基于數學史的《直線的傾斜角和斜率》教學

張哲

【摘 要】 數學史不僅讓我們對過去的數學進行懷念，更重要的是讓我們對數學充滿希望和期盼，讓數學史真正走進高中數學教育，關注數學抽象形式背后的數學本質及相關歷史背景，關注數學知識發展演變過程中的重要思想方法，是我們數學教師要做的一件重要的事情。筆者將以《直線的傾斜角和斜率》的教學設計為例，淺談如何在高中數學課堂中有機融入數學史，全面了解數學科學，大力倡導數學精神，注重對數學思想方法的認識，提高數學養成。

【關 鍵 詞】 數學史；作用和意義；直線的傾斜角與斜率

一、教學內容與過程

（一）簡介數學史，了解學科思想

采用直接運用數學史的方式進行導入，具體做法是：課前，我布置學生閱讀第三章章頭語，自主搜集有關解析幾何資料思考。上課時，設計情境導入，學生史料學習展示3～4分鐘。旨在介紹背景，揭示課題，教學片斷如下：

【教學片斷】

師：在數學史上，曾經有這么幾位數學家，他們想創造一種能解決世界上一切問題的方法，法國著名的數學家笛卡爾就是其中的一位。他們的設想是這樣的：“任何問題→數學問題→代數問題→方程問題→求解方程→得到結論”。因此，如何用代數的方法來解決幾何問題是他們遇到的難題之一。

據說一天，當笛卡爾躺在床上休息時，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，粘在了蜘蛛網上，蜘蛛迅速爬過去把它捉住，他突發奇想，假如在墻角的三根交線上分別標上刻度，不就能用有序數對來表示蜘蛛的位置了嗎？這一想可了不得，使得代數學和幾何學聯系起來了，產生了解析幾何學。笛卡爾的這種想法就是直角坐標系的雛形，有了直角坐標系，點就可以用數來表示，進而線與面也能用數來表示，從而使得用代數的方法來研究幾何問題有了可能。

聽了這個傳說，同學們有什么想法？

生：數學的直覺來源于生活。

生：人們在苦思冥想后的靈感不是不可能的，但事實上，笛卡爾之所以能創立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考的結果。

師：在平面幾何的研究中，我們是直接通過幾何圖形中點、直線的關系來研究幾何圖形的性質。現在我們采用另外一種研究方法：坐標法。

通過自學第三章章頭語，結合大家課前收集的有關解析幾何資料，請大家談談什么是坐標法？

生：坐標法是以坐標系為橋梁，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方法。

生：坐標法是解析幾何的核心思想方法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數學家笛卡爾和費馬創立的。

生：解析幾何的創立，引入了一系列新的數學概念，特別是將變量引入數學，使數學進入了一個新的發展時期，這就是變量數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。

師：本課我們將研究最基礎的知識——直線的傾斜角和斜率，我們先研究坐標平面內最簡單的圖形——直線。為此，我們先探索確定直線位置的幾何要素，然后在坐標系中用代數的方法把幾何要素表示出來，從中體會解析幾何研究問題的基本方法和數學思想。

（二）探究1：傾斜角概念的形成，體會用坐標刻畫傾斜角的方法

在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。

問題1：已知直線l經過點p，直線l的位置能確定嗎？（自己動手畫畫）

【設計意圖】 在探究傾斜角定義的形成過程中，主要研究所有直線與其傾斜角的關系，將定義具體化、全面化，同時得到傾斜角的意義。

問題2：如何刻畫直線的傾斜程度？在直角坐標系中，傾斜程度可以用直線與坐標的關系來刻畫，那么用什么具體概念來體現呢？

學生通過對在直角坐標系中直線位置的觀察，發現“夾角”問題后，老師進一步提出下列問題。

問題3：一條直線與坐標系有四個的夾角，而且有的夾角相同，但直線傾斜狀況也不一樣，選定哪個角為傾斜角更合適呢？怎樣定義？

【設計意圖】 培養學生觀察、思考、探究的學習能力，通過逐步的提出問題，引導學生對概念進行建構。

（三）探究2：斜率概念引入的坐標法思想

在師生得出了傾斜角的概念后，教師引導學生將角（幾何）問題轉化為斜率（代數）問題。提出以下問題：

問題4：傾斜角是描述直線傾斜程度的幾何要素，那么用代數中“數”能否表示直線的傾斜程度呢？

引導學生回顧日常生活中，我們用坡度的大小表示傾斜程度的量，坡度（比）=類比得出數學中斜率的定義。

【設計意圖】 分析學生熟悉的例子，構建新舊知識聯接的橋梁，符合學生的認知規律。通過生活上坡度的問題，引出數學中斜率的概念，培養學生觀察、類比、探究的數學思維。

問題5：斜率和傾斜角的關系是怎樣的呢？

試試：已知各直線傾斜角，則其斜率的值為

（1）當α=0°時，則k__________；

（2）當0°<α<90°時，則k__________；

（3）當α=90°時，則k__________；

（4）當90°<α<180°時，則k__________。

【設計意圖】 進一步加深對傾斜角與斜率的關系的理解。

（四）探究3：過兩點的直線的斜率公式

問題6：學習教材P83～P84，探究如何由直線上兩點的坐標計算直線的斜率。

給定兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），試求直線P1P2的斜率k。

【設計意圖】 逐步實踐坐標法。

追問：上述公式的適用范圍是什么？與所取的點的坐標是否有關，與所取點的先后順序是否有關？

【設計意圖】 辨析公式。

數學思想方法是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。以上教學過程重視數學思想方法的挖掘和應用，使學生經歷幾何問題代數化的過程，并初步了解解析幾何研究問題的基本思想方法，學習解析幾何，就是要“以數解形”和“以形助數”，學會把握數形之間的內在聯系。

