草圖分析需精準(zhǔn)，模式識(shí)別助突破
——一道中考模擬卷壓軸題的解析與反思

☉江蘇省徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)教研室 龐海燕

草圖分析需精準(zhǔn)，模式識(shí)別助突破
——一道中考模擬卷壓軸題的解析與反思

☉江蘇省徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)教研室 龐海燕

每年4月中下旬是各地中考模擬考試的時(shí)段，作為一次重要的熱身命題，命題者往往都深度打磨、苦心經(jīng)營(yíng)，研習(xí)這些試題，對(duì)于復(fù)習(xí)應(yīng)考是有益的.下面以2015年4月份福建福州中考模擬考卷的壓軸題為例，重點(diǎn)解析最后一問的破題途徑，并進(jìn)行解后反思，與更多同行研討.

一、試題及解析

試題（2015年4月福建福州中考模擬卷，第26題，13分）如圖1，拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A（2，0）、B（-1，0），C是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且tanM是x軸上的動(dòng)點(diǎn).

圖1

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，若直線OC上存在點(diǎn)D，使∠ADM=90°，求m的取值范圍；

（3）當(dāng)點(diǎn)M關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)N落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

1.前兩問的簡(jiǎn)解

（1）根據(jù)待定系數(shù)法易求出拋物線的解析式為：y= x2-x-2.

（2）當(dāng)以AM為直徑的⊙P與直線OC相切時(shí)，直線OC上存在點(diǎn)D（即切點(diǎn)），使∠ADM=90°；當(dāng)⊙P與OC相交時(shí)，存在點(diǎn)D（即交點(diǎn)）；當(dāng)⊙P與OC相離時(shí)，不存在.

如圖2，設(shè)⊙P與OC相切于點(diǎn)Q，連接PQ.

圖2

由OQ2+PQ2=OP2，化簡(jiǎn)得m2-6m+4=0.

2.第三問的突破思路

如圖3，連接MN交直線OC于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥OM于點(diǎn)F.設(shè)法利用相似比用含m的式子表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)的解析式中，求出m的值.

圖3

由對(duì)稱性可知：當(dāng)m＞0時(shí)，點(diǎn)N在第一象限；當(dāng)m＜0時(shí)，點(diǎn)N在第三象限.

二、解后反思

1.破題關(guān)鍵在哪兒

我們注意到第三問的理解關(guān)鍵有如下幾點(diǎn)，第一，構(gòu)造出草圖分析，在草圖（如圖4）中能否聚焦到△MNF中，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)EN、EM、FM、NF之間的數(shù)量關(guān)系；第二，最終利于能把NF、OF用含m的式子表示出來(lái)，代入拋物線的解析式確定m的值.

2.其他突破思路

反思圖4，如能明確直線ON的解析式，則可以與拋物線的解析式聯(lián)立，也就能確定交點(diǎn)坐標(biāo)了.但是這條直線的解析式該如何求呢？是否可以舉例，即選一個(gè)特殊點(diǎn)來(lái)幫助分析呢？回答是肯定的！

如圖5，在直線OC上取點(diǎn)D（4，2）（說(shuō)明：這個(gè)特殊點(diǎn)也是經(jīng)過多次嘗試后得到的，并不是巧合，因?yàn)檫x擇這個(gè)特殊點(diǎn)之后，后續(xù)分析過程中得到的數(shù)值會(huì)是整數(shù)，方便運(yùn)算，這也說(shuō)明善于舉例是非常重要的，會(huì)影響運(yùn)算的繁簡(jiǎn)），過D分別作DE⊥x軸于點(diǎn)E，DF⊥OC交x軸于點(diǎn)F，在射線FD上取HD=DF，過H作HG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)法先求出直線OH的解析式，再把該直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，得出交點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而推出對(duì)應(yīng)的M的坐標(biāo).

畫直線OH交拋物線y=x2-x-2于P1、P2.

由D（4，2），得OE=4，DE=2.

圖5

三、對(duì)解題教學(xué)的啟示

1.重視“模式識(shí)別”策略

首先需要提及陜西師大羅增儒教授關(guān)于“模式識(shí)別”的解題策略，這就是指：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來(lái).當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.”從上面的求解來(lái)看，能否構(gòu)造、識(shí)別、利用特殊直角三角形（三邊之比為1∶2是解題成功的關(guān)鍵，或者如上面在解后反思中提及的“思路2”嘗試突破直線OH的解析式.這些努力都是向著一種模式轉(zhuǎn)化，化未知為已知.從這個(gè)意義上說(shuō)，模式識(shí)別也是化歸思想的體現(xiàn).另外，題干條件中“tan∠AOC=”也是一種暗示，注意構(gòu)造、發(fā)現(xiàn)并利用特殊直角三角形.

2.重視“草圖分析”訓(xùn)練

無(wú)論是第二問構(gòu)造的草圖，還是第三問中的草圖，都需要解題者自主構(gòu)造，能否構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)牟輬D是該題成功求解的關(guān)鍵.而且在構(gòu)造草圖分析時(shí)，還要注意草圖的相對(duì)精準(zhǔn)，因?yàn)橐粋€(gè)不規(guī)范的、偏差較大的草圖不僅不利于分析，而且會(huì)影響或干擾思考的方向，這方面的教訓(xùn)是很多的，也是解題教學(xué)過程中要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)的.解題教學(xué)中，如果有學(xué)生因?yàn)椴痪珳?zhǔn)的草圖影響了思路或解題阻礙時(shí)，可以安排該學(xué)生做講解說(shuō)明，以獲得更好的警示作用.

3.重視“回到概念”解題

作為全卷把關(guān)題，還應(yīng)該思考的是該題倡導(dǎo)一種“回到概念”的解題取向.比如，問題的題干呈現(xiàn)非常簡(jiǎn)潔，但卻涉及了二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、坐標(biāo)軸點(diǎn)的特征等核心概念；而題肢中涉及直線的解析式，軸對(duì)稱等核心概念.這些核心概念在解題思路的獲取上都有著重要的價(jià)值，如果對(duì)銳角三角函數(shù)（正切函數(shù)）的理解不夠深刻，不能有效關(guān)聯(lián)直線解析式中的斜率“k”、“坡度”，則會(huì)影響數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)與切換，視角的靈活切換就會(huì)影響思路的突破.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.Z