關于同濟六版《高等數學》的幾點注記

程慧燕　蔣文麗

摘 要 本文就同濟六版《高等數學》的幾個問題做了注記，對比區分了易混的三組概念和符號，探討了從數列極限到函數極限的自然過渡方法，分析了常系數非齊次線性微分方程求特解時多項式的設置方式，發散了高斯公式的應用中一道例題的解法。

關鍵詞 同濟六版 高等數學 符號 概念 解題方法 注記

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.01.021

同濟六版《高等數學》是一部經典的工科類本科數學基礎課程教學的教材，適合當前我國各類高校工科類本科專業根據不同的教學要求分層次教學的需要。但是，再完美的教材鑒于作者的認知方式也有不盡如人意的地方。概念、符號、解題方法對于高等數學來說是精髓，是靈魂，本文就同濟六版《高等數學》的幾個問題做了注記，以資借鑒和提高。

1 幾個基本概念、符號的說明

對高等數學課而言，學生要想把它學好、學精，離不開對一些基本概念的理解和一些符號的準確掌握，尤其對于初學者。所以，作為教師就要在授課時對學生正確引導，注意區分，多加強調。

1.1 單側極限、單側導數及導數的單側極限的符號

同濟六版《高等數學》第一章第三節（P34）給了單側極限概念，把左、右極限分別記作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一節（P83）給了單側導數概念，把左、右導數分別記作（） = 、（） = ；按照上面這兩種記法，不難想象（）、（）分別表示的就應該是函數 （）的導函數 （）在點處的左、右極限，也就說有（） = （）、（） = （）。

這里以→為例說明這些符號的不同。 （）、（）、（）分別代表的就是函數 （）在處的右極限、右導數及導數的右極限，其中（）還蘊含函數 （）在的右鄰域（， + ）內每一點可導。雖然其符號極其相似，但這三個是完全不同的概念，不能混為一談，尤其要引導學生正確書寫和理解不同符號的含義，特別是對于后兩者，很多高等數學的初學者在解題的時候誤認為（） = （） = （），求分段函數在其分支界點處的導數時，用這種方法可能會導致計算結果的錯誤。比如下面這一問題，設，則（0）= = = 0，當≠0時，（） = 2，而（2）不存在，就是（）沒有意義，所以說（）與 （）之間一般不存在相互關系，不要錯誤利用來解題。

同濟六版《高等數學》第二章第一節（P87）給了這樣一道習題：

設函數，為了使函數 （）在 = 1處連續且可導，、應取什么值？

常規的解法應該是： （）在 = 1處連續，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1處可導有 （1） = （1），即 = = ，從而 = 2， = 。

值得一提的是，很多學生在做作業的時候關于 （）在 = 1處的可導性條件是這么用的：當≤1時， （） = ，當>1時， （） = ，由條件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，從而 = 2， = 。很多老師在批改作業的時候就認為學生的這種做法是錯誤的，事實上王金金，任春麗在文獻[3]中已經證明：設函數 （）在[， + ]上連續，在（， + ）內可導，且 （） = 存在，則函數 （）在點處的右導數（）存在，且有（） = （） = （）。

所以，盡管（）與 （）是不同的概念，但是在一定條件下它們之間有聯系，既要引導學生正確區別，同時不要不假思索地給學生的作業判錯，要引以為戒。

1.2 函數微分學的一些符號

同濟六版《高等數學》第二章第三節（P99）給了高階導數的概念，以二階導數為例：

一般的，函數 = （）的導數 = （）仍然是的函數。我們把 = （）的導數叫做函數 = （）的二階導數，記作或，即 = 或 = （）。

其中符號 = = ；表示的二階微分，即是對微分兩次（ = 0）；表示對微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含義，不能混淆，尤其是 = 與≠。比如像有的教材上給出如下的習題：

