淺析數形結合

【摘 "要】數與形是數學中兩個最古老、最基本的元素，所有的數學問題都是圍繞數和形的提煉、演變、發展而展開的。每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系又常常可以通過圖形的直觀性做出形象的描述。因此，數形結合是數學學習中一種重要的數學思想方法。

【關鍵詞】數形結合 "高中數學 "解決問題 "注意點

【中圖分類號】G632 " " " "【文獻標識碼】A " " " " 【文章編號】1674-4810（2015）30-0092-03

數學是研究空間形式和數量關系的一門學科，所以數形結合是解決數學問題的重要方法。“形是數的翅膀，數是形的靈魂”，所謂數形結合就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化解決問題的一種重要的思想方法。它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一方面是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的;另一方面是借助數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的。其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將代數問題與圖形相互轉化，從而使代數問題幾何化、幾何問題代數化。下面我就數形結合在高中數學教學中解決的問題，及在運用數形結合思想分析和解決問題時的注意點，談些粗淺認識。

一 數形結合在高中數學教學中解決問題

例3， 解決集合問題

在處理集合運算時，常常借助于數軸對集合間關系加以判斷，對集合的交、并、補等進行運算;一般借助韋恩圖來處理抽象集合間關系的判斷、運算，通過畫韋恩圖表示出各集合，可以直觀形象地表現出各部分數量間的關系 ，從而使抽象問題簡單形象化，很快找到問題的答案，使運算快捷明了，而且又不易出錯，學生易于理解掌握。

例：已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B。

分析：對于這兩個有限集合，我們將它們在數軸上表示出來，就可以很清楚的知道結果。由圖我們不難得出A∩B=[0，3]。

2.解決函數問題

借助于函數圖像來研究函數的性質是一種常用的數學方法。通過函數圖像的幾何特征（函數圖像在同一坐標系中分布及圖像的延伸趨勢和圖像伸展“速度”）與數量特征（變量的取值范圍及參數的取值）緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。如在研究指數函數y=ax（a大于0且a不等于1）的圖像和性質時，就是給a取不同的值，引導學生在同一坐標系中做出相應函數的圖像，通過觀察圖像從而歸納得出指數函數的一些性質。在討論函數的值域（或最值）時，先求解變量的取值范圍，再運用數形結合思想，將數與形等價轉化，既考查了學生的化歸轉化能力，又培養了學生的邏輯思維能力，是函數教學中的一項重要內容。

3.解決方程與不等式問題

在處理方程問題時，把求方程的根的問題看作求兩個函數圖像的交點問題，通過作圖可以很快得到問題的答案，這就是把代數與幾何有機地結合起來，使問題的解決得到簡化。對于一些比較復雜的方程使用常規的方法無法求解，如果采用數形結合思想，可以使問題得到解決。如：求方程x2=2x的根的個數時，引導學生方程兩邊分別對應兩個y=x2與y=2x函數，然后讓學生在同一坐標系下作出這兩個函數的圖像，通過觀察函數圖像的交點個數，學生便可很快求得方程根的個數。在整個解題過程中，讓學生體會了將方程的根與函數圖像的交點相互轉化的方法，用到了化歸轉化的思想，同時又訓練的學生作圖、讀圖、識圖的能力，使學生的思維得到了很好的訓練。

在處理不等式時，聯系相關函數，數形結合，著重分析其幾何意義，從圖形上來尋找解決問題的思路。如在學習一元二次不等式的解法時，從具體的二次函數與一元二次方程的關系出發，利用二次函數圖像的直觀性，數形結合借助方程的根是二次函數的兩個零點，引導學生觀察二次函數的圖像上任一點橫縱坐標的變化，歸納出一元二次不等式解集的求法。在此過程中，充分體現了數形結合的重要性。

4.解決三角函數問題

單位圓是研究三角函數的重要工具，借助它的直觀性，可以使學生更好地理解三角函數的概念和性質，在學習余弦函數圖像時，通過平移三角函數線來描點，準確快捷，使學生更好地體會數形結合的思想。有關三角函數單調區間的確定、比較三角函數值的大小、求解簡單的三角不等式等問題時，一般要借助于單位圓中的三角函數線或三角函數圖像來處理，所以數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。

5.解決線性規劃問題

線性規劃問題是在線性約束條件下求解目標函數的最值問題。解決線性規劃問題時，利用圖解法求目標函數的最值，就是通過觀察目標函數在坐標軸上截距的變化，從而找到目標函數的最優解，從而使問題得到解決。

