初中數學概念教學的有效方式

彭利+周曉娟

數學概念是一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的抽象，是導出全部數學定理、法則、公式的邏輯基礎。數學概念相互聯系，由簡到繁形成學科體系。數學概念是數學知識的基礎，是數學思想和方法的載體，是數學學習的核心。因此，數學概念的教學質量直接影響學生以后的學習和發展。結合初中學生的知識結構和年齡特點，我們認為，初中數學概念的教學中，要重構學生原有的認知結構，再現概念的現實背景，引導學生經歷概念的發生、形成、回歸，逐步理解概念的內涵和外延，并在運用概念的過程中鞏固概念。基于以上理念，我以《銳角三角函數（第一課時）》教學為例，談談概念教學的有效方式。

一、重視學生原有認知結構，拓展聯想空間

新概念學習的前提是學生具有良好的認知結構和豐厚的知識積累，必須喚起學生原有認知結構中的有關知識和生活經驗。有些教師認為學生已具備了相關知識的儲備，沒有必要進行復習，結果出現學生對新概念茫然混沌、理解碎裂的狀況。在案例教學中，三角函數也是反映兩個變量之間的關系，為突出函數的本質，我在教學中引導學生復習已學過的函數，再順勢揭題。

【課堂設計一】 鋪墊引入：

1. 我們已經學習了哪些函數？每個函數中有幾個變量？哪個是自變量，哪個是因變量？每個函數的表達式是怎樣的？（體會變量、體會數學符號。）

2. 翻開本單元的課本，看學習課題是什么？（三角函數也是函數，既然是函數，那么是研究哪兩個變量之間的關系呢？）

二、再現數學概念現實背景，激發學習興趣

數學來源于生活，服務于生活。龐加萊曾講過這樣一個故事：教室里，先生對學生說“圓周是一定點到同一平面上等距離點的軌跡”，可學生聽后面面相覷，誰也不明白圓周是什么，于是先生拿起粉筆在黑板上畫了一個圓圈，學生們立即歡呼起來“啊，圓周就是圓圈啊，明白了”，這一故事告訴我們進行概念教學時，教師應從實際出發，創設情境，提出問題，讓學生在滿腹狐疑中覺得有必要學習這個概念。新課標也提出，數學概念應從學生熟悉的生活情境出發，選擇學生身邊的感興趣的事物，讓學生觀察、交流、反思，讓數學概念在緩慢的思維洗滌中自然顯現。案例中，我引入汽車爬坡的生活場景，比較坡的傾斜程度不但可以用傾斜角判斷，還可以用什么量判斷？讓學生在比較中尋找方法。最終出現比值這個量。（因為比值作為一個量隨另一個量變化是教學中的難點，應逐步化解。）

【課堂設計二】 提出問題：

1. 在圖1中，有兩個直角三角形，直角邊AC和A1C1表示水平面，斜邊AB和A1B1分別表示兩個不同的坡面，坡面AB和A1B1哪個更陡？你判斷的理由是什么？

[A][C][B][A][C][B][圖1]

生1：坡面A1B1比坡面AB更陡，因為∠A1>∠A（合理解釋，但它是觀察的結果，還有其它理由嗎？注意鉛直高度不同）

生2：我認為理由是B1C1>BC（這種解釋合理嗎？請看圖2.）

2. 在圖2中，類似的，坡面AB和A1B1哪個更陡？你又是怎么解釋？

[A][C][B][A][C][B][圖2]

生3：坡面A1B1比坡面AB更陡，因為∠A1>∠A。

生4：我認為理由是A1C1

3. 在圖3中，你又是怎么解釋的呢？（注意水平長度和鉛直高度都不同，學生發現比較邊長無法解釋坡度大小，產生了新的思維困惑，求知欲望大增。圖中角的大小是大家觀察的，并沒有標明。但圖中標明了兩條直角邊長。那么仔細觀察三組圖形中的直角邊長，它告訴我們什么？與傾斜程度的關系？）

[A][C][B][A][C][B][圖3]

生5：我發現圖1中，=0.2，=0.30，有0.3>0.2；圖2中，=0.2，=0.25， 有0.25>0.2；圖3中，=0.2，=0.25，有0.25>0.2。