設 = ，求，，，。

像上述例題中的表達式，就不準確，誤認為 = 與 = 。

1.3 最值與極值的定義

同濟六版《高等數學》第一章第十節（P70）給了函數最值的概念：

對于在區間上有定義的函數 （），如果有，使得對于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），則稱 （）是函數 （）在區間上的最大值（最小值）。

第三章第五節（P154）給出了函數極值的概念：

設函數 （）在點的某鄰域（）內有定義，如果對于去心鄰域內的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就稱 （）是函數 （）的一個極大值（或極小值）。

上述兩個概念是有很大不同的。首先，最值是定義在函數有意義的某個區間上，是一個全局性的概念，而極值是定義在函數有意義的某點的某鄰域范圍內，是一個局部性的概念；其次，最值的定義中“對于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而極值的定義中“對于去心鄰域內的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是嚴格大于或者小于 （）；比如定義在區間[0，2]的常數函數 = 1，在區間[0，2]上能取到最值，區間[0，2]上的每個點都是最值點，但是此函數在區間[0，2]上取不到極值；第三，極值一定是局部的最值，最值卻不一定是極值，極值只能在區間內部取到，而最值可以在區間端點取到。

2 函數的極限的講解方法

從數列極限到函數極限，同濟六版《高等數學》是先介紹自變量趨于有限值時函數的極限，而后介紹自變量趨于無窮大時函數的極限。為了增強對比學習的效果，比照 = 0讓學生討論，從數列極限過渡到時函數極限，接著引出、時函數極限的概念，比如可以從 （） = 的圖像出發，啟發學生類似時函數極限討論→時函數極限，以具體實例引出單側極限的概念，從而實現從數列極限到函數極限的自然過渡。

3 常系數非齊次線性微分方程求特解

同濟六版《高等數學》第七章第八節（P341）給出了二階常系數非齊次線性微分方程 + + = （），當 （） = 時不用積分就可求出方程特解的待定系數法。

設 = （），帶入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。當是特征方程 + + = 0的單根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此時（）必須是次多項式，教材上說“可令（） = （）”。很明顯，（）與（）是不同的，二者相差一個常數，不影響最終的結果嗎？事實上，當是特征方程 + + = 0的單根時，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一項（ + + ）（）不起作用，同時（）比（）多出來的那個常數在求導的過程中不影響導數的結果，也就是說令（） = （）或者令（） = （）都能滿足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系數時還少求解一個系數，何樂而不為？當是特征方程 + + = 0的重根時，可令（） = （），是一樣的道理。這一點作為教師必須得清楚。

4 高斯公式的應用中一道例題的解法

同濟六版《高等數學》第十一章第六節（P231）例1：

利用高斯公式計算曲面積分（） + （），其中為柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所圍成的空間閉區域 的整個邊界曲面的外側（如圖1）。

教材上利用高斯公式把曲面積分（） + （）轉化成了（），接下來的計算完全可以發散開來讓學生去想怎么求，因為三重積分的計算他們已經學過并且很熟悉。按照慣常的思維，最直接的解法是把上面的三重積分化成直角坐標下的三次積分，不過不難發現積分區域 在坐標平面上的投影是圓域，所以也可以按照書上把其化成柱面坐標下的三次積分（），同時這個三重積分的計算還可以進一步延伸利用對稱性和截面法轉化為 = = 。

數學被譽為鍛煉思維的體操和人類智慧之冠上最明亮的寶石，高等數學更是很多理工科學科進一步學習的基礎，所以在備課的時候做充分的準備，而授課時盡可能以一種比較易于為學生接受的思維和方式來展開是很有必要的。同濟六版《高等數學》雖然很經典，但是在一些細節處理上還是可以改進的，其中一些沒有點明，被作者略去的內容還是需要教師在授課的時候講到的，最起碼是自己備課的時候應該用心想過的。當然，仁者見仁智者見智，畢竟從學生的實際出發、切合不同專業的需要才是最根本的。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 王金金，任春麗.函數的右導數與導數的右極限的關系[J]. 高等數學研究，2009.12（5）.