HPM 視角教師專業發展的研究與啟示

蒲淑萍，汪曉勤

（1．重慶師范大學 初等教育學院，重慶 400700；2．西南大學 數學與統計學院，重慶 400700；3．華東師范大學 數學系，上海 200241）

HPM 視角教師專業發展的研究與啟示

蒲淑萍1，2，汪曉勤3

（1．重慶師范大學 初等教育學院，重慶 400700；2．西南大學 數學與統計學院，重慶 400700；3．華東師范大學 數學系，上海 200241）

HPM是研究數學史與數學教育關系的國際教育組織，現在學界通常以HPM代表該研究領域．近年來，教師專業發展逐漸成為HPM領域的熱點研究問題之一．國外學者的理論解析與實證研究表明，HPM教學對于教師觀念、知識和能力等具有重要影響；這些研究對中國開展HPM教學與教師專業發展關系的研究，具有方法、內容、范式的重要引領意義；相關研究對于教師培訓的任務制定、模式選擇等具有借鑒意義．

HPM；教師專業發展；啟示

國際HPM組織（The International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics）自1972年成立以來，歷經四十余年發展，在理論研究與實踐探索方面都取得了令學術界矚目的進展與成就．近年，HPM領域對教師專業發展專題的持續關注，使得數學教師專業發展研究，逐漸成為HPM領域的熱門話題、重點問題之一．然而，在中國，以2005年在西北大學召開的第一屆HPM會議為標志，中國的HPM研究開展尚不足10年，及時了解國外已有研究及成功經驗，對中國HPM研究具有重要意義．為此，研究者從“為何”與“如何”兩個維度，對國內外，尤其國外HPM領域關于教師專業發展的研究，進行分析、梳理，希望能為中國HPM教學與教師專業發展的關系研究，提供資料參考與思路借鑒．

1 HPM國際會議中的教師專業發展主題

HPM組織成立之初，它的主要目標并未與教師教育、教師專業發展直接聯系在一起．然而，隨著HPM領域研究的深入，以及數學教育界對教師教育和專業發展問題的日益關注，人們逐漸意識到，數學史知識以及將數學史融入數學教學的能力，是數學教師專業成長的重要條件．這從HPM研究的重要風向標——相關國際會議的主題可見一斑．

早在1998年，在法國馬賽舉行的“數學史在數學教育中的作用”國際研討會，是由國際數學教育委員會（ICMI）組織發起的國際HPM專題會議，“數學史對教師培訓的價值”是會議主題之一[1]．另外，與HPM組織緊密相關的、歐洲世界的國際會議——關于數學教育中的數學史與認識論的歐洲暑期學校（European Summer University on History and Epistemology in Mathematics Education），自1993年以來，已舉辦6屆會議，其中有3屆（第一、四、五屆）會議的主題涉及教師教育或培訓中的數學史．此外，4年一度的國際數學教育大會（ICME），及其后召開的HPM衛星會議，各屆會議對教師專業發展都有所關注．如，2012年舉行的第12屆國際數學教育大會（ICME-12）的HPM衛星會議，兩場專題討論之一“為什么職前數學教師需要‘數學史’課程？”，由土耳其、韓國、美國和法國的4位學者分別發言交流．專題討論之二“關于HPM的實證研究：當前和未來面臨的挑戰”，其中涉及HPM與教師培訓之間的關系闡述[2]．

國際HPM會議對教師專業發展主題的關注，極大地促動了世界各國HPM領域對數學教師教育、專業發展的研究．

2 為何——HPM對教師專業發展的意義

一般來說，教師專業發展是指教師作為專業人員，在專業思想（或觀念）、專業知識、專業能力等方面不斷發展和完善的過程．HPM領域對于教師專業發展的研究，正是圍繞這3個主要方面開展的．

2.1 HPM教學促成（職前）教師觀念的積極轉變

HPM教學對于教師觀念有著重要影響．早在1935年美國數學協會（Mathematics Association of American，MAA）的“關于教師培訓的報告”[3]和1958年英國教育部的相關文件[4]中指出，數學史對于數學教師有著非常重要的作用，在數學觀、數學理解等方面有著積極的影響．因此，建議數學教師加強數學史的學習，并在數學教學中融入數學史．近年來，各國對數學史融入數學教學提出了明確的要求，如，美國數學教師理事會出版的“美國學校數學教育的原則和標準”和中國的數學課程標準等．為適應數學教育改革與發展的要求，數學教師應在數學觀、教學內容及方式等方面做出調適，數學史素養是促成教師觀念轉變的重要因素[5]．

