初中數學教材難易程度的國際比較研究

曹一鳴，吳立寶

（1.北京師范大學 數學科學學院，北京 100875，2.天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

初中數學教材難易程度的國際比較研究

曹一鳴1，吳立寶2

（1.北京師范大學 數學科學學院，北京 100875，2.天津師范大學 教師教育學院，天津 300387）

摘要：以中、澳、美、英、法、德、韓、新、日與俄等10個國家現行的初中（7~9年級）數學教材為研究對象，從內容廣度、內容深度、例題難度、習題難度4個方面構建比較指標體系進行分析.研究發(fā)現：俄羅斯教材、特別是例習題最難，韓、中緊隨其后，新加坡法國德國次之，日本美國澳大利亞居第四梯隊，英國教材最簡單.中、俄、法比較重視“圖形與幾何”，美、澳、英比較重視“數與運算”.日本教材知識涉及知識最少，澳大利亞教材是典型的廣而淺，法國教材是典型窄而深.

關鍵詞：初中數學；教材；難度；國際比較研究

教材研究與建設一直是課程與教學研究中的一個核心問題，也是教學質量提升、教學改革實施的基本保障.教材研究也是中小學一線教師在教學實踐中普遍關心與經常研究的一個問題[1].

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》明確要求：“調整教材內容，科學設計課程難度.”為了了解中國初中數學教材難度情況，通過與國際教育發(fā)達國家初中數學教材作比較，可以更好地認識中國初中數學教材的難度及其相關情況，為中國初中數學教材的進一步完善發(fā)展提供重要的參考和借鑒；為課程標準和教材決策、研制者，數學教育家、數學教育研究人員以及關注數學課程改革的數學家提供進一步研究參考；同時也有利于數學教師加深對數學教學的理解和認識，提高教師數學課堂教學質量.

1　研究“國別”“年級”“教材”的選取

1.1選擇國家

研究選取了4個亞洲國家（中國、日本、韓國、新加坡），4個歐洲國家（英國、法國、德國、俄羅斯），1個美洲國家（美國），1個大洋州國家（澳大利亞）等四大洲10個具有一定代表性的國家，并且教育和經濟發(fā)達，或重要國際比較項目中成績突出.

1.2選擇年級

10個國家的初中學制間存在較大差異，其中中國、日本、韓國、英國4個國家初中三年，恰好7、8、9三個年級.新加坡、澳大利亞、俄羅斯、法國、德國是四年或五年，但是都包括7、8、9三個年級.美國選擇6、7、8年級，正好是他們的初中階段，其他國家都選擇7、8、9三個年級數學教材進行比較.

1.3研究對象

幾乎每一個國家都有多種版本的教材，研究選擇10個國家教育行政部門發(fā)布、推薦使用的，或使用人數相對較多的正式教材，校本教材或教師上課使用的個人講義或者教師開發(fā)的校本資源、教學參考書等非正式課程不在考慮之列，具體可參見文獻[2].

2　研究設計及統(tǒng)計結果

在選取的10個版本初中數學教材中，由于涉及課程內容比較多、編排順序上也有差異，為更具可比性，選取“數與運算”、“方程”、“三角形”、“空間圖形”、“統(tǒng)計”5個共同的知識主題進行比較.雖然這5個知識主題在各自國家所占比重迥異，但是5個知識主題之和在各個國家的教材中所占的比例最高的達到62%，最少的超過32%.由于法國教材翻譯難度大，只選擇“方程”、“三角形”、“統(tǒng)計”3部分，占法國初中3個年級的36%.

參考了已有的相關研究[3~5]，最終確定對于每一個知識主題，難度N從內容廣度G、內容深度S、例題難度L和習題難度X四方面來刻畫.

2.1內容廣度

內容廣度主要指每個知識主題包括知識點的多少，以“數與運算”為例說明.

（1）確定每一個國家“數與運算”知識主題包含的知識點，個數記為ai(i=1, 2,…, 10)；

（2）確定“數與運算”知識主題包括知識點最多的國家，其個數記為b；

（3）第i個國家“數與運算”相對內容廣度為：

（4）第i個國家內容廣度

A1、A2、A3、A4、A5為第i個國家5個知識主題所占比重，見表1.10個國家5個知識主題相對內容廣度統(tǒng)計如表2所示.