每組圖形中，第二個圖形的這個比值大，與它的坡面更陡結論一致。（你的意思是說用這個比值來衡量坡面的傾斜程度嗎？為什么可以？）

生5：是的，這個比值越大，坡角越大，坡面越陡。（看來，這個比值與這個坡角有關系，是什么關系呢？我們來看下面的問題。）

三、經歷數學概念思維過程，體驗成長快樂

數學概念不是靠直截了當定義出來的，而是靠千般探究、萬般磨練“做”出來的。在概念教學中，如果沒有學生的經歷，沒有苦苦的尋求，沒有情感的體驗，學生很難將概念內省為自身的問題意識，也無法生成問題、解決問題。概念教學教師不應該匆匆下定義，不應該用講解代替學生的思維過程。因此數學概念的教學就應該成為思維的體操，積極展示思維的發生、發展，從具體到抽象，讓概念在條理中、在生動活潑的思維歷練中自然生成。課例中，通過問題的設計和不斷的探究，讓學生體會到在直角三角形中：銳角固定，則這個角的對邊與鄰邊的比值固定。自然得出：銳角變化，則這個角的對邊與鄰邊的比值隨之變化。正切概念來之自然、呼之欲出。

【課堂設計三】 如圖4，銳角A的一邊上任取一點B，自點B向另一邊作垂線，垂足是C，得到直角三角形ABC。再任取一點B1，自點B1作另一邊的垂線，垂足是C1，得到另一個直角三角形。

[圖4][A][C][B][C1][B1][C2][B2]

1. 請一個同學上黑板測量角A的對邊BC、AC的長度，并計算的值。（動手測量既培養了學生動手能力，也揭示了可以用測量的方法求比值。）

2. 、的值相等嗎？為什么？呢？（不再測量其它比值，從理論上探究比值的關系，達到理性認識，加深對銳角固定，比值固定的認識。）

3. 以上事實說明什么道理呢？（在學生動手并充分探究的基礎上，得到結論，這個結論教師不要匆忙總結，要有耐心等待學生的思考和回答。）

生6：我發現，在直角三角形ABC中，當銳角A的大小固定，它的對邊與鄰邊的比值就固定。

4. 那么當銳角A的大小變化時，它的對邊與鄰邊的比值怎樣呢？（用動畫演示圖4中角度增大，BC增大，AC不變，比值怎樣變化？）

5. “角變，比值變”。這里出現了兩個變量，是哪兩個變量？哪個是自變量，哪個是因變量？（讓學生交流討論）

6. 水到渠成和同學們一起給出正切函數定義，并用符號表示。（深挖概念中的字、詞、句、條件、結論、書寫符號。）

四、理解數學概念內涵外延，構建問題模式

美國華盛頓州國立兒童圖書館里有一句醒目的標語：“我聽過了，就忘記了；我見過了，就記住了；我做過了，就理解了。”數學概念教學不應淪為教師喋喋不休的解釋、學生搖頭晃腦的背誦。也不是概念匆匆過，練習重復做。概念教學必須讓學生掌握概念的內涵和外延，幫助學生內化概念，建構新的知識網絡，增加概念問題模式。必須讓學生在具體的解決問題中，深化對概念本質的理解和生活化的回歸。因此，多角度、多變式、循序漸進的安排概念問題的訓練是概念固化的關鍵，這個環節的成功與否直接影響學生的解題能力的提高。案例中，既回歸生活（坡面），又對概念的內涵和外延進行了例題設計，強化了對正切概念的本質認識，為下課時正弦、余弦概念的學習打好了基礎。

【課堂設計四】 在概念的基礎上，順勢導入問題解決。

1. 回到坡度問題，并介紹坡度概念。

2. 你能說出坡角的正切與坡度的關系嗎？

3. 題組訓練。

英國教育家威廉·詹姆斯評價教師：“平庸的教師說教，好的教師解惑，優秀的教師示范，卓越的教師啟迪。”優秀的課堂總是浸透了教者的心血和汗水。作為教師，在數學概念這一重要領域的教學中，一定要下足工夫，重視概念，優化設計，把握過程，學生主體，教師引導。教師要創造性地使用教材，問題引領，思維闖關。真正地讓學生在積極參與的過程中產生內心的體驗和思維的快樂，切實提高學生的數學素養，為學生的高中數學學習打下堅實的基礎。

【參考文獻】

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