（1）HPM改變（職前）教師的數學觀．

艾薩克（Isaacs, I. V.）等人在1995年針對大學一年級的小學職前教師，開設了一個數學單元——數學的文化起源，重點針對影響初等數學歷史發展的社會與文化因素，促進學生對數學文化意義的欣賞．經過5個專題的教學之后，大部分職前教師能夠從社會、文化等多元視角看待數學，其數學觀發生了積極的變化[6]．潘納蘇克和郝通（Panasuk, R.M., Horton, L. B.）于2011年調查了美國367名中學數學教師，對其數學觀和他們進行HPM教學的關系等進行相關性分析．他們的研究發現，HPM教學對教師科學數學觀的建立起到了積極的促進作用[7]．

（2）HPM改變（職前）教師的數學教學觀．

近年的HPM培訓項目等充分說明，HPM對于教師的數學教學觀念具有積極的影響．楊克（Jahnke, H. N.）等人1999年前后對先前沒有任何數學史知識的職前教師進行培訓，“通過將不熟悉的知識轉化為熟悉的認識，融數學史于數學的HPM教學挑戰了他們的認識”，數學史對教師教育教學觀念具有積極的影響作用[8]．費蓋蒂（Furinghetti, F.）等于2005年前后，在為期兩年的“數學教育實驗室”職前教師培訓項目中，通過將數學史知識作為教學知識的媒介的間接方式，讓參與者體驗、思考數學對象的歷史發展對于數學教學的意義．他們的研究發現，數學史為職前教師提供了用不同方式看待所教主題的機會，數學史對職前教師代數教學順序的建構有著積極影響[9]．阿爾帕斯蘭（Alpaslan, M.）等人，在2010—2011學年秋季學期，對237名職前教師進行調查，研究他們對于數學史融入數學課堂的態度與信念．他們發現，學習數學史具有積極的意義：能豐富職前教師的專業素養，并能使他們意識到數學是全人類的成果．應該為職前教師開設如何將數學史融入數學教學的課程[10]．

（3）HPM改變教師的學生觀．

數學史知識除了幫助數學教師更好地理解所教的概念外，還“改變了他們看待學生的方式”——將他們看作有需求、有思維的個體，過去的發展障礙有助于解釋今天學生的學習困難[11]．因而，教師的信念與當今數學教育改革的哲學基礎趨于一致．擁有科學學生觀的教師，通過融入數學史，其課堂教學實踐得到了極大改進，進而影響到學生的學習．

總之，HPM對數學教師的數學觀、數學教學觀、學生觀有著積極的影響作用．一個具有數學史素養的教師，其數學觀是開放的、動態的、發展的，在他眼中，數學是可以被學生創造出來的；數學史是數學不可分割的組成部分，當今的數學知識正是在漫長的數學史演進過程中逐漸發展起來的；數學的歷史發展過程對于今天的教學具有重要的借鑒意義．

2.2 數學史知識是數學教師不可或缺的知識

1904年，在海德堡舉行的第三屆國際數學家大會上，由數學家、數學史家和數學教育家共同提出了一項提案，建議在數學課程中引入數學史內容．他們認為，數學史“對那些獲得中學數學教師資格的學生來說情況就完全不同了．他們的主要任務是向下一代傳授知識，可能的話，還要激發學生對幾個世紀以來人類在這個領域所取得成就的熱愛和敬佩．對他們而言，有關‘科學的歷史演變’的知識不僅是有價值的，而且是絕對不可或缺的”[12]．

史密斯（D. E. Smith, 1860—1944）認為，數學史知識是數學教師必需的知識[13]．為使教師獲得將數學史融入數學教學的知識和能力，他采用發生法和分析法相結合的方式，撰寫教師培訓教材．弗賴登塔爾（H. Freudenthal, 1905—1990）從學生認知以及知識起源和發展的角度，認為數學教師應該了解數學史知識，這將有助于教師和學生深入理解數學學科本身．數學史可幫助師生更好地區分“馬和竹馬”：“馬是由小馬駒長成的”，而“竹馬是用木頭做成的”，借喻函數符號f(x)演變成f的過程，以及了解知識發展過程對于深入理解知識的重要性[14]．李文林認為，一個合格的教師理應“學習一點數學史”，并通過希爾伯特第三個問題的解決，闡述教師數學史知識儲備的理論意義[15]．

