數學動態問題解決方案

摘 要：在數學學習中，常有一些很典型的問題能在數學解題中用到，甚至能為將來的生活生產服務，其中數學動態問題就是一種。大致可分為點動，線動，面動。以三者為例分別講解如何解決這三種動態數學問題。

關鍵詞：數學動態；區間；全等

一、點動態，區間范圍為解決的突破

點動態一般是點在線上的速度移動，頻次較高，但一般存在規律，才能解題，這樣的題目要抓住的要點就是點的一定范圍，這是突破口。舉例：在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD，一動點P從A出發，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD.

（1）當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；

（2）求S關于t的函數關系式；求S的最大值。

本題第（1）問涉及的就是點靜態問題，當點P運動2秒時，AP=2 cm，∠A=60°，而第（2）問就是一個動態問題了，目標是求面積與運動時間的函數關系式，我們綜合分析：t的取值范圍很重要，若0≤t≤10，P、Q點走過的總路程都是12 cm，P點的速度不變，所以AP始終為t+2；若8≤t≤10時，點Q所走的路程AQ=1×8+2（t-8）=2t-8。經過推算，當0≤t≤6時，S的最大值為8■；當6≤t≤8時，S的最大值為12■；當8≤t≤10時，S的最大值為12■；所以當t=8時，S有最大值為12■，這樣就得出了規律。

二、線動的主要結果是面積問題

由于線的移動，它所形成的面積會發生改變。例題：已知△ABC中，AB=BC=CA=6，BC在x軸上，BC邊上的高線AO在y軸上，直線l繞A點轉動（與線段BC沒有交點）設與AB，l，x軸相切的⊙O1的半徑為r1，與AC，l，x軸相切的⊙O2的半徑為r2。問當直線l繞點A轉動到何位置時，⊙O1，⊙O2的面積的和最小，為什么？

解：（1）過O作OD⊥AC于點D，易知AO=5，OD=4，從而AD=3，即AC=6。可見這種解題方法是通過極值的推算來進行的。

三、面動是幾何題中證明的主要方式

例題：△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連接AF和BE.

若將△ABC繞點C旋轉一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形C，問：AF和BE大小是否還成立？

解：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等邊三角形，

∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.

即∠ACF=∠BCE，∴△AFC≌△BEC，∴AF=BE.

參考文獻：

李麗君.中學數學題目解析[M].河南教育出版社，2012.

？誗編輯 王夢玉