數學建模思想在高等數學教學改革中的應用

馮英華

摘 要：在高等數學教學中引入數學建模和案例教學的理念，有助于從思想上改變學生的數學認知，從而改變以往的理論教學方式。文章從數學與數學建模思想出發，分析了傳統教學的弊端，并提出了數學建模思想在高等數學教學改革中的應用策略。

關鍵詞：高等數學；教學改革；數學建模

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2014）10-0017-02

高等數學是本、專科院校中的一門基礎學科，以往在課堂上只是給學生講解一些理論性的知識，學生在課堂上沒有活力、不活躍。其實，數學是充滿活力的。而現行的教學中教師掐頭去尾，沒有了問題的來源，沒有了知識的應用，只留下了算法與運算，學生感受到的除了做題還是做題。學生學習目的不明確，除了應對考試外，學后感到學而無用、學而不會用，對數學的感覺是枯燥和畏懼。因此，我們可以在教學過程中適當地融入一些生活中的建模案例，使理論與實際相結合，讓學生在學知識的同時還要會用知識，真正地感受到數學的魅力，從思想上改變學生以前對數學的認知[1]。

一、數學與數學建模思想

我們通過學習數學來培養自己的能力，而不是為了各種考試的需求。但是在真正的學習過程中，學生對數學有一種畏懼的心理，我們引入數學建模思想，目的就是讓數學更加生活化、人文化，將理論問題現實化。

大學生數學建模競賽就是這樣一個用所學知識去解決現實問題的比賽，可以查詢資料，它改變了以往的考試形式，是真正的知識利用。在新生第一堂課上，給學生介紹什么是數學建模，介紹一些比較生活化、實際化的建模案例。讓學生從開始就認識數學的應用性，改變學生在高中所形成的題、題、題的算術認知。同時在每章節的開始給學生介紹章節的主要內容時，介紹一個運用本章節知識去解決的數學建模案例，讓學生感受到這一章節的實用性。通過“有用”數學的引導，使學生在內心形成一股向上的動力，引發學生的求知欲望，使學生在后面的學習過程當中不再乏味無趣。這樣能夠徹底地改變學生的認知，真正做到學而能用、學而會用，使其形成一種嶄新的積極向上的數學理念。

二、傳統教學的弊端

傳統的教學模式已經不再適應新時代的學生需求，教學模式單一、知識面狹窄、學習目的不明確的形式急需改變[2]。教材多年不變，教材不能與時俱進，內容過度理論化，缺乏生氣與活力，應用性不強。為什么學？有什么用？在哪里用？一系列的問題都是學生所不解的，目的不明確的學習是沒有吸引力的，它不會引發學生內心的、自發的、主動的學習動力和求知欲望。

學生學習后雖然給一個積分能計算出來，給一個現實問題卻聯系不到數學上去，思維封閉、不開闊。這就是與現實問題的脫節，脫節的數學還有什么價值呢？所以，傳統的教學模式亟待改革。

三、基于數學建模思想的高數教學改革策略

（一）加強數學文化的熏染

平時的上課往往只注重知識的講解，卻忽視了對其文化背景的學習。學生會進行相關的理論運算，卻不知道該問題是什么時候、在什么樣的環境中由誰發現的。就像吃個牛排，如不理解西方飲食文化，那只是吃了一片半生不熟的牛肉一樣。一個人或許一輩子不會直接解決一個數學問題，但數學素質會伴他一生；正如一個人雖不會成為畫家，卻應該有藝術素養一樣。

（二）精選案例，滲透思想

高等數學課程在大學的學習過程中相對是比較緊張的，不宜占用過多的課時。因此我們需要進行的，一是上面提到的在新章節開始時介紹性地講一講相關案例，引發學生的求知欲；二是在章節的整體內容完成后，或是習題課中插入一完整的簡單的數學建模案例，讓學生利用課余時間分組去解決，最后以一篇小論文的形式提交。這樣既鍛煉了學生的論文寫作能力又增加了學生完成后的成就感，同時還可以鍛煉學生相互間的團結協作能力。

大量的數學建模題目涉及的內容比較廣且深，很多要運用到運籌學知識。因此，我們絕不能拿來主義，必須對案例進行精挑細選，這需要做大量的準備工作。從現行的數學建模教材中選擇，對已有題目改編，通過網絡查詢等方式選擇內容合適的、學生感興趣的且與實際生活接近的案例。我們要讓數學貼近生活。下面簡單介紹一下每部分內容的相關案例，以希起到拋磚引玉的作用。

1.函數與極限部分

本部分應用很廣，相應的模型也比較多，像理財模型、手機資費等問題都是學生比較感興趣的，手機話費套餐到底是套還是餐？再如討價還價中的數學問題、冰箱設計問題、蘋果大小問題、書報雜志版式設計問題等等。我們可以將典型的飲酒駕車問題作為學生的課外作業，給學生分好組，讓他們自己去搜集資料，自己完成。

2.一元函數微分學部分

本章節的案例相對是比較多的，如旅行社交通費用模型、海鮮店老板的訂貨難題、手機生產商的定價問題等。我們在選用案例時盡可能選擇學生感興趣的生活化、專業化（與學生所學專業相關）的案例，避免不加選擇地隨便找幾個案例應付了事，那樣只會適得其反。要是題目比較難，會讓學生畏難而退。

