探析新形勢下概率論方法在數學分析中的應用

摘 要：從個別物體到整體，從古代社會到現代社會，從山到水，從空氣到物體，從人到人……世間萬物中的種種都有其存在的原理與價值，而人與動物最本質的區別在于人的獨有智慧，在于人類對世界的探索。這個過程中產生了實踐，產生了學科，產生了知識。而廣義上的“數學”在這個過程中起到了不可替代的作用，它提供了計算的工具和方法，打開了探索世界的大門。數學發展歷史悠久，且出現了很多分支，這其中接觸最多的，上大學必須掌握的便是狹義上的數學分析，即所謂的微積分，它是以函數為研究對象的學科，在尋找自身發展邏輯的同時，也探索著其他更廣的領域。

關鍵詞：微積分；概率論；數學分析

概率論作為數學領域的一個重要分支，主要是研究某些確定的現象，然而新形勢下也可以研究某些確定的現象。鑒于此，它與其他數學分支的關系也是越來越密切。概率論研究的主要問題是可能性問題，比如，投擲一枚硬幣，出現正面的情況占多大比例；在小黑箱中放入同樣大小質量的個數都為一的三種不同顏色的球，白色、黑色、紅色，問只準摸一次，摸到白球的概率是多大……這種事件是很多的。那怎樣將它運用到微積分中呢？這里我從以下方面來總結兩者的關系。

一、概率論能很好地解決微積分中關于極限的問題

在復雜的微積分求極限問題中，直接用數學分析方法是非常困難的，但如果用上概率論中的相關定理則復雜的問題會變的簡單。概率論中有中心極限定理、大數定理、泊松分布等，他們的運用克服了微積分出現不可解問題的缺陷，使得看似困難的問題迎刃而解，給不可行問題多了一條求生的路。這里有三種題型可供參考：

1.一個未知數與和的乘積等于一個數列，求數列無窮趨向于一個數。這里要先把討論的問題與泊松分布結合起來，然后用中心極限定理就可得出結果。

2.已知未知數x等于一個方程式，求有x的另一個復雜方程式的和的極限。這是一種比較復雜的極限問題，用一般方法很難解出，利用獨立同分布的中心極限定理和密度極限定理求極限的方法算出即可。

3.關于多重積分的問題。該類問題由于運算次數很多，一般的方法基本上無法求出，而用大數定律作為理論基礎，可獲得n重積分（n很大時）的近似值，即得到n重積分的極限。其實這樣的題目還有很多，這里就不一一列舉了，總結一下就是在以后的微積分題目中可以適當運用概率論中的相關定理，這樣既簡便又快捷。

二、概率論能很好地解決微積分中關于積分的問題

都知道積分知識是在微積分中學到的，那么概率論在這方面與微積分又有什么聯系呢？有如下題型：

1.已知區域為一個橢圓，求一個在該區域上的二重積分。如若用微積分思想只能是通過換元，將二重積分轉換為二次積分得到結果，但其過程是非常復雜晦澀的，如果通過構造二維正態分布，避免換元，只需要短短幾個公式就可以得到結果，何樂而不為？

2.證明一個積分的平方等于一個常數。概率論中正態分布是一個復雜但又非常特殊的函數，它的構造可以解決很多問題。將一個函數表示成正態分布的形式，那么我們可以很快得出其期望、方差及積分，那么后面的問題就可以迎刃而解了。善于利用正態分布是非常有必要的。關于積分的問題需要從概率分布入手，尤其注意正態分布，并利用其數字特征，積分問題就很好地解決了。

三、概率論能很好地解決微積分中關于恒等式問題

恒等式一般有三種形式，借助概率論中的古典概率模型、巴拿赫火柴問題及二次分布概率模型，能提供不一樣的思路解決此類問題。

1.證明常數加上由m、n組成的式子等于m與n的比值。這里可通過構造古典概率模型用概率論方法便可以很好地解決，且思路非常新穎。

2.證明未知式子的和等于一個常數。可將其變成一個實際的例子，將n項和變成一個實際問題，如比賽問題，那么問題便會變的簡單直觀，且別出心裁。

3.巴拿赫火柴問題是非常經典的問題，再加上引入的巴拿卡分布，會使這類問題變得非常簡單。

復雜的恒等式直接證明是非常困難的，但如果我們將其構造成一個概率模型，并將其與實際例子結合起來，便會很容易理解。

四、概率論能很好地解決微積分中關于不等式的問題

其關鍵是根據不同的問題建立相應的隨機概率模型，再利用密度函數、概率直接的相關性質給出答案。這類問題我就不在這里細講了，其思路與上面所講類型有異曲同工之處。

其實還有很多微積分問題能與概率論問題聯系起來，數學分支本來就是相通的。只要細心一點，多看題，多做題，多思考，將學過的知識聯系起來。換一種思路，也許就會有意想不到的結果。概率論與微積分本身就有著密切聯系，只是我們很容易忽略掉。如今出現了很多關于數學新的觀點和新的理論，為我們解決數學問題提供了更加廣闊的視野，更好地將概率論應用到數學分析中。

參考文獻：

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？誗編輯 孫玲娟