2.2內容深度

從概念與命題的呈現方式來看其內容深度.呈現方式分直觀描述、類比歸納、演繹3種，分別賦值1、2、3.對于命題、法則.其每個小知識點的深度計算方法是：

表1　10個國家5個知識主題比重分布表

表2　10個國家5個知識主題內容廣度統(tǒng)計表

表3　10個國家5個知識主題內容深度統(tǒng)計表

2.3例習題難度

對于10個國家5個知識主題的例習題難度，分別從要求水平、包含知識點數量、背景水平3方面進行統(tǒng)計分析[6~7].

（1）例習題要求水平（YQ）.

例習題要求水平主要分為四級，分別是模仿、理解、運用、探究，分別賦值1、2、3、4.

其中A（或B，或C，或D）為該國家第i個知識點“模仿（或理解，或運用，或探究）”的例（或習題）題數目.

（2）知識點數量（ZS）.

每一道例題或習題所包含的知識點的個數（4個及以上按照4個來計算），對于知識點的認可主要是參照計算廣度確定的為基準.例、習題包含知識點的平均數量記為LZSi、XZSi(i=1, 2, 3, 4, 5)，計算公式如下

其中A（或B，或C，或D）為該國家第i個知識點“1（或2，或3，或4）”知識點的例（或習題）題數目.

（3）習題背景（BJ）.

例習題的背景主要分為4個層次，分別是無背景、個人生活背景、公共常識背景、科學背景，分別賦值1、2、3、4.第i個知識主題的例、習題背景平均值記為LBJi、XBJi(i=1, 2, 3, 4, 5)，計算公式為

其中A（或B，或C，或D）為該國家第i個知識點“無背景（或個人生活背景，或公共生活背景，或科學背景）”的例（或習題）題數目.

（4）例習題難度.

對于每個國家知識主題的例習題難度計算公式

表4　10個國家5個知識主題例題難度統(tǒng)計表

表5　10個國家5個知識主題習題難度統(tǒng)計表

2.4教材難度

用Ni、Gi、Si、Li、Xi(i=1, 2, 3, 4, 5) 表示第i個知識主題的難度、相對廣度、相對深度、例題難度、習題難度，a、b、c、d分別表示內容廣度、內容深度、例題難度、習題難度權重，經層次分析法確定為0.28、0.30、0.20、 0.22.則第i個知識主題的難度計算公式

具體結果如表6.

表6　10個國家教材難度統(tǒng)計表

3　研究結果分析

3.1整體教材難度

（1）俄羅斯教材高居榜首.

俄羅斯初中數學教材以0.838高居榜首，遠高于排名第二的韓國.在5個知識主題中有3個難度排第一，并且進一步分析發(fā)現俄羅斯教材例題、習題配置都是最難的，尤其是在習題部分，無論要求水平、知識點含量還是背景水平都排名第一.此外，俄羅斯教材習題更注重證明，其證明習題數量達到171道，占據總題量的19%，而相應知識內容卻不深.

（2）韓國中國緊隨其后，位居第二梯隊.

韓國與中國初中數學教材以0.745 0、0.744 8分別位居第二、第三.兩個國家初中數學教材雖然個別指標略有起伏，但是難度差異很小，居于同一層次.中國數學教材內容廣度上高于韓國，而在深度上低于韓國（深度排第二）；例題難度低于韓國，而習題難度高于韓國.

（3）新加坡教材排名第4.

新加坡初中數學教材以0.690排名第四，整體而言介于中韓與歐美國家教材之間.在內容廣度與深度上分別排名第六、第五，居于中游，相對而言，例習題難度排名略微靠前，分別位居第四、第三.

（4）法國德國美國位居第5、6、7.

法國初中數學教材以0.666 0排名第五.其教材在廣度排名第九，深度排名第一，呈現出顯著的“窄而深”的特點.德國、美國教材以0.657 5、0.654 7緊隨其后，名列第六、第七.德國數學教材在內容深度上排名第三，其余3項分別位居第六名之后，相比法國而言，稍微低些；美國數學教材在內容廣度、深度分別排名第二、第八，呈現出“廣而淺”的特點，相對而言，例習題難度靠后.

（5）澳大利亞日本，位居第8、9.

澳大利亞初中數學教材以0.648 2位列第八.澳大利亞數學教材在廣度排名第一，深度排名第九，呈現出非常明顯的“廣而淺”的特點，與美國類似.在廣度上澳大利亞教材在幾何已經涉及到圖論相關知識，在習題上涉及連分數、歐拉公式等知識，例題分欄設計，左邊是“Steps”，是文字步驟，稱作思路[7]；右邊對應是“solution（解答）”，難度比較低，習題難度居中，排第五.