6.解決數列問題

數列作為一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題就是借助函數的圖像進行直觀的分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。如在等差數列中，借助二次函數的圖像幫助學生理解等差數列前n項和的最值及取到最值時n的值。

7.解決解析幾何問題

平面解析幾何是一門典型的數與形結合的學科，其基本思想就是數形結合，就是用代數方法（坐標法）解決幾何問題。在此過程中，讓學生不斷體會數形結合的思想，數形結合的思想應貫穿平面解析幾何的始終。用方程表示直線、曲線以及直線與曲線的位置關系等;幾何問題代數化，用數量關系表示空間形式、位置關系等，體現了數與形之間的轉化與整合。教學中應注意“數”與“形”的有效結合，將幾何量之間的關系運用代數式及方程來表示，并根據方程的理論進行了由數到形的探究。例如：已知曲線x2+y2=2（y大于0）與直線y=x+b有兩個交點，一個交點，無交點分別求b的取值范圍。這時用代數方法求解需考慮y的范圍，求解過程相對復雜，相反利用數形結合教師引導學生在坐標系下畫出曲線，讓動直線y=x+b在坐標系下平行移動，觀察移動過程中直線與曲線的交點情況，找到問題的答案，從而使問題變得簡單，容易解決。

8.解決向量、幾何問題

向量是溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，是一個很好的數形結合的重要工具;向量有著深刻的幾何背景，向量的運算及運算定律有明顯的幾何意義，是解決幾何問題的有力工具。如利用空間向量解決立體幾何中的平行與垂直關系的判斷與證明;利用空間向量求異面直線所成的角的線面角。

二 運用數形結合思想分析和解決問題時要注意的問題

在解題時，運用數形結合思想適當地將“數”與“形”的問題相互轉化解決問題時，往往能使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，避免了繁雜的計算、證明等，獲取出奇制勝的解法，達到事半功倍的效果。然而，它并不是萬能的，我們在依賴圖形的直觀形象來解題時，不能馬虎應付，更不能潦草作圖。因此，我們在用數形結合解決具體問題時，應注意以下這幾個主要問題。

1.作圖時注意圖像延伸趨勢和圖像伸展“速度”

我們在用函數圖像來研究函數的性質或來解決方程根的個數時，需要在同一坐標系下作出幾個函數的圖像來分析并加以比較，這時作圖一定要精確，在作圖過程中要注意函數圖像的延伸趨勢和圖像伸展。

避免因馬虎作圖而導致出現錯誤，因為我們畫出的只是函數圖像的一小部分，而不是圖像的全部。所以我們要想從函數圖像的部分判斷它的全部，對于沒有畫出來的部分圖像可能會是怎樣的呢？就只能根據函數圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”來加以判斷了。

2.在“數”與“形”的等價轉化時，注意變量的取值范圍

在數與形等價轉化的過程中，一定要注意變量的取值范圍，如果不注意轉化過程等價，那么變量的取值范圍就有可能擴大或縮小。這樣，畫出來的圖像就會不完整，而根據這個存在誤差的圖像，得出來的結果一定是不準確的，所以“數”與“形”的轉化過程要注意等價轉化是非常關鍵的。

3.注意仔細觀察圖像

根據問題情境畫出來的圖像，在觀察圖像得到結論時，一定要仔細，避免因觀察不慎而漏掉了一些可能的情形，從而導致做出錯誤的答案和得出一些錯誤的結論。

4.避免簡單用“形”代替證明過程

“形”并不能做為證明的依據，在數形結合做證明題時，在對幾何圖形做出直觀分析之后，必須用嚴謹的數學語言寫出證明過程及其證明的理論依據，這樣才有說服力，證明過程才是有效的。所以，“形”只能為們思考問題和解決問題提供一些有效幫助，而不能作為證明的理論依據。

總之，數形結合思想方法是一種非常有用的數學方法，它能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，應用性極強。但它又是一把雙刃劍，時時充滿誘惑和危險。因此，我們在數形結合解題時，要慎之又慎，要揚長避短，在直觀分析的同時，輔有嚴謹的演繹推理。引導學生在解決問題中正確理解“數”與“形”的相對性，使之有機地結合起來。作為一線教師的我們，在教學中要充分挖掘教材內容，將數形結合思想滲透于具體的問題中，讓學生真正地將數形結合思想應用到數學學習當中去，逐步養成用數形結合的方法解決問題的良好習慣，真正做到胸中有圖，圖中有數，做到學以致用，不斷提高自己的數學解題能力和數學思維能力。

〔責任編輯：林勁、李婷婷〕