阿卡維（Arcavi, A.）等人在20世紀80年代的調查顯示，數學史是一個富有魅力的、合適的工具，通過它可學習許多數學主題．數學的演進及動態性質可作為數學教學的材料；另一方面，數學史讓許多教師學會了“解釋事物的新方法”，能讓他們更清晰地區分純數學與數學教學的區別．無論對于在職教師還是職前教師，都需要把數學史當作自身應該具備的重要知識[16]．

詹克維斯特（Jankvist, U. T.）的研究證實，數學史知識對于教師教學需要的數學知識（MKT）的各個部分都有作用，如，數學史闡明了數學概念的發展，能夠切實幫助教師理解學科知識自身等．反過來，MKT的框架又賦予HPM以數學教育中的數學史的意義[17]．

2.3 HPM教學可使數學教師更好地履行職責

“再創造”是弗賴登塔爾的主要思想之一．再創造的主要路徑之一就是借鑒概念的歷史發展過程設計教學，而要實現“有指導的再創造”，教師需要具備數學史知識[18]．很多研究者認為，“如果數學教師精通今天的數學知識，又能獨立、自然地結合歷史知識，就能令人滿意地履行自己的職責”[19]．F·克萊因（F. Klein, 1849—1925）認為，為“使學生了解數學并不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體”，一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過[20]．

哈德森（B. R. Hodgson）認為，融數學史于數學教學的培訓對于教師有重要意義，一個能夠充分運用歷史的教師在教學上更能游刃有余[21]．張楚廷認為，“良好的數學教育離不開數學史教育”，因為“數學訓練猶如思維的體操，可是，要帶領學生做好這番體操活動的教師，就必須深知這種體操的性質、內容和形式……要做到這一點……這就要知道歷史，知道思維史，知道公式和定理的演變史”[22]．

以上對HPM對教師在觀念、知識、能力等方面作用的理論解析與實證研究綜述，證實了HPM對于教師專業發展的積極意義．怎樣做，才能使HPM發揮其作用，促進教師的專業發展，成為當下亟需的、具有理論與實踐雙重意義的教育命題．

3 如何——怎樣使HPM促進教師專業成長

一百多年前，F·克萊因（F. Klein, 1849—1925）曾指出：“教學應遵循人類從知識的原始狀態到更高級形式的道路……推廣這種自然的真正科學的教學的主要障礙是缺乏歷史知識．”[23]即使到了今天，這種狀況依然存在．菲舍爾和庫普（Fraser, B. J. & Koop, A. J.）發現，越來越多的教師對數學史產生興趣，但他們卻沒有足夠的、能在實際教學中使用的數學史資源儲備[24]．另外，教師們已知道在課堂教學中融入數學史的益處，但是“給予他們怎樣做的指導卻幾乎沒有”[25]．教師所缺乏的HPM知識包括兩方面：一是數學史知識；二是如何將數學史融入課堂，為教學服務的知識．這是絕大多數教師不愿意或者無法嘗試用歷史視角教學的主要原因．加強對職前和在職教師數學史知識和HPM教學知識的培訓，將是解決這一問題最為直接的方式．

（1）職前教師的數學史課程設置．

近年來，關于HPM促進數學教師專業成長的多數研究，旨在探討如何為職前數學教師開設數學史課程，以提高他們的數學史素養．巴斌和費蓋蒂（Barbin, E. & Furinghetti, F.）等人于2010年的研究發現，“課程中所呈現的數學史因為融入方法的不同而對教師教育產生不同的影響”[26]．

2012年于韓國召開的第12屆國際數學教育大會上，很多學者給出了自身實踐經驗和認識[17]．斯梅斯塔（Smestad, B.）認為，為職前教師開設的數學史課程不應只是停留在講故事的淺表層面上，還應結合他們的未來職業，發展他們的數學史觀念，并促動他們學習更多的數學史知識；阿爾帕斯蘭和漢賽爾（Alpaslan, M. & Haser, C.）通過課堂觀察和問卷調查等方式對職前教師進行研究．他們指出，為改變職前教師對數學史使用方式單一的狀況，應改進數學史課程的開設，使職前教師認識到數學史在認知、情感、觀念等方面的多重教育價值．

