“局部”——高中數學試題新的命制點

筆者在文[1]就基本不等式的“局部”應用作了一點探討，經筆者對近年高中數學試題的進一步研究發現，“局部”二字已成為高中數學試題新的命制點，特歸類整理說明如下，供參考：

1 “局部”基本不等式

在求多元條件下的最值時，無法一次性直接應用基本不等式，只能“局部”應用.

例1 （2010年四川）設a>b>0，則a2+1ab+1a（a-b）的最小值為 .

解

a2+1ab+1a（a-b）=a2-ab+ab+1ab+1a（a-b）

=a（a-b）+1a（a-b）+ab+1ab≥2+2=4.

當且僅當a=2，b=22時，等號成立.所以a2+1ab+1a（a-b）的最小值為4.

注 “局部”基本不等式，我們已在文[1]做了歸納與說明，這里不再重復.

2 “局部”線性規劃

在線性規劃問題中，當目標函數的代數或幾何意義不明確或無法指定時，不能一次性直接應用線性規劃，只能“局部”應用線性規劃.

例2 已知實數x、y滿足2x-y≤0，

x+y-5≥0，

y-4≤0，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，則實數a的最小值是 .

分析 好多學生是這樣做的：直接由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，則a≥（x+y）2x2+y2max，而（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2≤2（當x=y時，取“=”號），所以a≥2，即實數a的最小值是2.根本用不到題中已知的不等式組，也就是說：題中的不等式組是多余條件，這樣的解題肯定是錯誤的.也有學生這樣思考，按理說：這應該是一道線性規劃題，我們應該通過可行域來求出（x+y）2x2+y2max，可這怎么求啊！表達式（x+y）2x2+y2不具有很明確的代數或幾何意義，絕大多數學生無法進行下去，只有少部分學生認為：（x+y）2x2+y2max=（x+y）2max（x2+y2）min，這樣一來，（x+y）2max和（x2+y2）min均具備了很好的幾何意義，結合可行域，可得：（x+y）2max=（2+4）2=36，（x2+y2）min=（53）2+（103）2=1259，所以得到：（x+y）2x2+y2max=361259=324125.實際上，（x+y）2在點（2，4）處取最大值;而x2+y2在點（53，103）處取最小值，顯然這也是錯誤的.

解 由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，則a≥（x+y）2x2+y2max.

設z=yx，則（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2=1+2xy+yx=1+2z+1z.

由線性規劃知識易得：z=yx∈[2，4]，z+1zmin=2+12=52，

（x+y）2x2+y2max=1+2z+1zmin=1+45=95.

所以實數a的最小值是95，而不是2.原因很簡單，因為yx∈[2，4] 所以x就不可能等于y，也就是說：我們只能得到：a>2，同樣的，我們也只能得到：a>324125.

3 “局部”絕對值

3.1 “局部”絕對值函數

y=f（x）、y=f（x）這兩種函數已為廣大師生所熟悉，其處理方法可謂是人人皆知.但當函數解析式當中局部自變量或局部表達式含有絕對值時，就出現了一種新的函數，在此，我們把它稱之為：“局部”絕對值函數，這類函數很新，有一定的難度，是不少學生的克星，很難對付.不用怕，去絕對值，分段是根本.

例3 （2012年某市模擬）在平面直角坐標系xOy中，若直線y=kx+1與曲線y=∣x+1x∣-∣x-1x∣有四個公共點，則實數k的取值范圍是 .

解 易知函數y=∣x+1x∣-∣x-1x∣為偶函數，所以只需在（0，+∞）上研究問題，

去絕對值后，可得：y=2x，0<x<1，

2x，x>1，而直線y=kx+1恒過定點（0，1），結合圖像易得：當直線斜率為0或在（1，+∞）上與曲線相切時，符合題意，

再結合曲線的對稱性，可得：實數k的取值范圍是-18，0，-18.

評析 這里的函數y=x+1x-x-1x含有兩個獨立的絕對值，如何分段，去絕對值成為難點，而如能發現此函數為偶函數的話，那問題就不那么棘手了.

例4 設函數f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），給出下列4個命題：

①當b=0，c=0時，f（x）=0只有一個實數根;②當c=0時，y=f（x）是偶函數;③函數y=f（x）的圖像關于點（0，c）對稱;④當b≠0，c≠0時，方程f（x）=0有兩個實數根.上述命題中，所有正確命題的個數是 .