在歷年的國家公務員考試中就有許多數學問題，如2013年國家公務員考試第61題（畢業生分配問題）和今年的第65題（專賣店問題）都是一些簡單的極值問題。通過公務員試題的舉例更讓學生感受到數學的重要性與應用的普遍性，從而進一步改變學生對數學“無用”的看法。

3.一元函數積分學部分

定積分的元素法思想應用性非常廣，許多實際問題、不規則問題都可運用元素法去分析。例如幾何學上的面積、體積、曲線的弧長，物理學上的功、壓力、引力等。許多實際性問題首先要轉化為微分方程，然后運用所學積分知識去解決。另外，在經濟管理中定積分可以根據邊際求增量，在工程技術中可以用來求不規則幾何圖形的面積、體積。我們可以根據學生的所學專業，從專業內容中去尋求好的實例，從而更加強數學與專業課的聯系。endprint

4.微分方程部分

飲食算體重問題、高速公路上的汽車總數模型、導彈追蹤問題、地中海鯊魚問題、森林可被砍伐年限、新產品推銷問題、餓狼追兔問題、水瓶保濕測試問題、生活垃圾的總量預測模型等等都是典型的微分方程模型[3]。如涉及速度、變化、生長、減少、增加、追趕、逃跑等類的詞語，都可能包含了一個微分方程。

5.空間解析幾何部分

探照燈、天文望遠鏡和汽車車燈的反射鏡、衛星天線、聚光太陽能灶等，都是采用旋轉拋物面結構，它不僅可以將焦點處的光源產生的光線反射成平行光束并使光度增大，而且還可以將光線聚于焦點。雙曲面、雙曲拋物面、圓錐面等經常會在許多世界著名建筑中見到，巧妙的搭配會給人造成強烈的視覺沖擊。

6.多元函數微分法部分

相對一元函數微分學來講就是將研究范圍從平面拓展到了空間，研究內容的涉及面更大，應用性也更強。如易拉罐的設計模型、居民用電模型、學校選址問題、空調銷售量的預測、建筑物散熱問題等等。在經濟管理中的求利潤最大化、成本最小化，關聯商品的需求分析等問題時都可以運用多元函數求極值的理論去求解。再比如在漂洗的次數和用水量一定的前提下，每次的用水量應如何控制，才能使衣物洗得最干凈？這個可以讓學生自己查詢信息，通過自己分析建立模型。

7.多元函數積分學部分

該部分是通過將積分范圍由軸上推廣到了區域以及曲線和曲面上。相比定積分它們的涉及面更大，應用更廣泛，而研究的內容也更深。在學習過程中可以借助于計算機演示各類積分幾何體的圖形，讓抽象變形象，幫助學生更好地理解與掌握。本部分的數學模型有大氣污染數學模型、通信衛星的覆蓋面積模型、火山噴發后高度的變化問題等[4]。

8.無窮級數部分

在解決問題時的一些數值計算和對一些復雜函數的表示中經常會用到。也經常被實際應用在擴散問題、波動問題和熱的傳導中。眼下股票、基金、銀行投資火熱，余額寶、現金寶、零錢寶和理財通等理財產品如雨后春筍，在投資理財中經常會提到的年金終值、年金現值、復利現值、復利終值等詞語，分別是什么意思，又如何計算？明白其含義后，幾何級數可以幫我們輕而易舉地計算出能賺到多少錢或是需要多少本錢去投資。

（三）組建數學建模社團，開辟第二課堂

組建數學建模社團，集中全學院感興趣的學生，引導他們學習應用數學領域各個方面的知識，拓寬知識面與信息量。提高每個成員的綜合素質，激發他們的創造力，培養他們的拼搏精神以及團隊精神，活躍校園的學術氛圍，推進素質教育在學校的發展。

同時社團負責各項數學建模比賽的組織工作，并對新會員舉辦研討、講座，使大家對數模有一個初步的認識。在數學建模競賽之前，對社團成員組織有針對性的培訓，提高學生的參與度和競賽成績。在近幾年的競賽中，我們建模社團的學生連續獲得山東省二等獎七項、一等獎五項、國家二等獎兩項的好成績。良好的成績來源于學生對數學的認識和理解，更說明了教學改革的必要性和數學建模思想引入的必要性。

數學教育不只是理論教育，更是一種素質教育、一種人文教育，要讓數學建模進入課堂，將其思想滲透給學生，轉變學生以前的觀念。改革是一個復雜的過程，每位教師的手中都要形成一本與高等數學章節同步的數學應用案例集，不斷提高自身的數學素質。這樣我們既教給學生扎實的理論知識，又教給學生如何通過先進的技術方法解決實際問題，從而為培養更多的優秀人才打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]洪雙義.一種新型數學教育方式的探索[J].數學教育學

報，2003，（2）.

[2]董加禮，施光燕.高等數學課程體系及教學內容和方法

的改革與實踐[J].中國大學數學，1998，（3）.

[3]李明振，龐坤.關于高師院校“數學建模”教材建設的思

考與探索[J].數學教育學報，2006，（1）.

[4]楊穎.數學建模在實踐中的應用[J].長春師范學院學

報：自然科學版，2010，（6）.endprint