探究式拉格朗日中值定理的論證

秦玉琨 趙雪華

【摘要】拉格朗日中值定理也稱微分中值定理，在高等數(shù)學中占有重要地位.本文主要是利用探究法借助繪圖軟件觀察總結得出拉格朗日中值定理的結論，進而論證該定理.

【關鍵詞】拉格朗日中值定理;探究式;繪圖軟件

拉格朗日中值定理是微分學中的重要定理，它與羅爾定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理.內容上，它是羅爾定理的推廣，也是聯(lián)系函數(shù)與導數(shù)的橋梁.該定理的應用不僅在高等數(shù)學方面，它還廣泛地應用于多個學科領域中，如數(shù)論、群論、流體力學等.拉格朗日中值定理是理工科院校高等數(shù)學課程中的重要內容，也是一個重點、難點內容.重點是因為它是微分學的理論基礎，在進行一些公式推導與定理證明中都有很多應用;難點在于定理結論的得出以及推導論證的方法，學生不容易理解掌握.基于這種情況，本文提出了與傳統(tǒng)教學法不同的探究式教學法講解學習拉格朗日中值定理.

一、拉格朗日中值定理的傳統(tǒng)式講解法

傳統(tǒng)式講解法是先給出定理內容，再進行定理條件分析，最后論證定理結論.

為了便于說明，我們先給出羅爾定理和拉格朗日定理.

羅爾定理 如果函數(shù) f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b）內可導;（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在 （a，b） 內至少存在一點a<ξ

拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b） 內可導，那么在（a，b）內至少存在一點a<ξ

許多高等數(shù)學教材都是在給出羅爾定理內容、幾何含義及證明后，提出如果去掉羅爾定理中的第三個條件，即區(qū)間兩端點函數(shù)值相等，會得到一個新的定理即拉格朗日中值定理，然后是拉格朗日定理的幾何圖形表示，證法討論，構造輔助函數(shù)進行定理證明.這種先給出定理再根據(jù)定理條件畫幾何圖形進行分析論證的過程，不符合從感性認識到理性認識的認知過程，學生只能是被動地接受，限制了學生的思考探究，也不利于學生學習積極性的調動，使學生很難參與到這樣一堂純數(shù)學理論的學習中來.直接給出結論是灌輸式的教法，不利于學生學習能力的培養(yǎng).下面介紹一種探究式的教學法，這種方法可以鍛煉學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

二、拉格朗日中值定理的探究式教學法

本文采用探究式教學法，其具體研究方法是先提出問題，再進行探究實驗，接下來進行歸納總結，最后論證結論.

1.提出問題

首先讓學生回憶羅爾定理的內容及幾何含義.學生思考回答后，教師可以利用多媒體在屏幕上展示羅爾定理內容及幾何含義的圖形.由羅爾定理的學習學生已經(jīng)知道，若定理的三個條件全部滿足，則在函數(shù)曲線上至少存在一點C，過C點的切線與區(qū)間兩端點A，B連成的割線平行.這時可引導學生觀察羅爾定理的幾何圖像提出問題：如果去掉定理中的第三個條件，即區(qū)間兩端點函數(shù)值相等，是否還有切線與曲線兩端點連成的割線平行？這時學生很自然地會想到去掉兩端點相等的條件限制，那么端點A和B可能等高，也可能不等高.等高時是羅爾定理，不等高時結論會有什么變化？這個問題的提出可以引發(fā)學生的探究興趣，但準確得出結論還有很大的困難，讓學生帶著疑問去觀察接下來的動態(tài)演示的數(shù)學實驗可以給學生形象直觀的認識，進而突破難點.