解 f（x）=x2+bx+c，x≥0，

-x2+bx+c，x<0，而當b=0，c=0時，f（x）=x2，x≥0

-x2，x<0結合圖像易知①正確;當c=0時，f（-x）=-x-x-bx=-xx-bx=-f（x），為奇函數，所以②錯;由f（x）+f（-x）=（xx+bx+c）+（-x-x-bx+c）=2c可得：函數y=f（x）的圖像關于點（0，c）對稱，所以③正確;當b≠0，c≠0時，不妨取：b=2，c=1，結合圖像，可得：方程f（x）只有一個實數根，所以④錯.所以正確命題共2個.

評析 很多學生都怕這種多選類的題型，很難做對，不能出一點差錯，每一小問都必須很仔細地去面對.而這里再加入“局部”絕對值以及兩個參數，更增加了此題的“難度”.而由以上解題過程，我們發現：實際上，此題一點都不難，這里，告訴我們一個經驗，在面對難度最大的④時，取特殊值可是很快捷的途徑.

例5 （2010年江蘇） 設a為實數，函數f（x）=2x2+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍;

（2）求f（x）的最小值;

（3）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞）直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.

解 （1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1a<0

a2≥1a≤-1.

（2）當x≥a時，f（x）=3x2-2ax+a2，f（x）min=f（a），a≥0

f（a3），a<0=2a2，a≥0

2a23，a<0

當x≤a時，f（x）=x2+2ax-a2，f（x）min=f（-a），a≥0

f（a），a<0=-2a2，a≥0

2a2，a<0

綜上f（x）min=-2a2，a≥0，

2a23，a<0.

（3）x∈（a，+∞）時，h（x）≥1得3x2-2ax+a2-1≥0，Δ=4a2-12（a2-1）=12-8a2.

當a≤-62或a≥62時，Δ≤0，x∈（a，+∞）;

當-62<a<62時，Δ>0，得：

x-a-3-2a23x-a+3-2a23≥0

x>a

討論得：當a∈22，62時，解集為（a，+∞）;

當a∈-62，-22時，解集為：

a，a-3-2a23∪a+3-2a23，+∞;

當a∈-22，22時，解集為：

a+3-2a23，+∞.

評析 此題是2010年江蘇高考的函數壓軸題，函數不僅含“局部”絕對值，而且分段的那個點居然是個動點.分段后，還要再討論，此題綜合考查了考生靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題等多種能力，是一道鍛煉學生思維能力的好題.

3.2 “局部”絕對值數列

由于數列是特殊的函數，所以在數列題中，也就自然的出現了“局部”絕對值.

例6 （2013年某市模擬）已知數列an=n-16，bn=（-1）nn-15，其中n∈N*.

（1）求滿足an+1=bn的所有正整數n的集合;

（2）n≠16，求數列bnan的最大值和最小值;

（3）記數列{anbn}的前n項和為Sn，求所有滿足S2m=S2n（m<n）的有序整數對（m，n）.

解 （1）略.（2）bnan=（-1）nn-15n-16.

（ⅰ）當n>16時，n取偶數，bnan=n-15n-16=1+1n-16.當n=18時（bnan）max=32，無最小值.

n取奇數時bnan=-1-1n-16，n=17時bnanmin=-2，無最大值.

（ⅱ）當n<16時，bnan=-（-1）n（n-15）n-16.當n為偶數時，bnan=-（n-15）n-16=-1-1n-16.

n=14時，bnanmax=-12;

n=2時，bnanmin=-1314.

當n為奇數，bnan=n-15n-16=1+1n-16，

n=1，（bnan）max=1-115=1415，

n=15，bnanmin=0.

綜上，bnan最大值為32（n=18），最小值-2（n=17）.

（3）n≤15時，bn=（-1）n-1（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（16-2k）≥0，n>15時，bn=（-1）n（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（2k-16）>0，其中a15b15+a16b16=0，所以S16=S14，m=7，n=8.

評析 此題的條件很是新穎，看上去很簡單，但實際做起來，不怎么輕松，第（2）小題須進行2重分類討論，而第（3）小題具有很強的技巧性.在此，我們希望此題的出現能引起廣大師生的注意，它可能是一個大風暴的前奏，望大家多加提防.

通過上述6道例題的求解，我們發現：在“局部”著眼，在“局部”命題，已在高中數學多處出現，此類試題以其獨到的考查角度和方式達到了非常好的命題效果，很是值得我們廣大師生密切關注.

參考文獻

[1] 朱傳美，翟放明.例談基本不等式的“局部”應用[J].中學數學月刊，2013（4）.

作者簡介 朱傳美，男，江蘇興化人，1976年4月出生，中學一級教師，泰州市教學能手，對高考數學試題有一定研究，發表論文80多篇.