“局部”——高中數(shù)學(xué)試題新的命制點(diǎn)

筆者在文[1]就基本不等式的“局部”應(yīng)用作了一點(diǎn)探討，經(jīng)筆者對(duì)近年高中數(shù)學(xué)試題的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，“局部”二字已成為高中數(shù)學(xué)試題新的命制點(diǎn)，特歸類整理說(shuō)明如下，供參考：

1 “局部”基本不等式

在求多元條件下的最值時(shí)，無(wú)法一次性直接應(yīng)用基本不等式，只能“局部”應(yīng)用.

例1 （2010年四川）設(shè)a>b>0，則a2+1ab+1a（a-b）的最小值為 .

解

a2+1ab+1a（a-b）=a2-ab+ab+1ab+1a（a-b）

=a（a-b）+1a（a-b）+ab+1ab≥2+2=4.

當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=22時(shí)，等號(hào)成立.所以a2+1ab+1a（a-b）的最小值為4.

注 “局部”基本不等式，我們已在文[1]做了歸納與說(shuō)明，這里不再重復(fù).

2 “局部”線性規(guī)劃

在線性規(guī)劃問(wèn)題中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)或幾何意義不明確或無(wú)法指定時(shí)，不能一次性直接應(yīng)用線性規(guī)劃，只能“局部”應(yīng)用線性規(guī)劃.

例2 已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x-y≤0，

x+y-5≥0，

y-4≤0，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是 .

分析 好多學(xué)生是這樣做的：直接由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，則a≥（x+y）2x2+y2max，而（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2≤2（當(dāng)x=y時(shí)，取“=”號(hào)），所以a≥2，即實(shí)數(shù)a的最小值是2.根本用不到題中已知的不等式組，也就是說(shuō)：題中的不等式組是多余條件，這樣的解題肯定是錯(cuò)誤的.也有學(xué)生這樣思考，按理說(shuō)：這應(yīng)該是一道線性規(guī)劃題，我們應(yīng)該通過(guò)可行域來(lái)求出（x+y）2x2+y2max，可這怎么求啊！表達(dá)式（x+y）2x2+y2不具有很明確的代數(shù)或幾何意義，絕大多數(shù)學(xué)生無(wú)法進(jìn)行下去，只有少部分學(xué)生認(rèn)為：（x+y）2x2+y2max=（x+y）2max（x2+y2）min，這樣一來(lái)，（x+y）2max和（x2+y2）min均具備了很好的幾何意義，結(jié)合可行域，可得：（x+y）2max=（2+4）2=36，（x2+y2）min=（53）2+（103）2=1259，所以得到：（x+y）2x2+y2max=361259=324125.實(shí)際上，（x+y）2在點(diǎn)（2，4）處取最大值;而x2+y2在點(diǎn)（53，103）處取最小值，顯然這也是錯(cuò)誤的.

解 由a（x2+y2）≥（x+y）2得：a≥（x+y）2x2+y2，則a≥（x+y）2x2+y2max.

設(shè)z=yx，則（x+y）2x2+y2=1+2xyx2+y2=1+2xy+yx=1+2z+1z.

由線性規(guī)劃知識(shí)易得：z=yx∈[2，4]，z+1zmin=2+12=52，

（x+y）2x2+y2max=1+2z+1zmin=1+45=95.

所以實(shí)數(shù)a的最小值是95，而不是2.原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)閥x∈[2，4] 所以x就不可能等于y，也就是說(shuō)：我們只能得到：a>2，同樣的，我們也只能得到：a>324125.

3 “局部”絕對(duì)值

3.1 “局部”絕對(duì)值函數(shù)

y=f（x）、y=f（x）這兩種函數(shù)已為廣大師生所熟悉，其處理方法可謂是人人皆知.但當(dāng)函數(shù)解析式當(dāng)中局部自變量或局部表達(dá)式含有絕對(duì)值時(shí)，就出現(xiàn)了一種新的函數(shù)，在此，我們把它稱之為：“局部”絕對(duì)值函數(shù)，這類函數(shù)很新，有一定的難度，是不少學(xué)生的克星，很難對(duì)付.不用怕，去絕對(duì)值，分段是根本.

例3 （2012年某市模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=kx+1與曲線y=∣x+1x∣-∣x-1x∣有四個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .

解 易知函數(shù)y=∣x+1x∣-∣x-1x∣為偶函數(shù)，所以只需在（0，+∞）上研究問(wèn)題，

去絕對(duì)值后，可得：y=2x，0<x<1，

2x，x>1，而直線y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），結(jié)合圖像易得：當(dāng)直線斜率為0或在（1，+∞）上與曲線相切時(shí)，符合題意，

再結(jié)合曲線的對(duì)稱性，可得：實(shí)數(shù)k的取值范圍是-18，0，-18.

評(píng)析 這里的函數(shù)y=x+1x-x-1x含有兩個(gè)獨(dú)立的絕對(duì)值，如何分段，去絕對(duì)值成為難點(diǎn)，而如能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)為偶函數(shù)的話，那問(wèn)題就不那么棘手了.

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c（x∈R），給出下列4個(gè)命題：

①當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;②當(dāng)c=0時(shí)，y=f（x）是偶函數(shù);③函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱;④當(dāng)b≠0，c≠0時(shí)，方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.上述命題中，所有正確命題的個(gè)數(shù)是 .