2.探究實驗

具體做法是：利用繪圖軟件，任選一個滿足羅爾定理條件（1）（2）的具體函數(shù)，繪制該函數(shù)圖像，在這條連續(xù)光滑的曲線上任意截取兩點A，B，取這兩點的橫坐標構造區(qū)間a，b，連接AB得到曲線的一條割線，在曲線弧AB上任取一點C，過C點作出曲線的切線和割線AB的平行線，如圖所示.接下來只需將點C從一個端點沿曲線AB移到另一個端點，觀察過C點的兩條線能否重合;若重合，次數(shù)是不是唯一的.可以改變不同端點值，重復實驗幾次.這一過程可以先由教師示范，學生觀察.然后邀請學生自己改變曲線端點值，親自動手實驗.有條件的話，最好將學生分成不同的組，每組取可以取不同的函數(shù)演示操作.這樣既增加了學生參與的人數(shù)，調動了學習積極性，同時也可以在有限的時間里讓學生看到更多的不同的實驗結果，增加學生合作交流的機會，培養(yǎng)學生的團隊意識.

探究實驗操作示意圖

3.歸納總結

通過實驗的直觀觀察，學生不難總結得出這樣的結論：對于自己所取的函數(shù)曲線AB，在開區(qū)間（a，b）內至少存在一點，過該點的切線與割線AB平行.這時教師可以進一步提出問題：實驗不管取多少函數(shù)都是某個具體的函數(shù)，結論具有特殊性，但實驗結論給我們很好的啟示.能否將結論推廣到滿足條件的一般函數(shù)？引導學生深入思考.讓學生由感性認識上升到理性認識，掌握由特殊到一般的研究方法.進一步啟發(fā)學生論證所有得用數(shù)學的推理證明，可以先設一個命題：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b） 內可導，那么在（a，b）內至少存在一點a<ξ

4.論證結論

下面對這一命題進行證法分析.對這一命題的證明過程，實際上就是拉格朗日中值定理的證明過程，主要把握利用羅爾定理，構造符合該定理的輔助函數(shù).輔助函數(shù)的構造方法有很多，這里就不一一介紹了，在探究式的基礎上，介紹給學生一種較易想到的輔助函數(shù)構造方法.由結論出發(fā)，要想f′ξ=f（b）-f（a）b-a→f′ξ-f（b）-f（a）b-a=0，令φ′（x）=f′ξ-f（b）-f（a）b-a，則需φ′（x）=0，這時可以提出問題：使φ′（x）=0得函數(shù)是常函數(shù)，即φ（x）=C，可取C=0，從而φ（x）=f（x）-f（b）-f（a）b-ax，不難驗證φ（a）=bf（a）-af（b）b-a=φ（b）滿足羅爾定理條件.

證：作輔助函數(shù)φ（x）=f（x）-f（b）-f（a）b-ax，由命題條件可推得φ（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b） 內可導，且φ（a）=bf（a）-af（b）b-a=φ（b），即φ（x）滿足羅爾定理的三個條件，則在（a，b） 內至少存在一點a<ξ

這樣學生經(jīng)過探究實驗，歸納推理，得出結論：該命題是真命題.教師這時可以告訴學生這個證明過的真命題就是拉格朗日中值定理.

利用探究式學習知識時，可以適當引入數(shù)學常識的一些相關知識，既豐富了學生的知識面，也培養(yǎng)了學生的數(shù)學情感.比如在講解拉格朗日中值定理時，可以介紹數(shù)學家拉格朗日的生平貢獻，還可以引入和實際相關的問題，插入一些視頻文件，豐富課堂教學.筆者曾在課堂教學中給學生介紹衛(wèi)星發(fā)射的最佳位置拉格朗日點，以及我國發(fā)射嫦娥系列衛(wèi)星的新聞視頻，效果很好.

三、結 語

授人以魚不如授人以漁.探究式的研究方法與傳統(tǒng)方法相比，能更好地引導學生思考，提高學生分析問題、解決問題的能力，是今后教學中更值得研究探討提倡的方法，但是整個設計過程要適合學生的實際能力，對教師素質提出了更高的要求，要求教師要在教學過程中不斷探索、反思，努力提升自己的專業(yè)技能.

【參考文獻】

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上冊）.高等教育出版社，2007年4月第6版：129-131.

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[3] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義（上冊）.高等教育出版社，1992年6月第3版：203-207.