小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)策略

羅萍萍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”。“模型思想”作為一種數(shù)學(xué)思想，是溝通數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，是鏈接數(shù)學(xué)核心知識與外部世界的途徑。教師要善于挖掘模型素材并引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型思想。

一、在生活原型中建構(gòu)概念型數(shù)學(xué)模型

課件依次呈現(xiàn)：平衡（空天平）——不平衡（天平的左邊放入兩瓶200克的牛奶）——平衡（天平的右邊放入400克砝碼）。學(xué)生邊觀察天平，邊說出變化過程。當(dāng)天平保持平衡，教師提問：如果從左邊拿走一瓶牛奶，天平還平衡嗎？當(dāng)不知道具體是多少時(shí)，可以用字母來表示。隨后，課件呈現(xiàn)：天平左邊放入3個蘋果，右邊放1500克砝碼。學(xué)生交流，列出算式：3X=1500。結(jié)合這些算式，教師提問：這些式子可以分為幾類？學(xué)生容易想到兩類：一類是等式;一類是不等式。教師追問：它們之間又有什么不同之處呢？學(xué)生總結(jié)出不含未知數(shù)的等式表示的是已知量之間的相等關(guān)系，含有未知數(shù)的等式表示的是已知量和未知量之間的相等關(guān)系，進(jìn)而得出“含有未知數(shù)的等式叫做方程”這一概念。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，方程是一種典型的數(shù)學(xué)模型。在這個案例中，從生活中的天平這一生活原型出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐步體會和理解等式和方程的含義。通過天平一邊放入物品導(dǎo)致兩邊不平衡到天平兩邊都放物品達(dá)到兩邊平衡，學(xué)生理解了等式的含義。從放入已知物品的重量后平衡到放入未知物品的重量后平衡，學(xué)生體會了方程的含義。直觀的天平原型為抽象的方程概念提供了鮮活的學(xué)習(xí)載體。對學(xué)生來說，方程概念變得形象、具體、直觀。這種基于生活原型建構(gòu)概念模型的方法，有助于學(xué)生對概念的本質(zhì)建立正確而清晰的認(rèn)識。

二、在符號表達(dá)中建構(gòu)方法型數(shù)學(xué)模型

課始，課件呈現(xiàn)購物情境：一件短袖衫32元，一條褲子45元，一件夾克衫65克。買5件夾克衫和5條褲子，一共要付多少元？教師板書：（45+65）×5=45×5+65×5。教師提問：這兩個算式之間為什么可以用等號連接起來？你還能說一組這樣的算式？根據(jù)學(xué)生回答，教師設(shè)疑：這個規(guī)律一定對嗎？在其他算式中還能成立嗎？學(xué)生又通過舉例來驗(yàn)證這個結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，教師又讓學(xué)生思考：從算理上來說明理由。有學(xué)生結(jié)合例題來解釋：把45個5加上65個5，合起來就是110個5，所以左右兩邊相等。教師肯定學(xué)生的想法后，提問：怎樣才能把這些等式都概括起來？教師依次呈現(xiàn)學(xué)生的三幅作品：①（a+b）×c=a×c+b×c;②（□+○）×☆=□×☆+○×☆;③（爸+媽）×我=爸×我+媽×我。學(xué)生分別說出每道算式中表示的意思。教師引導(dǎo)學(xué)生給這些規(guī)律取個名字，學(xué)生說出乘法分配律。最后，教師小結(jié)：字母、圖形、文字都是一種符號，用符號來表示這些等式的規(guī)律，既簡潔，又易記。

乘法分配律是一種比較重要的運(yùn)算定律。這種運(yùn)算定律其實(shí)就是一種方法模型。“觀其形，悟其神”。學(xué)生可以通過觀察這類算式的特征，就能運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。但如何幫助學(xué)生建構(gòu)這種方法模型，顯得尤為重要。在這個案例中，從購物情境出發(fā)，引出兩道不同的等式，進(jìn)而大膽猜測規(guī)律，學(xué)生通過舉例進(jìn)行驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從乘法意義的角度闡述等式左右兩邊相等的關(guān)系，進(jìn)而讓學(xué)生用自己的方式來抽象表示出乘法分配律這個數(shù)學(xué)模型。學(xué)生的智慧是無窮的。字母、圖形、文字，雖然形式上不同，但實(shí)質(zhì)上相同，都是乘法分配律的模型。

三、在多維變式中建構(gòu)思想型數(shù)學(xué)模型

教師在引導(dǎo)學(xué)生掌握“雞兔同籠”的題目特征、解題方法后，“龜鶴問題”、“人狗問題”、“雞兔問題”都是同一個模型。接著，教師進(jìn)一步拓展出人馬問題、三輪車和小轎車的輪子問題等。隨后，師生共同研究“一個信封里有10張紙幣，有5元的和2元的，共38元。這個信封里5元和2元的紙幣各有多少張？”教師引導(dǎo)學(xué)生與“雞兔同籠”問題進(jìn)行比較：2元的紙幣相當(dāng)于2只腳的雞，5元的紙幣相當(dāng)于5只腳的怪兔。這幾道題，其實(shí)都可以上升到一種模型。解決問題的時(shí)候，需要有“模型”意識，這樣才能越來越接近問題的本質(zhì)。

“雞兔同籠”問題隱藏著豐富的“模型”因素。從內(nèi)容層面來看，“雞兔同籠”問題的題型結(jié)構(gòu)的本質(zhì)是已經(jīng)兩個未知量的和與兩個未知量之間的關(guān)系，求兩個未知量分別是多少;從方法層面來看，“雞兔同籠”問題的解題思路是多樣的，可以采用畫圖、列舉、替換等;從應(yīng)用層面來看，“雞兔同籠”問題存在的價(jià)值，或者說對于解決其他問題會起到什么樣的作用。以上案例中，從“龜鶴問題”“人狗問題”到“人馬問題”“三輪車和小轎車的輪子問題”，再到“5元和2元紙幣的張數(shù)問題”，充分體現(xiàn)了“雞兔同籠”問題的應(yīng)用價(jià)值。僅僅就每道題而言，它們是各自獨(dú)立的，經(jīng)過觀察、比較、變式，就能發(fā)現(xiàn)它們有著相同的題型結(jié)構(gòu)、固有的數(shù)學(xué)模型。從“一道題”到“一類題”，實(shí)現(xiàn)了完整的“模型”建構(gòu)。

（作者單位：江蘇海安縣李堡鎮(zhèn)中心小學(xué)）endprint