日本教材以0.628 8排名第九，在亞洲4個國家中排名最靠后的.教材內容知識涉及面窄，廣度排名倒數第一，呈現出非常顯著的“窄”的特點，而例習題難度與亞洲其他國家比較接近.

（6）英國教材難度最低.

英國的教材是最簡單的.英國教材概念與命題呈現方式基本皆為直接描述，很少用到歸納、演繹方式，深度上是倒數第一；例題為正文內容的具體化展開，量少且簡單，每節(jié)例題大約1~2道；習題題型與難度和例題相仿，通過模仿例題，或理解應用例題的相關知識即可完成，比較簡單.通過對另一版本數學教材5個知識主題進行分析，也得到相同的結論[8].

3.2內容廣度

（1）澳大利亞知識分布最廣.

澳大利亞初中數學教材廣度排名第一，5個知識主題廣度分別排在第3、第4、第5、第2、第1，涉及的知識面最廣，尤其是“統(tǒng)計”知識，具體涉及數據描述、定量數據（離散/連續(xù)）、明目數據（分類/有序）、抽樣調查、單/雙/多條形圖、線形圖、分條統(tǒng)計圖、扇形圖、直方圖、背靠背莖葉圖、盒子圖、散點圖、統(tǒng)計圖的誤用、最佳擬合線、平均數、中位數、眾數、極差、四分位數等內容[9~10].

（2）美、中、俄位列第2、3、4.

美國、中國與俄羅斯3個國家初中數學教材在廣度上分別以0.831、0.828、0.827排名第二、第三、第四，比較接近，尤其是中國與俄羅斯之間.美國在數與運算、統(tǒng)計內容廣度居前三名，相對而言圖形與幾何部分內容廣度相對靠后，這可能與美國學者更加強調代數思維在中小學數學教育中的地位和作用有關[11].

在廣度上，中國初中數學教材略低于美國，稍高于俄羅斯，中國需要增大空間圖形與統(tǒng)計內容涉及面（位列第7、第6）.雖然中俄方程內容廣度總體差不多，但從知識內部看，俄羅斯教材已涉及到二元二次方程、直線方程、圓的方程、參數方程、多項式方程等內容，這是其他國家所沒有的.俄羅斯三角形、空間圖形部分內容廣度最高，說明還是重視幾何內容的學習，在3個年級數與運算是相對最弱的，排在第8名.

（3）韓國教材廣度排第5，新加坡英國位居第6、7.

韓國初中數學教材內容廣度以0.731排第5，居于中游.值得一提的是韓國數與運算部分知識廣度超過美國澳大利亞，排列第一，三角形主題廣度排第三，其余3個知識主題在7名左右浮動.新加坡初中數學教材以0.677排名第6，緊隨其后的英國教材，比新加坡略低0.004排在第7名，兩個國家教材廣度差距比較小.

（4）德、法位居第8、9，日本教材廣度倒數第一.

德國、法國數學教材分別以0.586、0.517位居第8、9，可以看出德法兩個國家教材廣度不大.日本教材內容廣度上倒數第一，顯著特點：一方面是整個初中學段沒有涉及統(tǒng)計內容知識；另一方面另外4個知識主題的內容廣度最高的是空間圖形，排第4，而空間圖形部分內容廣度各個國家之間差距不太大，其余均為后3名之中，呈現出涉及面窄的特點.

3.3內容深度

（1）法國內容最深.

在內容深度方面，排在第一的是法國教材.雖然法國只分析了3個知識主題，但是就有兩個知識主題（三角形、統(tǒng)計）是最難的，尤其是在法國三角形部分內容，有13個知識點呈現方式是演繹，7個是歸納呈現，增強了學生學習的難度.

（2）韓國德國名列亞軍季軍.

韓國數學教材以0.814排第2位，德國以0.774緊隨其后，位居第3.兩個國家圖形與幾何部分內容的概念與命題呈現以演繹呈現為主，而數與代數、方程等內容則以歸納為主，直觀描述較少.

（3）日本中國位列第4、5，差距不大.

日本、中國數學教材分別以0.760、0.754排第4、第5.整體來看，日本教材在深度上與中國差不多，在三角形部分中國高于日本數學教材，而在數與運算、方程等內容低于日本教材.

（4）新加坡俄羅斯美國位列6、7、8.

新加坡數學教材以0.710位居第六.俄羅斯、美國教材分別以0.670、0.660位居第7、8名，對于概念與命題的呈現方式主要是以直觀描述為主.