解 f（x）=x2+bx+c，x≥0，

-x2+bx+c，x<0，而當(dāng)b=0，c=0時(shí)，f（x）=x2，x≥0

-x2，x<0結(jié)合圖像易知①正確;當(dāng)c=0時(shí)，f（-x）=-x-x-bx=-xx-bx=-f（x），為奇函數(shù)，所以②錯(cuò);由f（x）+f（-x）=（xx+bx+c）+（-x-x-bx+c）=2c可得：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱，所以③正確;當(dāng)b≠0，c≠0時(shí)，不妨取：b=2，c=1，結(jié)合圖像，可得：方程f（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以④錯(cuò).所以正確命題共2個(gè).

評(píng)析 很多學(xué)生都怕這種多選類的題型，很難做對(duì)，不能出一點(diǎn)差錯(cuò)，每一小問(wèn)都必須很仔細(xì)地去面對(duì).而這里再加入“局部”絕對(duì)值以及兩個(gè)參數(shù)，更增加了此題的“難度”.而由以上解題過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)：實(shí)際上，此題一點(diǎn)都不難，這里，告訴我們一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，在面對(duì)難度最大的④時(shí)，取特殊值可是很快捷的途徑.

例5 （2010年江蘇） 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍;

（2）求f（x）的最小值;

（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞）直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.

解 （1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1a<0

a2≥1a≤-1.

（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x2-2ax+a2，f（x）min=f（a），a≥0

f（a3），a<0=2a2，a≥0

2a23，a<0

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x2+2ax-a2，f（x）min=f（-a），a≥0

f（a），a<0=-2a2，a≥0

2a2，a<0

綜上f（x）min=-2a2，a≥0，

2a23，a<0.

（3）x∈（a，+∞）時(shí)，h（x）≥1得3x2-2ax+a2-1≥0，Δ=4a2-12（a2-1）=12-8a2.

當(dāng)a≤-62或a≥62時(shí)，Δ≤0，x∈（a，+∞）;

當(dāng)-62<a<62時(shí)，Δ>0，得：

x-a-3-2a23x-a+3-2a23≥0

x>a

討論得：當(dāng)a∈22，62時(shí)，解集為（a，+∞）;

當(dāng)a∈-62，-22時(shí)，解集為：

a，a-3-2a23∪a+3-2a23，+∞;

當(dāng)a∈-22，22時(shí)，解集為：

a+3-2a23，+∞.

評(píng)析 此題是2010年江蘇高考的函數(shù)壓軸題，函數(shù)不僅含“局部”絕對(duì)值，而且分段的那個(gè)點(diǎn)居然是個(gè)動(dòng)點(diǎn).分段后，還要再討論，此題綜合考查了考生靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題等多種能力，是一道鍛煉學(xué)生思維能力的好題.

3.2 “局部”絕對(duì)值數(shù)列

由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以在數(shù)列題中，也就自然的出現(xiàn)了“局部”絕對(duì)值.

例6 （2013年某市模擬）已知數(shù)列an=n-16，bn=（-1）nn-15，其中n∈N*.

（1）求滿足an+1=bn的所有正整數(shù)n的集合;

（2）n≠16，求數(shù)列bnan的最大值和最小值;

（3）記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Sn，求所有滿足S2m=S2n（m<n）的有序整數(shù)對(duì)（m，n）.

解 （1）略.（2）bnan=（-1）nn-15n-16.

（ⅰ）當(dāng)n>16時(shí)，n取偶數(shù)，bnan=n-15n-16=1+1n-16.當(dāng)n=18時(shí)（bnan）max=32，無(wú)最小值.

n取奇數(shù)時(shí)bnan=-1-1n-16，n=17時(shí)bnanmin=-2，無(wú)最大值.

（ⅱ）當(dāng)n<16時(shí)，bnan=-（-1）n（n-15）n-16.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bnan=-（n-15）n-16=-1-1n-16.

n=14時(shí)，bnanmax=-12;

n=2時(shí)，bnanmin=-1314.

當(dāng)n為奇數(shù)，bnan=n-15n-16=1+1n-16，

n=1，（bnan）max=1-115=1415，

n=15，bnanmin=0.

綜上，bnan最大值為32（n=18），最小值-2（n=17）.

（3）n≤15時(shí)，bn=（-1）n-1（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（16-2k）≥0，n>15時(shí)，bn=（-1）n（n-15），a2k-1b2k-1+a2kb2k=2（2k-16）>0，其中a15b15+a16b16=0，所以S16=S14，m=7，n=8.

評(píng)析 此題的條件很是新穎，看上去很簡(jiǎn)單，但實(shí)際做起來(lái)，不怎么輕松，第（2）小題須進(jìn)行2重分類討論，而第（3）小題具有很強(qiáng)的技巧性.在此，我們希望此題的出現(xiàn)能引起廣大師生的注意，它可能是一個(gè)大風(fēng)暴的前奏，望大家多加提防.

通過(guò)上述6道例題的求解，我們發(fā)現(xiàn)：在“局部”著眼，在“局部”命題，已在高中數(shù)學(xué)多處出現(xiàn)，此類試題以其獨(dú)到的考查角度和方式達(dá)到了非常好的命題效果，很是值得我們廣大師生密切關(guān)注.

參考文獻(xiàn)

[1] 朱傳美，翟放明.例談基本不等式的“局部”應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（4）.

作者簡(jiǎn)介 朱傳美，男，江蘇興化人，1976年4月出生，中學(xué)一級(jí)教師，泰州市教學(xué)能手，對(duì)高考數(shù)學(xué)試題有一定研究，發(fā)表論文80多篇.