數學教學中的信息技術：基于數學功能的教學工具

袁立新

摘要：數學教學中的信息技術應定位于數學功能基礎上的教學工具，以反映數學學科特性。數學教學需要注重圖形圖像呈現、數值計算、符號運算以及編程等基本數學功能。數學功能基礎上的教學加工大致有封閉與開放兩種方式。教師要能充分發揮各類功能的優勢，以幫助學生理解學習內容為目的，將數學教學與信息技術有機融合。

關鍵詞：數學教學 信息技術 數學功能

一、引言

信息技術的飛速發展是改進數學教學的重要機遇。但是我們不應當把信息技術停留在評價、熱情支持以及懷有希望的階段，而應該進行一些實在分析，只有這樣才能真正地解決某些教學問題[1]。深入數學學科的信息技術[2]、整合技術的學科教學知識（簡稱TPACK）[3]等理念有助于我們更好地理解數學教學中的信息技術。這些理念主要體現在兩個方面：首先，要不要用技術、用什么技術以及如何用技術需要考慮具體內容的教學及課堂情境，力求使課內與課外、教師傳授與學生自主探究達成一種平衡。也就是說，信息技術的使用是一個劣構問題。教師僅僅了解一般教育技術的原理、策略還不夠。其次，為了充分體現信息技術的數學教育價值，教師對數學學科的信息技術本身要有較為深入的理解與掌握，以便信息技術與課程的互動能達到流暢程度。盡管讓教師在教育和技術之間穿梭并不容易，但掌握技術不是別人的事情。為了能更好地貫徹這兩個理念，我們認為，數學教學中的信息技術是數學功能基礎上的教學工具。

二、數學教學中的信息技術

當前，數學課堂上的信息技術過分倚重普適類信息技術，缺少數學味，更無法反映數學學科特點。信息技術的功能更多地體現在一般教學功能（如電子白板，PPT演示）、多媒體功能（如音樂、顏色）、淺層交互功能（如瀏覽頁面）等方面。針對數學教學的信息技術應該有專門的分類和討論。

我們認為，按與教學內容相關程度分，用于數學教學的信息技術大致有三類。一是普適類的數學軟件。如計算機代數系統（簡稱CAS），數學百科電子詞典等。二是普適類的數學教學工具（或平臺）。如Z+Z智能平臺、幾何畫板、數學科目的題庫系統或備課系統等。三是反映特定數學教學內容的課件，包含了常見的CAI的七種類型[4]。如教學演示課件、微世界環境、微課視頻等。

三類技術中，普適類數學軟件的數學功能最強，但教育功能最弱，通常需要教學加工。而課件，即第三類信息技術，比較關注信息技術的教學功能表現。信息技術應該是數學為基礎的工具還是教學為基礎的工具[5]？事實上，這兩者各有優缺點，前者數學概念轉移能力弱，即教育性不足；后者難以作為學生的認知工具，且缺少通用性，軟件設計效益低。為了能彌合兩者的距離，專家們研究出了諸如Z+Z智能平臺之類的普適類數學教學工具。許多CAS在后來的版本中也加入了大量便于數學教學開發和加工的元素。針對特定內容的數學課件也在通用性上不斷增強，如注重探究性、交互性課件的開發等。

三類信息技術都可以實現計算機對數學學習活動的三種水平的支持，即演示水平、驗證水平和探究水平，如數學工具中的大百科詞典可以作為資料支持或演示之用，而數學軟件包Mathematica可以作為數學探究環境。因此，由演示到探究也可以作為以上分類的另一個標準（或維度）。

三類信息技術都能體現一定的數學功能與教育價值。但數學教學需要抽象、復雜的圖形圖像、數值及符號表達與處理，以滿足較高層次數學思維表征需求；需要嚴謹、精確和形式化的數學活動過程描述；需要豐富的與數學研究相適應的探索性認知環境。因而，我們認為，數學教學中的信息技術應以數學功能為基礎，在設計和開發目的、內容方面能反映數學學科特性，以更好地體現數學教育價值。

三、信息技術的數學功能及其教育價值

信息技術可以實現的數學功能很多。數學教學主要以圖形圖像呈現、數值計算與符號運算、編程等作為主要功能。數學教學中，它們的教育價值應該得到充分體現。下面以微積分教學為例進行闡述。

1.圖形圖像演示

總體而言，目前的數學教學，特別是概念教學是“重形式定義，輕意象表征”[6]的。由于擔心過多使用圖形圖像可能會影響抽象思維，許多教師不敢用。事實上，圖形圖像的適當運用能提高學習效率，也能體現教師的教學智慧。數學教學中的“圖形圖像”主要是函數繪圖和動態幾何圖形兩方面。它的作用主要是促進學生對概念和數學問題的整體理解，能幫助其洞察所學數學內容本質，尋找解決復雜問題的途徑。如教學導數概念時，需要將函數、其導函數及二階導數甚至更高階數的圖像進行比較、分析。用圖像來解釋復合函數求導法則、洛必達法則等也應該能在教材或教學中得到體現，讓學生理解用它們進行運算的合理性或理由，而不僅僅學習導數運算技能與技巧。

2.數值計算

傳統的數學教學更多表現的是數學的連續、形式化的一面，給學生留下抽象、脫離生活實際的印象。事實上，數值計算功能和繪圖功能一樣具有理解數學知識、探尋解題途徑等作用，理應得到重視[7]。數值化是由有限認識無限的重要方式，也是聯系一般化與特殊化的重要紐帶。運用數值表理解極限、用數據估計誤差、通過離散形態考察函數的連續性態、尋找數學反例等等都應該在教學中得到廣泛應用。微積分中的廣義積分與無窮級數、函數極限與數列極限的密切聯系更表明連續化與數值化應該融為一爐。教學實踐表明，數學過于形式化的表達反而看不清數學知識的本來面貌，而將這些內容轉化為具體的數值計算，會增進理解。例如，利用？著-？啄定義證明函數極限時，學生都知道，關鍵要找出？啄。他們也能熟練地利用放縮技巧和限定？啄的方法進行操作，找到？啄。但進一步問：能通過計算（通常情況下需要計算工具的支持），找到最大的？啄？事先限定？啄的鄰域能否再大一點？學生并不熟練。這時，只要給定幾個具體的？著值，計算出？啄，學生會對證明過程有更深刻的認識，不至于依葫蘆畫瓢。

3.符號運算endprint