（5）澳大利亞英國內容最淺.

澳大利亞英國居于后面兩位，澳大利亞、英國數學教材中內容的呈現大多以直觀描述的方式為主，并且圖文并茂，注重程序性操作，使其直觀形象，通俗易懂.

3.4關于例習題的難度

（1）俄羅斯高居榜首.

例習題難度，俄羅斯教材均是當之無愧高居榜首，并且5個知識主題習題難度均為第一，并且皆遠超排名第二的國家，俄羅斯習題總量不是最多的，但是最難的.無論是要求水平、知識點含量還是背景水平都是最高的.

（2）中國新加坡日本亞洲三國位居2、3、4名.

中國數學教材以0.757排第2；新加坡、日本分別以0.747、0.744排第3、4.亞洲國家有3個國家派在前4名之中，總體看來東亞文化圈具有一定類似的價值認同，對教材習題設計難度較大，主要體現在習題要求水平上；對于例題，新加坡與日本排名剛好顛倒了一下，中國數學教材例題難度居中.

（3）澳大利亞韓國居第5、6，德國法國居7、8名.

澳大利亞韓國教材分別以0.716、0.703位居第5、6名，基本具有一個層次；德、法數學教材以0.683、0.656位居7、8位，對習題要求水平基本都是在理解層面以上，法國習題難度低于德國.相比較而言，例題法國是最簡單的.

（4）習題最簡單的是英、美.

排在后面的英國與美國教材，難度最低，分別是0.587、0.581，差距比較小.美國教材呈現出量大的特點，以4 192的總量穩(wěn)居榜首，是排名第二的澳大利亞教材的2.29倍，遠超中國教材（670道）[12~13].

4　主要結論與啟示

通過以上的分析，結合各個國家教材，可看出主要有以下幾個方面的結論，并對中國的初中教材建設有著一定啟示和借鑒：

4.1呈現區(qū)域特色

10個國家數學教材呈現出明顯的區(qū)域特色.俄羅斯數學教材獨樹一幟，注重演繹推理，是唯一一個幾何內容單獨成冊編寫的國家，并且例習題難度遠高于其他國家.韓國、中國、新加坡亞洲3個國家初中數學教材與歐洲的德國、法國教材無論從習題數量還是難易程度相對來說比較靠近.美國、澳大利亞、英國教材相對比較重視“數與運算”，習題數量多，并且基本占到5部分知識習題總量均是一半以上，相對而言習題難度較小，尤其是英美教材.

4.2教材學材化

從世界范圍來看，教材的功能正在從教材變成學材，呈現出向學轉化的趨勢，對初中數學教材也是同樣的.分析發(fā)現，10個國家初中數學教材無論概念與命題呈現（直觀描述為主），還是例習題的設計，編者都盡量考慮學生學習的能力、興趣和需要，把促進學生的發(fā)展放在首要位置，以利于學生學習.譬如新加坡注重創(chuàng)設情境；法國教材講究引入；英國注重貼近生活的實際問題背景，或是生活常識或是神話故事；韓國在每個單元開始時精心設計與新知識有關的研究課題等.

4.3注重數學應用

10個國家數學教材均重視數學與現實生活及其它學科之間的聯系，重視培養(yǎng)學生解決與生活相聯系的數學問題的能力.常常從日常生活的問題入手引入新知，激發(fā)學生的熱情，尤其是美國數學教材以探究為主線，其背景大多接近學生日常生活或與歷史文化息息相關.澳大利亞、英國、美國等專門有章節(jié)來說知識的應用，在課后習題部分，中國澳大利亞數學教材單獨有模塊（應用類），其他國家數學教材以實際生活為背景的習題比比皆是，其內容涉及文化、商業(yè)、家庭理財等多方面，這充分顯示了數學應用的廣泛性，并且在美國法國數學教材中注重與自然科學學科的聯系.畢竟獲取知識不是最終目的，應用知識才是更為重要的任務.

4.4注重與信息技術結合

信息技術的發(fā)展己經深刻地改變了數學世界，目前幾乎所有的國家在數學課程設置中強調信息技術與數學課程的整合[14].教材力圖反映信息技術與數學課程的相互促進與緊密結合，這是10個國家數學教材的又一大特色，程度側重有差異，具體體現在一是計算器使用；二是借助計算機；三是軟件工具使用.如法國教材比較注重軟件工具的使用；韓國初中數學教材章節(jié)末會設計利用計算器或計算機解的數學；澳大利亞教材明確規(guī)定使用TI-Nspire CAS或Classpad圖形計算器，并且在習題中明確要求.