問題7：教師進一步引導：兩點間斜率公式有什么注意事項嗎？

引導學生討論，學生代表發言：

1. 垂直于x軸的直線無斜率。

2. 斜率公式與直線上點的位置無關，學生一般會想到用相似三角形的相似比來證明該問題，此處滲透了數形結合的思想。

師：辨析公式追問：上述公式的適用范圍是什么？與所取點的坐標是否有有關，與所取點的先后順序是否有關？

公式的特點：（1）當x1=x2時，公式不適用，此時α=90°；（2）直線的斜率可以通過直線上任意兩點的坐標來表示；（3）與兩點的順序無關。

二、數學史在《直線的傾斜角與斜率》教學中的應用

（一）采用數學史進行情境教學，激發學生的數學學習動機

當代希臘的《數學教學綱要》指出，教材中使用歷史材料的目的是“提高學生學習數學的興趣，使他們熱愛數學。”

在本節課的導入中，運用數學史進行情境教學，有機融入數學史。開課時，在指導學生閱讀的基礎上，通過整合章頭圖和開篇語，簡介解析幾何的發展歷史，讓學生初步了解解析幾何的基本思想，感受科學家的發現過程和情緒體驗，讓學生融入科學家的思維情境和發明創造的氛圍中，激發學生的創造意識和探索精神。正所謂“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”。

在數學教學中，把數學史中經典的歷史話題恰倒好處地引入到數學課堂中，可以事半功倍，幫助學生多角度認識數學，展示數學不斷發展的生動有趣，會使學生感到造化安排數學之巧妙，數學家創造數學之深邃，數學學習領悟之歡快，從而可以大大激發學生學習數學的興趣，學生真正感受到數學的美麗，被數學所吸引，從而喜歡數學，熱愛數學。

（二）在教學過程設計中感受概念的來龍去脈，體現解析幾何的基本思想

傾斜角和斜率，都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而斜率是從“數”的角度刻畫直線的傾斜程度。傾斜角是一個橋梁，利用它可以將兩直線的位置關系問題轉化為斜率問題。而在建立直線方程，研究直線的幾何性質時斜率起著重要的作用。因此，坐標法和斜率是本課時的核心概念。傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立，是本節課的主要教學任務。

據此確定本節課研究問題的思路“用角刻畫傾斜程度→一點一角確定直線→坐標運算研究幾何特征→形成k與α統一”與解析幾何的基本思想“幾何問題→代數問題→代數結論→幾何解釋”是完全吻合的。

本節課的教學設計注重把概念的來龍去脈呈現給學生，如笛卡兒在他的書籍《方法論》和《指導思維的法則》中，就提出疑問：古希臘人只告訴你結論是什么，如何證明，但沒有告之結論是如何發現的。如歐拉的《原本》證明了幾百個命題，但并沒有說明它們是如何被發現的。于是笛卡兒企圖找到一種發現真理的一般方法，讓普通人也發現真理。笛卡兒（下轉46頁）（上接44頁）把他的方法叫“普遍數學”，解析幾何正是他將這種“普遍數學”實施于幾何學時創造出來的工具。他主張“采取幾何學和代數學中一切最好的東西，互相取長補短”。這種大膽思索創新的精神，正是我們要認真學習的。

（三）著重探究斜率的定義及計算公式，體會數形結合思想的作用和解析幾何中建立坐標系的價值

從問題出發，通過一系列問題的作答、體悟，很自然地引入了斜率這個概念，學生不會感到很突然，難以理解。從而調動了學生探究的主動性。使學生切實理解斜率和傾斜角都是反映“直線傾斜程度”這一概念的本質特征，讓學生體會到直線的傾斜角側重于直線的幾何直觀形象，直線的斜率則側重于用數來說明直線的方向。

斜率概念產生的過程，充分體現了解析幾何的基本思想方法。（1）兩點是確定一直線的幾何要素，傾斜角是反映直線傾斜程度的幾何特征量，借助坐標系，點可以坐標表示，直線的傾斜角自然可由兩點的坐標來確定，而引進斜率這一概念很好地溝通了兩者的聯系。使得幾何量有了代數化的表示。（2）斜率使直線的代數形式y=kx+b中的k有了明確的幾何意義。（3）通過斜率可以判斷直線的傾斜程度，討論直線的位置關系（主要是平行與垂直），這是用代數方法解決幾何問題的典型示例。

這樣，讓學生分別用幾何和代數來刻畫傾斜程度，把握代數與幾何間通過坐標法的聯系，從而掌握解析幾何的基本思想，通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，滲透辯證唯物主義思想，滲透幾何問題代數化的解析幾何研究思想。

在數學概念與理論的教學中，運用數學史教學可以使學生親歷知識的發生、發展過程，即數學模式的建構過程，以培養學生的原創性思維。讓學生通過探索、反思、修改、完善，經歷曲折和反復，使學生真正理解一個數學問題是怎樣提出來的，一個數學概念是如何形成的，一個結論是怎樣探索和猜測到的，以及是如何應用的。

【參考文獻】

[1] 李大永，白永瀟，張思明. 高中數學特別教案[M]. 福建：福建教育出版社，2012：34～47.

[2] 中國人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準[M]. 北京：人民教育出版社，2003（4）.

[3] 易峻. 新課程背景下高中數學課堂模式研究[J]. 中學數學月刊，2010（3）：14～15.

[4] 吳駿，黃青云. 基于數學史的平均數、中位數和眾數的理解[J]. 數學通報，2013（11）：16～20.