2014年高考線性規劃“亮題”

綜觀近幾年線性規劃的命題，最初單純考查可行域的畫法、目標函數的幾何意義，經過幾年的演變，現在更關注線性規劃與其它知識模塊之間的綜合.題型越來越活潑開放，從單一的、靜態的線性規劃發展到較為全面的、動態的線性規劃.本文例舉幾道2014年高考線性規劃“亮題”與諸位共同欣賞.

1 線性規劃與函數交匯

例1 （2014年山東理）已知x，y滿足約束條件x-y-1≤0，

2x-y-3≥0，當目標函數z=ax+by（a>0，b>0）在該約束條件下取到最小值25時，a2+b2的最小值為（ ）.

A.5 B.4 C.5 D.2

答案 B.

解析 畫出可行域（如圖1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by經過直線2x-y-3=0與直線x-y-1=0的交點A（2，1）時，z取最小值25.將A（2，1）代入目標函數，得2a+b=25，以下用兩種方法求a2+b2的最小值：

圖1

方法1 （轉化為二次函數求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），當a=455時，a2+b2的最小值是4.

方法2 （利用幾何意義）轉化為求直線2a+b=25上的點到原點距離平方的最小值，即原點到直線2a+b=25的距離的平方，利用點到直線的距離公式即得.

考點 將簡單的線性規劃與非線性目標函數的最值相結合，考查簡單線性規劃的應用，二次函數的圖像與性質，點到直線距離的幾何意義.對于解決非線性目標函數最值問題的關鍵在于深挖目標函數的幾何意義，利用數形結合思想求出最值.

拓展探究 若實數x，y 滿足不等式組

y≤x-1，

x≤3，x+5y≥4，則x2y 的最小值是（ ）.

2 線性規劃與全稱、存在量詞結合

例2 （2014年全國課標1）不等式組

x+y≥1，

x-2y≤4的解集記為D.有下面四個命題：

p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，

p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，

p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，

p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.

其中真命題是（ ）.

A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3

答案 C.

圖2

解析 畫出可行域（如圖2），將四個命題依次代入檢驗，對于命題p1，可行域內的點恒在直線x+2y=-2的上方，即對所有可行域內的點都滿足不等式x+2y≥-2（圖3）;

圖3 圖4

同理對命題p2，可行域內存在點在直線x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（圖4）.

其他兩個命題經檢驗不合適.

考點 考查不等式（組）表示的平面區域，全稱、存在量詞的含義.

3 線性規劃與“不等式恒成立”問題融合

例3 （2014年浙江）當實數x，y滿足

x+2y-4≤0，

x-y-1≤0，

x≥1，時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是 .

答案 1，32.

解析 畫出可行域，欲使不等式組1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域內的點恒在兩條平行線之間，兩條平行線斜率為-a，分別恒過（0，1），（0，4）點，如圖5、圖6可得a的取值范圍.

圖5

圖6

考點 本題將線性規劃與不等式恒成立問題相結合，本質是動態可行域問題，所謂動態的可行域，即在約束條件中含有使可行域發生變化的參數.對于動態的可行域問題，要注意切入的角度、方向，抓住一些不變的量，變動為靜，向熟悉的、已有的知識轉化，從而化解問題.本題兩條平行線斜率含有參變量a，不變的量是兩條平行線所過的定點，切入點是直線所過的定點.

拓展探究 （2014年湖南）若變量x，y滿足約束條件y≤x，

x+y≤4，

y≥k，且z=2x+y的最小值為-6，則k= .

4 線性規劃與概率融匯

例4 （2014年湖北）由不等式

x≤0，

y≥0，

y-x-2≤0，確定的平面區域記為Ω1，不等式x+y≤1，

x+y≥-2，確定的平面區域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內的概率為（ ）.

A.18 B.14 C.34 D.78

答案 D.

圖7

解析 依題意，不等式組表示的平面區域（如圖7），

由幾何公式知，該點落在Ω2內的概率為P=

12×2×2-12×1×1212×2×2=78，選D.

考點 本題考查不等式組表示的平面區域，面積型的幾何概型，屬于中檔題.

拓展探究 （2014年重慶）某校早上8：00上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30—7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.（用數字答）

2014年線性規劃高考題多以客觀題形式考查，小巧玲瓏，韻味十足.綜合課標卷，各省市自主命題卷，都在創新上不遺余力，在能力立意的基礎上，大膽的深化，為題目的命制提供新穎的背景，巧妙的條件，深度的設問.因此對于線性規劃的高考復習要拓寬思路，改變程序化，特別注重線性規劃與其他知識模塊之間的綜合.在牢固掌握基礎知識和基本思想方法的同時，注重橫向聯系，善于挖掘其中的幾何背景，抓住問題的實質，并通過一定的訓練，切實提高學生的綜合應用能力.

作者簡介 劉亮，女，1979年生，山東濟南人，一級教師.榮獲全國高中青年數學教師優質課二等獎，山東省中學數學教師創新課堂一等獎，山東省中學數學教師優質課一等獎.多篇論文分別獲得教育部全國高中數學課程論文比賽二等獎，山東省教育科研成果評選一等獎.發表多篇文章.