4.5教材的多樣性

雖然對這些國家只研究一套教材，但是在搜集教材過程中發(fā)現，各個國家教材呈現出多樣性.一方面，許多國家沒有統(tǒng)一教材，有多版本教材并存發(fā)行，以供教師選用，法國初中實行的一綱多本與中國很相似，如韓國初中數學教材種類較多，共有14種；另一方面，即使同一出版社同一版本教材，也分為不同系列，如英國牛津大學出版社的《數學鏈接》針對不同水平的學生，設計了A、B、C三個系列.

如何進一步汲取國外初中數學教材的精髓，為我所用，是一個深入研究的問題.

［參 考 文 獻］

[1]吳立寶，曹一鳴.中學數學教材的分析策略[J].中國教育學刊，2014，（1）：60-64.

[2]吳立寶，曹一鳴.初中數學課程內容分布的國際比較研究[J].教育學報，2013，（2）：29-36.

[3]蔡慶有，鄺孔秀，宋乃慶.小學數學教材難度模型研究[J].教育學報，2013，（5）：97-105.

[4]孔凡哲，史寧中.四邊形課程難度的定量分析比較[J].數學教育學報，2006，15（1）：11-16.

[5]鮑建生.中美教材習題的數學認知水平比較——以二次方程及函數為例[J].數學教育學報，2009，18（4）：57-60.

[6]吳立寶，王建波，曹一鳴.初中數學教科書習題國際比較研究[J].課程·教材·教法，2014，（2）：112-117.

[7]吳立寶.中澳數學教科書的習題比較研究——以人教社和HMZ8年級教科書為例[J].數學教育學報，2013，22 （2）：58-61.

[8]周九詩，王延文.中英初中數學教科書難易程度的比較研究——以中國“人教版”和英國《數學連接》為例[J].數學教育學報，2013，22（3）：18-23.

[9]郭玉峰.澳大利亞Mathsquest教材特點分析及思考[J].課程·教材·教法，2006，（1）：92-96.

[10]吳立寶，曹一鳴，董連春.澳大利亞初中Heinemann數學教科書編排結構特點及啟示[J].數學教育學報，2013，22（5）：21-26.

[11]曹一鳴，王竹婷.數學“核心思想”代數思維教學研究[J].數學教育學報，2007，16（1）：8-11.

[12]楊凡，吳立寶.中美初中數學教科書習題比較研究——以中國人教社和美國IM版為例[J].數學教育學報，2014，23（5）：56-59.

[13]吳立寶，宋維芳，楊凡.美國IM數學教科書編排結構特點及啟示[J].外國中小學教育，2013，（8）：60-64.

[14]郭衎，曹一鳴.數學課程中信息技術運用的國際比較研究[J].中國電化教育，2012，（7）：108-113.

[責任編校：周學智]

International Comparative Study of the Level of Difficulty of Middle School Mathematics Textbook

CAO Yi-ming1, WU Li-bao2
(1. School of Mathematics Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China; 2. School of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Abstract:The study objects including the current middle school (7-9grades) mathematics textbooks from China, Australia, America, Britain, France, Germany, Korea, Singapore, Japan and Russia, from four aspects of the breadth and depth of content, difficulty of examples and exercises to construct comparative index system. The study found that Russian mathematics textbook is the hardest, especially the difficulty of examples and exercises, followed by Korea and China, and then Singapore, France, Germany. Japanese, American and Australia mathematics textbooks are in the fourth echelon. Mathematics textbook of Britain is the simplest. China, Russia and France put more emphasis on “Graphics and Geometry”, America, Australia and Britainpay more attention to “Number and Operation”. Japanese mathematics textbook involves a minimum of knowledge points, mathematics textbook of Australiais typically “broad and shallow”, while France is typically “narrow and deep”.

Key words:middle school; mathematics textbook; international comparative study; the level of difficulty

作者簡介：曹一鳴（1964—），男，江蘇南通人，教授，全國數學教育研究理事長，教育部基礎教育專家工作委員會成員，主要從事數學課程與教學研究.吳立寶為本文通訊作者.

基金項目：國家社會科學基金“十二五”規(guī)劃2012年度教育學重點課題——中小學理科教材國際比較研究（初中數學）（AHA120008）

收稿日期：2015-04-27

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0003-05