總的說來，為職前教師開設的數學史課程，大致有兩個著眼點，其一是為培養他們的數學素養，如，對數學的深入理解、多種表征；其二是從知識和教學兩個方面為他們的未來職業做準備．

（2）在職教師的HPM教學培訓．

采取恰當的方式為職前教師開設數學史課程，增強了他們的HPM教學知識，培養了他們積極的態度與信念，解決了職前教師的HPM素養問題．然而，教學實踐中存在的種種問題遠非職前教育力所能及，同時，教師專業發展的連續性也需要加強在職教師的HPM培訓．因此，怎樣做才能將職前教育和職后培訓聯系起來，使之成為一個前后連貫的整體？如何提高那些先前沒有或很少接受數學史教育的在職教師的數學史素養和HPM教學設計能力？都顯得更為重要和緊迫．從目前已有的研究中，梳理、概括出如下幾種在職教師HPM教學培訓模式與思路，以供教師培訓者參考．

模式與思路一：依據課標，分析起源，制定方案

課程標準對教學實施提出了具體要求，HPM教學理應建立在課程標準的基本理念與要求之上．如何提高在職教師使用數學史原始資源設計教學的能力？這方面，法國數學教育研究院（Institute for Research on Mathematics Education, IREM）的做法為研究者提供了參照．自1980年以來，為促進教師對數學史原始資源的使用，法國數學教育研究院（在中學層面）深入開展HPM教學與教師在職培訓項目．他們邀請數學史家，幫助教師加深對相關數學史知識的理解，從課程要求、概念起源、理論分析3個方面，給出基于原始歷史素材的課堂教學的理論框架．實踐證明，這個框架對于教師培訓是有用的．如，為實現法國高中新課程對算法的基礎性、多樣化的基本要求，米歇爾-帕聚斯（Michel-Pajus, A.）等對教師進行算法歷史的教學培訓，包括算法的歷史是什么，以及如何在課堂中使用[17]．事實證明，這樣的培訓效果顯著，使教師掌握了使用數學史原始資源的基本路徑與方法．

模式與思路二：校本研修，借助外援，循序漸進

校本研修是中國教師培訓的基本策略．在HPM培訓中，校本研修亦可發揮重要作用．蘇意雯以學校為中心，由同校教師組成實踐群體，對包括研究者本人在內的4位高中數學教師，采用“學習工作單”的形式，分析HPM與教師的教學內容知識（PCK）之間的互補關系，總結HPM為路徑的教師專業發展策略和參與教師的變化[27]．李國強對某地一所高中校的一個數學教研室的幾位數學教師開展研究，通過幫助他們獲得數學史料、分析數學史料的使用等，找到了一些促進數學教師將數學史知識融入教學的措施與策略[28]．汪曉勤對上海一位初中教師進行研究，發現其數學教學和數學史的詮釋學循環經歷了從分離到融合的過程．HPM介入數學教學對教師教學風格的形成，教材批判能力的提升，學生的認知規律的理解，有著積極的影響作用[29]．以上案例的研究者無一例外也是這些校本研修任務中的外援力量——為參與教師提供史料或HPM教學設計思路．

這種以校本研修為主，借助數學史專家或HPM研究人員的力量，逐漸提高教師HPM教學設計能力的做法是值得借鑒的一條思路．對于這種培訓模式，如何擴大培訓范圍和輻射作用應加強后繼研究．

模式與思路三：挑選案例，組建團隊，分工合作

可以講，沒有單獨一門數學史課程能夠覆蓋幾千年來成千上萬人的數學工作．因此，數學史教育面臨著仔細挑選案例的艱巨任務．這些案例既要與發展教師知識有關，也要與融入數學教學有關．在這方面，歷史學家、數學家和數學教育家組成的團隊起著十分重要的作用．汪曉勤指出，“我們無法期望數學教師都熟悉數學史．在進行HPM教學設計和教學實踐時，先由大學教師完成相關主題的歷史研究，獲得歷史材料，然后由大、中學教師合作，根據需要對材料進行加工，使之適合于教學；最后由中學教師將加工后的材料用于教學設計，并付諸實踐”[30]．因此，大中小學教師的合作是HPM實踐研究較為理想的模式．浙江省義烏市“王芳高中數學教育工作室”的做法[31]，是這方面較為成功的例子．

