數學“問題解決”教學模式的再認識

邵紅剛

尋找“問題解決”能力培養與數學課程教材知識體系學習之間的互補與平衡，形成操作性較強的數學課堂教學模式，可以促進學生的數學意識、邏輯推理、信息交流、思維品質等數學素質的提高，為學生的自主學習、發展個性打下良好基礎。“問題是數學的心臟”，在一定的問題情境下，學生可以利用必要的學習材料，借助教師和同伴的幫助，通過意義建構主動獲得知識。問題解決能力的培養為學生學習數學知識提供動力，而系統的數學知識體系為問題的解決提供保障。問題解決能力的培養與數學知識體系的建構兩者之間的互補與平衡有助于學生認知結構的完善。學生和教師是教學活動中能動的角色和要素，師生關系是互為主體、互相依存、互相配合的，師生雙方的主體性在教學過程中都應得到發展和發揮。學生主體作用主要體現在學生的學習活動過程中，教師的主體作用主要體現在對教學活動進行科學認識的過程中，教學過程中教師的主導是發揮主體作用的具體表現形式。

一、問題解決的目標

1.“問題解決”課堂教學模式的功能目標

學習發現問題的方法，開掘創造性思維潛力，培養主動參與、團結協作精神，增進師生、同伴之間的情感交流，形成自覺運用數學基礎知識、基本技能和數學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。

2.數學問題解決能力的培養目標

能審題——能對問題情境進行分析和綜合。能建模——能把實際問題數學化，建立數學模型。能轉化——能對數學問題進行變換化歸。能歸類——能靈活運用各種數學思想和數學方法進行一題多解或多題一解，并能進行總結和整理。能反思——能對數學結果進行檢驗和評價。能編題——能在學習新知識后，在模仿的基礎上編制數學問題。

二、“問題解決”課堂教學模式的操作流程：

1.創設情境

從數學基礎知識出發，把需要解決的問題有意識地、巧妙地寓于符合學生實際的基礎知識之中，把學生引入一種與問題有關的情境之中，激發學生的探究興趣和求知欲。

2.嘗試引導

學生在嘗試進行問題解決的過程中，常常難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識間的聯系，難以判斷知識運用是否正確、方法選擇是否有效、問題的解決是否準確等，這就需要教師進行啟發引導。可用下述啟發引導的方式：重溫與問題有關的知識、引導學生對問題進行聯想、猜測、類比、歸納、推理等。另外還可以通過組織學生開展小組討論和全班交流。

3.自主解決

讓學生學會并形成問題解決的思維方法，需要讓學生反復經歷多次的“自主解決”過程，這就需要教師把數學思想方法的培養作為長期的任務，在課堂教學中加強這方面的培養意識。在操作時對于比較簡單的問題，可以讓學生獨立完成，使學生體會到運用數學思想方法解決問題的快樂。對于有一定難度的問題，應該讓學生有充足的時間獨立思考，再進行嘗試解決。對于思維力度較大的問題，應在學生獨立思考、小組討論和全班交流的基礎上，通過合作共同解決。

4.反饋梳理

梳理是把數學知識與技能通過“同化”或“順應”的機能“平衡”認知結構的必要步驟。適時組織和指導學生歸納知識和技能的一般規律，有助于學生更好地學習、記憶和應用。在概念學習后，以辨析、類比等方式進行小結。問題解決后對解題過程進行回顧與反思，回顧問題被解決過程中所涉及的有關知識、解題方法以及理解題意的過程，反思問題開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產生過哪些錯誤，為什么會出現這些彎路和錯誤等。從數學知識、數學思想、學習的啟示三個層面進行課堂小結。下面是使用上述操作程序在教學中實施的一個案例：

