淺談初中數學幾何證明的三種思維

摘 要：幾何證明在初中數學中屬于較為重要的科目，嚴重影響著數學成績，因此，在幾何證明的學習過程中，掌握必要的解題方法與思維方式是非要有必要的。主要對幾何證明中使用的三種思維進行了探討，分別為正向思維、逆向思維、正逆結合。

關鍵詞：初中數學；幾何證明；正向思維；逆向思維；正逆結合

在初中數學學習中，最為困擾學生的難題就是幾何證明，這是令很多學生都很頭疼和焦慮的問題。其實，對于幾何證明題目，只要認真分析題中已知條件，清楚地掌握解題的技巧與方法，幾何證明并沒有那么可怕，以下主要對初中數學幾何證明中三種思維進行淺談，作為今后學習的參考。

一、正向思維

在一般幾何證明題中，對于一些簡單題目，正向思維方式應用得比較多，求證過程相對簡單、容易，從已知條件入手，向著證明結果進行逐步推理即可，比如，證明：等腰三角形兩底角的角平分線相等。正向思維過程：根據題意可知在等腰三角形ABC中，AB=AC，角平分線分別為BD和CE，最終結果就是求證：BD=CE，如圖1所示。

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圖1 等腰三角形ABC

求證過程：已知：AB=AC，

由等邊對等角得：∠ABC=∠ACB.

已知：角平淺談初中數學幾何證明的三種思維

張祥飛

（新疆阿克蘇市第三中學）分線分別為BD和CE，由角平分線定義可知：∠1=∠A+∠ACE，∠2=∠A+∠ABD

∠ACE=∠ABD

等量代換：∠1=∠2

在三角形BEC和三角形CDB中，可得：∠1=∠2，CB=BC，∠DBC=∠ECB.

因此，角邊角定理可知：三角形BEC和三角形CDB全等。

由全等三角形的對應邊相等可得：BD=CE。

二、逆向思維

在解題過程中，學生在思考問題時，可以選擇不同的方法、不同的角度，對解題方法進行探索，有助于學生解題思路的拓展。比如，在講授勾股定律一課時，有這樣一道證明題：

求證：■+■=■

在講解過程中，應該利用逆向思維，從結論入手，這樣可以消除不必要的運算，即，對結論進行變形，此方法簡單方便。

證明如下：■+■=■

將等式左邊兩項進行合并：■=■，在直角三角形ABC中，有AC2+AB2=BC2

因此，原式可以變形為：■=■

交叉相乘可得：AB2·AC2=BC2·CD2

使用積的乘方的逆運算可得：（AB·AC）2=（BC·CD）2

因此，AB、BC、AC、CD均為三角形的邊，都是正數，由上式可得：AB·AC=BC·CD

進而，便可求得證明結果：■+■=■

三、正逆結合

在一些幾何證明題目中，從結論很難找到突破口，此時學生可以對已知條件和結論進行充分分析。在初中數學中，題目中所給出的已知條件，多數在解題過程中都要使用，因此，從已知條件入手，尋找新的解題思路，比如，已知三角形某邊中點，此時可以想到輔助線有中位線，或是使用中點倍長法。在梯形中，如果已知中點的話，就要想到作高線、補形結合、平移對角、平移腰等，總之，在解題中，充分使用正逆結合思維，效果往往不錯。比如，如圖2所示，在梯形ABCD中，已知AE垂直于DC，AB平行于CD，點E為垂足，其中AC邊等于20，BD邊等于15，AE邊等于12，求梯形ABCD的面積？

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圖2 梯形ABCD

解題過程如下：作AM平行于BD，交點M在CD的延長線上，可得到平行四邊形AMDB，即AM=BD，由于三角形ADM與三角形ADB的面積相等，再加上AB平行于CD，可知三角形ABC與三角形ADB的面積相等，所以，梯形ABCD的面積等于三角形AMC的面積。

因此，在三角形AME中，ME=■=9

在三角形AEC中，EC=■=16

即，梯形ABCD的面積等于三角形AMC：S△AMC=12×（9+16）×■=150

四、在初中數學幾何證明中應用三種思維方式的重要性

隨著新課程標準的逐步推進，初中數學教學的重要目標就是培養學生的數學思維能力和應用能力。在實際教學中，通過實例，將三種思維方式融入解題中，充分拓展學生的思維，對幾何證明題目進行觀察、分析、歸納和操作。在解題過程中，體驗幾何證明題的挑戰性和探索性，在思考過程中，感受幾何證明的條理性和結論的確定性，不斷培養學生思維的創造性與靈活性，進而開拓學生的邏輯思維能力。

在初中數學學習中，學生對幾何證明題感到困難是普遍存在的問題，尤其對于一些較為復雜且難度較大的題目，更是無從下手。在幾何證明中，不論是正向思維還是逆向思維，都需要正確的證明思路，經過不同思維方式的應用，便可對題目中的已知條件進行充分利用。正逆結合通常又稱為綜合法，在解題過程中應用得比較多，多數證明題目都需要正向思維與逆向思維的結合，使用單一思維方式的題目比較少。正逆結合是指從題目的已知條件出發，確定相應的定理、定義，即尋找解題的依據，進而進行逐步推理，直到得出證明的結論為止。逆向思維是指從題目的結論出發，對結論成立的條件進行探索，經過逐步推理，找出所需的條件，直到已知條件出現為止。正逆結合的缺點在于進行推理的思路過多，題目中需要的定理也比較多，學生往往感到無從下手。而逆向思維法，首先認定結論，在倒推的過程中，啟發思考，針對明確的目的進行相應的推理，便可了解推理的依據，進而使人了解到整個思維過程。對于一些較為復雜的證明題，“兩頭湊”的思維方式應用得也比較多，首先從已知條件出發，對多種結論進行推理，再從已知題目中的結論出發，對所需的條件進行推理，進而尋找兩者之間的差距，便可得到相應的證明思路，達到求解目的。

綜上所述，在求證幾何題目之前，對于題目給出的已知條件應該詳細分析，對題目中的已知圖形進行詳細觀察，針對題目的具體情況，選擇合適的解題思維，探尋新的證明思路，不斷提升自身的解題能力。

參考文獻

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