概括起來，“面向教師培訓的數學史”，在教師培訓中應起到如下幾個方面的重要作用：（1）使教師了解過去的數學（數學史的直接教學）；（2）加強教師對其將要教授的數學內容的理解（方法論和認識論的作用）；（3）使教師掌握在教學中融入歷史材料的方法和技巧（歷史在課堂上的運用）；（4）加強教師對其職業發展和課程發展的理解（數學教學的歷史）[12]．

4 啟 示

相比已有研究，中國HPM對于數學教師專業發展的研究，存在幾個比較突出的問題：數量少，研究缺乏整體性、系統性等．HPM領域40年來關于數學教師專業發展的研究，為開展相關研究奠定了基礎，提供了思路借鑒．

第一，對于HPM研究者，可獲得如下啟示．

（1）從研究對象來看，既要關注職前教師數學史課程的開設研究，更要大力開展在職教師的HPM培訓研究．（2）從研究內容來看，HPM領域對教師信念的研究較多且較系統；而對教師知識和能力的相關研究有待進一步深入．（3）從研究方法來說，有待多樣化、綜合化．早期研究大多使用問卷調查法，之后轉向訪談法和觀察法．近期研究則出現將定性和定量方法有機結合的傾向，如，使用敘事方法、行動研究等來收集數據．總之，隨著對HPM與教師關系研究的不斷深入，人們逐漸認識到使用單一方法的弊端，采用方法綜合與方法創新兩種發展思路，開拓數學教師教育研究的新領域．（4）從研究范式來說，需要進一步突破．研究者已意識到，要使HPM成為數學教育研究更有影響的要素，必須在更大范圍內將HPM研究與一般數學教育研究聯系起來，并借助數學教育已有的理論框架開展研究[17]．這個方面還需要開展大量的研究工作．

第二，對于教師教育與培訓者，可得到如下啟示．

（1）針對不同階段，制定不同的培訓任務．如，加強職前教師數學史課程的開設研究[32]，推進數學教師HPM教學的職后培訓研究，使HPM對教師的專業發展形成連續的促動，成為教師專業發展不可或缺的一個組成部分、一條發展途徑．（2）從教師的HPM培訓模式來說，加強高校專家與一線教師、骨干教師與一般教師的合作，把HPM視角的教師教育作為一個系統工程來研究．為推動更多教師參與其中，可適當借鑒“實踐共同體”（如名師教育工作室）的相關理論與實踐，加大培訓力度，擴展培訓范圍，既重視HPM理論的宣講與傳播，更重視HPM教學的實踐應用，使越來越多的教師參與其中，促進他們的專業發展．（3）積極開展一般教師培訓的普適性和HPM教學培訓特殊性的融合研究．一方面，教師的專業結構對HPM培訓研究問題與內容的啟發，教師專業發展的相關理論對HPM視角下教師專業發展的適用性等；另一方面，數學教師專業發展的一般模式與HPM視角的教師專業發展模式的異同等．這樣，既能體現HPM視角下教師專業發展與一般教師專業發展之間的包含關系，又能突出HPM自身對教師專業發展的特殊功能與意義．

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Mathematics Teachers’ Professional Development Promoted by HPM: Researches and Implications

PU Shu-ping1,2, WANG Xiao-qin3
(1. Chongqing Normal University, Chongqing 400700, China; 2. Southwest University, Chongqing 400700, China; 3. East China Normal University, Shanghai 200241, China)

In recent years, teachers’ professional development has gradually become a focus and hotspot of HPM research field. From the theoretical analysis to empirical research, scholars at home and abroad have conducted a great deal of studies and made much progress on why, where and how HPM contribution to teachers' professional development. These studies confirm that HPM has an important influence in teachers’ mathematics teaching and learning concepts, knowledge and ability. For the studies on mathematics teachers’ professional development promoted by HPM in our country, they play an important leading role in research methods, contents and paradigms. For the task and pattern selection of the teachers’ HPM training, they also have some implications.

HPM; history of mathematics; teachers’ professional development; implications

G40-09

：A

：1004-9894（2015）03-0076-05

[責任編校：周學智]

2014-12-03

重慶市教育科學規劃重點課題——HPM視角的小學數學文化教學的設計研究（2014-GX-022）；重慶師范大學

——中國與美國、新加坡小學數學教材的數學文化研究（13XWB023）

蒲淑萍（1971—），女，山東淄博人，重慶師范大學副教授，華東師范大學教育學博士，西南大學博士后，主要從事數學史與數學教育，中小學數學教育研究．