應用導數解決一類數列求和問題

王大成

高中引入了導數概念，給出了導數的定義，講清楚了導數的幾何意義及物理意義.在導數的應用方面也給出了一些例題，應用主要是針對解決函數的單調性、極值、最值、不等式證明等問題.但是在數列求和方面的應用基本上還沒有涉及，因此我寫本文來為導數的應用開辟一條新的途徑.

例1數列{an}的通項公式為an=n×2n-1（n∈N*），求數列{an}的前n項和Sn.

分析：這種問題基本上都是用錯位相減法來解決.

Sn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1…（1）

2Sn=1×21+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n…（2）

由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n，有Sn=1+（n-1）×2n（n∈N*）.

注1：對于解決本類問題，錯位相減法當然很好，可以說是很經典的.課改以前高中課本中沒有函數的導數這樣的內容，所以也不好給學生講導數法，但是今天的高中新課本中已經有導數的內容，這樣的問題當然可以用導數法來求解.這樣，一方面順應了新課改的需要，另一方面培養了學生的創新思維，也滿足了素質教育的要求.

導數法：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），

f′（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1， 所以Sn=f′（2），

f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）1-x.

因為f′（x）=[1-（n+1）xn]（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2，

所以Sn=f′（2）=1+（n-1）×2n.

定理1：數列{an}的通項公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前n項和為Sn，

則Sn=1+[（p-1）n-1]pn（1-p）2.

證明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），

f′（x）=1×x0+2x1+3x2+…nxn-1， 所以Sn=f′（p），

f（x）=x+x2+x3+…xn=x（1-xn）1-x（x≠1）.

由f′（x）=[1-（n+1）xn]（1-x）+（x-xn+1）（1-x）2

得Sn=f′（p）=1+[（p-1）n-1]pn（1-p）2（p≠1），證畢.

例2數列（an）的通項公式an=An+B（A，B是常數），數列{bn}的通項公式為bn=r·sn-1（rs≠0），令cn=anbn（n∈N*），求數列{cn}前n項和Tn.

分析：（1）若s=1，bn=r，cn=anbn=（An+B）·r=Ar·n+Br，

Tn=Ar+Br+Ar·n+Br2n=Ar2n2+Ar+2Br2n

（2）若s≠1，cn=anbn=（An+B）（r·sn-1）=Ar·n·sn-1+Br·sn-1.

令dn=Ar·n·sn-1，tn=Br·sn-1，cn=dn+tn，有Mn=∑ni=1di，Rn=∑ni=1ti，Tn=Mn+Rn.

Rn=∑ni=1ti=Br（1-sn）1-s（s≠1），Mn=∑ni=1di=Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

所以Tn=Mn+Rn=Br（1-sn）1-s+Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

定理2：數列{cn}的通項公式cn=（An+B）×r·sn-1（Ars≠0，s≠1），則數列（cn）前n項和為Tn=Br（1-sn）1-s+Ar1+[（s-1）n-1]sn（1-s）2.

注2：本方法可以取代高中學習的錯位相減法，同時展現了導數的優越性.導數作為高等數學的基礎之一，是一種重要的數學工具，教師在學習的時候應該有一些自己的思考，打破常規，創新思考，為能培養出一批優秀的人才貢獻自己的一份微薄之力.要想學生學會創新，教師就應該帶頭創新.

定理3：數列{cn}的通項公式cn=n2xn（x≠0，x≠1，n∈N*），則數列{cn}前n項和Tn=g（x）=x（x-1）3[n2xn+2-（2n2+2n-1）xn+1+（n+1）2xn-x-1].

注3：用定理3，可以求出數列{（An+B）×r·sn-1}（其中Ars≠0，r≠1）的前n項和Tn，數列{cn}的通項公式cn=anbn（n∈N*），an是等差數列，bn是等比數列.這類問題在高中階段一般用錯位相減法解決.讀者只要對定理3的理解到位了，那么解決數列{（An2+Bn+C）·xn}（A，B，C∈R）的求和問題也就不難了.作差一次等價于一次求導，作差兩次就等價于求導兩次，以此類推，我們可以求出數列{（anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0）qn}，其中（an，an-1，…，a1，a0，q∈R，q≠0）的前n項和.