讓“數學形象化”的一些具體做法

一、賦予數學問題具體的生活背景

眾所周知，數學是一門抽象而邏輯性又極強的一門學科。那么我們在學習數學以及數學教學中非常重視數學的抽象公式以及高度抽象化的公理、定理、推論等。這些固然非常重要，但是我在數學的學習與教學中始終覺得我們不管是學習數學還是教數學時常常合理而又適時地運用一些比較形象化以及具有一定的實際背景的模型來適時打比方、舉例子。

下面我結合自己在數學學習以及教學中的一些實例，淺談一下自己的感受。

例1.用實際例子說明y=10+2x，x∈[0，5）20，x∈[5，10）40-2x，x∈[10，20]所表示的意義

【簡析】：給變量賦予不同的內涵，就可得出函數不同的解釋，我們從物理和經濟兩個角度給出實例。

1.x表示時間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計時后質點以10 m/s的初速度做勻加速運動，加速度為2 m/s2，5秒鐘后質點以20 m/s的速度做勻速運動，10秒鐘后質點以-2 m/s2的加速度做勻減速運動，直到質點運動到20秒末停下。

2.季節性服飾在當季即將到來之時，價格呈上升趨勢，設某服飾開始時定價為10元，并且每周（7天）漲價2元，5周后開始保持20元的價格平穩銷售，10周后當季即將過去，平均每周削價2元，直到20周末該服飾不再銷售。

函數概念的形成，一般是從具體的實例開始的，但在學習函數時，往往較少考慮實際意義，本題旨在學生根據自己的知識經驗給出函數的實際解釋，體會數學概念的一般性和背景的多樣性。這是對問題理解上的開放。

從上面的這些例子，無疑我們可以看到在解決數學問題時可以大大簡化運算與思維過程，同時也可以激發學生學習數學、解決較為復雜的問題的興趣。

二、賦予數學問題一些跨學科背景

例2.已知a，b，m都是正數，并且a■

【簡析】：除教材介紹的方法外，根據目標的結構特征，改變一下考查問題的角度，或同時對目標的結構作些調整、重新組合，可獲得如下思路：兩點（b，a），（-m，-m）的連線的斜率大于兩點（b，a），（0，0）的連線的斜率；b個單位溶液中有a個單位溶質，其濃度小于加入m個單位溶質后的濃度；在數軸上的原點和坐標為1的點處，分別放置質量為m、a的質點時質點系的重心，位于分別放置質量為m、b的質點時質點系的重心的左側等。

例3.在半徑為15 cm的均勻鐵板上，挖去一個圓洞，已知圓洞的圓心和鐵板的中心相距8 cm，圓洞的半徑是5 cm，求挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心。

【簡析】：如圖1，以鐵板中心O1為原點建立直角坐標系，設挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為O′（x，0）及圓洞中心O2，如果在O′（x，0）處給一個支持點，根據重心原理，剩下的鐵板應該處于力的平衡狀態，即其余各力的力矩和應為0，則

■

圖1

│F1│·│O′O1│-│F2│·│O′O2│=│0│

這里，│F1│=π×152 │F2│=π×52

│O′O1│=x│O′O2│=8+x

代入（*）得，x=-1

∴挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為O′（-1，0）

【評析】：這實質上是一道物理題的“變題”，利用“物體在平衡時，力矩和為0”來解題，這里力矩就一個向量，正體現了數學作為一門“工具性學科”的基礎用途。

高中新教材在引入向量以后，使得平面幾何和空間幾何中許多定理、公式及一些相關問題變得直觀、淺顯、易理解。教材還通過布置一定量的“實習作業”“研究性課題”等實踐內容讓學生親身體驗數學活動的過程，提高他們的數學素養，以達到培養學生創新精神和應用能力的目的，這也是高中新教材改革之宗旨和目標。可見應用數學解決物理問題已經成為教學的一個要求，數學不再只是抽象的問題，而是建立了實際背景。

三、賦予數學問題跨學科內部的知識背景

例4.解關于x的不等式：■≥a-x

【簡析】：運用數形結合的思想解題如圖2：

■

圖2

在同一坐標系內作出y=■和y=a-x的圖象，

以L1，L2，L3在y軸上的截距作為分類標準，知：當a≤-1時；-1≤x≤3

當-1

當3

當a>1+2■時，不等式無解。

通過上題我們可以看到，在解決一些代數問題時，如果能找到它的幾何背景將大大簡化運算過程，使我們從無所下手到得心應手順利地解決掉一些復雜的問題。

以上是我在教學工作中的一點體會，我覺得作為數學教學應當多與實際相聯系，將一些抽象的概念具體化，讓學生更容易理解接受并形成深刻的印象。同時我們在解題過程中如果能夠正確引入具體實例背景可能對解題大有幫助。

？誗編輯 溫雪蓮