面通過實例進行數學建模講解。

例1：計算復利息問題。

設本金為A0，利率為r，期數為t，如果每期結算一次，則本利和A為：A=A0（1+r）'.

如果每期結算m次，t期本利和Am為：Am=A0（1+■）m.

在現實世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產生立即結算，m→∞，得到下面的極限：■A0（1+■）m.

這個式子反映了現實世界中一些事物生長或消失的數量規律，因此，它不僅在數學理論上，而且在實際應用中都是很有用的極限。為了使問題簡化起見，在上式中，令n=■，則當m→∞時n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，問題歸結為求極限：■（1+■）n.

這個極限就是我們高等數學中講得重要極限，可以證明：■（1+■）n=e.

例2：養魚問題：某養殖場飼養兩種魚，若甲種魚放養 萬尾，乙種魚放養x萬尾，收獲時，兩種魚的收獲量分別為 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使產魚總量最大的放養數（α>β>0）。

解：設產魚總量為z，則z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由題設α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲、乙兩種魚的放養數。通過上例的分析我們看到利用多元函數的偏導數，來解決實際問題。

例3：廣告問題。設某產品銷售單價為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設產品經廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費A有關系式x=200■，求使產品經營利潤最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數為R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤函數為L=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元），又L''=

-■A■<0知A*為最優的廣告投入，使利潤最大。

通過上例的分析我們看到利用極值可以求利潤最大問題，來解決實際問題。

例4：人口問題。Maltlhus于18世紀末在研究了人口統計資料后，提出在人口的自然增長過程中，單位時間內人口增長量與人口總數成正比。記時刻t的人口數量為N（t），考慮 t到t+Δt時間內人口的增長率量，根據Maltlhus理論，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r為比例系數，而增長量與Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解為N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數學最簡單的一階微分方程■=rx的模型，來解決實際問題。endprint