為了引導學生考慮如何解決“曲線上的動點到定點（或定直線）距離的最值”問題，首先提出如下范例。點P在橢圓上運動，求定點A（0，2）到動點P的距離|AP|的最大值。

引導學生通過分析為了求|AP|的最大值可以通過代數方法消去一個變量而得到如下兩種解法：

解法一：設P（），

則≤1，則

當時，|AP|最大值=。

解法二：設P，則

|AP|2=

當時，|AP|最大值=。

問題1：引導學生可對題中哪些元素進行變動，引起熱烈的議論和爭論，把同學們想法整理如下：

（a）將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值。

（b）將橢圓改為雙曲線，結論改為求|AP|的最小值。

（c）將橢圓改為拋物線，結論改為求|AP|的最小值。

上述問題出現了幾個重要的曲線類型，學生通過對這些問題的解決能形成解這類問題的通解通法。

問題2：老師認為上述問題同學們都會了，看看下列問題：

（d）已知動點在橢圓上運動，定點A（a，0）（a>0），求|AP|的最大值。

仿原范例的解法二可得如下解法：

∵|sinθ|≤1，則①當a>3且sinθ=-1時，|AP|最大=a+1，

②當0

（e）動點Q在圓上運動，動點P在橢圓上運動，求|PQ|的最大值。

分析：將圓的方程變為，圓心A（0，2），可將問題轉化為求|AP|的最大值。從形轉化為數式的角度還可以得到問題（f）。

（f）求函數f（α，β）=（cosα-2cosβ）2+（2+sinα

-sinβ）2的最大值。

分析函數表達式的構成，若設動點Q（cosα，2+sinα），P（2cosβ，sinβ），則不難發現f（α，β）=|PQ|2用數形結合的觀點，將問題轉化為（e）來解決。

問題3：歸納、綜合提高：

（g）設橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且離心率，點P在此橢圓上運動，若定點A（0，2）到動點P的距離的最大值為，求橢圓的方程，并求|AP|取最大值時點P的坐標。

（h）設橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，離心率，曲線A的方程為，若動點P，Q分別在曲線E、A上，且|PQ|的最大值為1+，求橢圓E的方程。并求當|PQ|取最大值時，點P、Q的坐標。

小結：（g），（h）分別是范例與（e）的逆命題，在（h）中運用平幾知識求Q點坐標比較方便，要注意運用平面幾何知識解決有關問題。

若將橢圓變成拋物線或者雙曲線，將最大值改為最小值，或者再將定點A與⊙A改成直線，又可得到若干新的問題在此不作一一贅述了。以上由一個典型范例“中心開花”，然后或改變條件，或改變結論，得到一系列變式問題。讓學生在解決這一類問題的過程中，總結出曲線上動點到定點的最值問題的一般解決方法，并從中掌握有關數學思想。上述問題解決教學流程對學生掌握數學思想方法，提高解題能力具有優越性，但畢竟還局限在教師的指導下學生進行有效思索。更高層次的是將問題開放，將問題中的條件、結論、解題依據或方法等組成問題的四個基本要素中的二個或三個形成未知，使條件不完備，答案不確定。這有賴于教師的教學設計，提供背景，設疑激思，析疑解難，釋疑反思，體現了教師在教學中的“導”。其作用可以使主體（學生）能動態的分析可能的條件與面臨的問題之間的復雜關系，要求主體參加問題的建構與引申，因而要解決它就不僅需要邏輯思維，還常常需要形象思維與直覺思維的積極參與。其具體的流程圖為：

在上述問題的解決過程中，教師從學生解決問題的過程中也有意外的收獲：在上述的問題（c）中，當學生用常用的方法解決后有幾個學生提出這樣的想法：可否先假設動圓，令其與拋物線相切，兩式消去x后可得關y的二次方程，再由判別式△=0，求出r值，則最小值就是r。

幾乎沒有其他學生對這個學生的想法不表示肯定，于是教師要學生試一下：

學生：……消去x得方程y2+5y+（（4-r2）=0）令判別式△=O，得9+4r2=0。

但r居然無解！……

這時，學生覺得不可思議。于是教師可給學生提出一系列的研究性問題：

（1）這個學生的想法是否錯了？

（2）“判別式△=O”是否一定是圓和拋物線相切的充要條件？

（3）把拋物線方程換成“x2=2y”，再用上面兩種解法試一下，行不行？

（4）你能否對課堂上未完成的解法給出修改或補充？

（5）你能否探索出“當拋物線x2=ay與圓x2+（y-2）2=r2相切時，a與r應滿足的關系或條件？

以“問題、探究、交流、反思”為主線的運用“問題解決”課堂模式的教學，要求教師的課堂教育思想和觀念從“灌輸型”向“啟發探究型”轉化。學生的學習方式從“接受性學習”向“研究性學習”轉化。師生關系從“從屬型”向“平等型”轉化。基礎性的數學知識體系的構建可以通過“發現問題——分析問題——解決問題”的研究性學習方式來實現。

參考文獻：

[1]徐彥輝.數學解題后的“回顧與反思”與數學問題的提出[J].數學教育學報，2015，1（3）：9