巧妙應用平滑定理求三角形面積問題

摘 要：“平滑定理”在中考壓軸題中有著廣泛的應用，主要介紹了三種類型題的應用：“三角形面積轉換”“三角形面積相等”“面積等分線”。這三種應用都是運用了“平滑定理”的本質同底等高。

關鍵詞：平滑定理；同底等高；三角形面積

近年來，中考試卷中屢次出現求三角形面積問題，且各地市有些關于求三角形面積問題給出的參考答案也較繁瑣，筆者發現如果應用“平滑定理”來求解三角形面積，解答過程將變得簡單、清晰。

平滑定理：

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圖1

如圖1，L1//L2，S△ABC S△ABD（填“>、=、<”）

一、平滑定理在三角形面積轉換中的應用

例1.（2013年濟南中考第24題）已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（-3，0），C（0，-2）

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圖2

（1）求這條拋物線的函數表達式.

（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最小.請求出點P的坐標.

（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）.過點D作DE//PC交x軸于點E，連接PD、PE.設CD的長為m，△PDE的面積為S.求S與m之間的函數關系式.試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】（中考命題組提供）：（1）y=■x2+■x-2

（2）P（-1，-■）

（3）S存在最大值。理由：∵DE∥PC，即DE∥AC.

∴△OED∽△OAC.

∴■=■，即■=■.

∴OE=3-■m，AE=3，OE=■m

方法一：連結OP

S=S四邊形PDOE-S△OED=S△POE+S△POD-S△OED

=■×（3-■m）×■+■×（2-m）×1-■×（3-■m）×（2-m）=-■m2+■m

∵-■<0

∴當m=1時，S最大=-■+■=■

方法二：S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD

=■×3×2-■×（3-■m）×（2-m）-■×■m×■-■×m×1

=-■m2+■m=-■（m-1）2+■

∵-■<0

∴當m=1時，S最大=■

利用“平滑定理”解第3問：

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圖3

連結CE，由平滑定理知

S△PDE=S△CDE=■CD·OE=■m（3-■m）=-■（m-1）2+■

∴當m=1時，S最大=■

評析：本題是一道由二次函數、三角形面積相融合的壓軸題，第1、2問容易上手，第3問方法較多，參考答案給出了兩種方法，都是面積的割補法，這也是一種常用的解題方法，在平時的求面積題中也經常用到，但是割補法在這道題中計算量會稍大一些，計算能力差的學生容易算錯，如果采用“平移定理”來解析這道題會比較方便。

二、平滑定理在三角形面積相等中的應用

例2.（2011年大連中考第26題）如圖4，拋物線y=ax2+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P，與直線BC相交于點M，連接PB.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】：

（1）y=-x2+2x+3

（2）x對=1 ∴P（1，4）

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圖4 圖5

直線BC解析式為：y=-x+3 ∴M（1，2）

在對稱軸上取點N，使得MP=MN，則N（1，0）

由平滑定理知，l1、l2與拋物線交于點Q，使△QMB與△PMB的面積相等。

①過點P且與直線BC平行的直線l1∶y=-x+5

y=-x2+2x+3y=-x+5？圯x2-3x-2=0？圯x=1（舍）或x=2 ∴Q1（2，3）

②過點N且與直線BC平行的直線l2∶y=-x+1

y=-x2+2x+3y=-x+1？圯x2-3x-2=0？圯x=■

∴Q2（■，■），Q3（■，■）

綜上，滿足條件的點Q共有3個，其坐標分別為（2，3），（■，■），（■，■）

（3）（1+■，2）

變式：例2第（3）問改為：拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，求出點R的坐標；若不存在，說明理由.

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圖6

【答案】RM為兩個三角形的公共邊，由“平滑定理”的本質同底等高得面積相等。即P、B到直線l2∶RM的距離相等。

因為點M為PN中點，所以只需l1∥l2∥x軸，就有三條直線間的距離相等。所以l2∶y=2

y=-x2+2x+3y=2？圯x2-2x-1=0？圯x=1±■

R1（1-■，2），R2（1+■，2）

評析：本題的第2問有一定難度，學生容易用的方法是分類討論，按Q點在對稱軸與x軸所分的四個不同區域來討論，如Q在對稱軸右邊與x軸上面的區域，設Q的坐標（含m的字母），再做QD平行于y軸與CB相交于點D，所以D的坐標也可以用含m的式子表示。用Q點的縱坐標減D點的縱坐標得到線段QD的長度，這樣就可以用含m的式子表示要求三角形的面積，然后令這個式子等于2求解。其他幾種討論，就分Q點在D點上方或下方討論，方式方法類似。此方法討論比較繁瑣、計算也比較麻煩，容易算錯。采用“平滑定理”之后簡單多了。

三、平滑定理在面積等分線中的應用

例3.（2010年連云港第27題）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.如：平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.

（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_______；

（2）如圖7，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE.請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）如圖8，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC>S△ABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由.

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圖7 圖8

【答案】（1）中線所在的直線.

（2）連接BE，∵AB∥CE，AB=CE，∴四邊形ABEC為平行四邊形.∴BE∥AC，由平滑定理：S△ABC=S△AEC.

∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

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圖9 圖10

過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如圖9所示.

（3）能.連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.

∵BE∥AC，由“平滑定理”∴S△ABC=S△AEC.

∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

∵S△ACD>S△ABC，∴面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.作圖如圖10所示.

評析：（2）設AE與BC相交于點F.觀察圖形可知，要證明S梯形ABCD=S△ABE，就是要證明除去兩個三角形公共部分外的兩個小三角形△ABF和△CEF的面積相等.方法一：連接線段BE，由“平滑定理”知△ABC和△AEC面積相等，再同時減去公共部分面積，即可說明△ABF和△CEF的面積相等；

（3）問題更加趨向一般，由第（2）問可知.AB與CD是否平行，不影響△ABF和△CEF的面積相等.故可依法炮制.

例4.（2010江蘇泰州，27，12分）如圖，二次函數y=-■x2+c的圖象經過點D（-■，■），與x軸交于A、B兩點.

（1）求c的值；

（2）如圖11，設點C為該二次函數的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數解析式；

（2）設點P、Q為該二次函數的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由.（圖12供選用）

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圖11 圖12

【答案】（1）c=6.

（2）過點D、B點分別作AC的垂線，垂足分別為E、F，設AC與BD交點為M，

∵AC將四邊形ABCD的面積二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF

由“平滑定理”知：AC平分BD，M是BD的中點，易求得M（■，■）

由A、M兩點坐標可求出直線AC的解析式為y=■x+■.

（3）存在.由△AQP≌△ABP可知，AP是公共邊，AQ=AB，于是以A點為圓心，AB=4■為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP、PQ，此時由“邊角邊”易得AQP≌△ABP.

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圖13

評析：本題（2）由“平滑定理”來尋求解題思路，不難發現S△ABC=S△ADC.

可得線段BD被直線AC平分；

（3）通過逆向思考，假設存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP，則可得AP平分∠QAB，通過畫圖可進一步確認其存在的可能性.

本題（2）（3）兩問的設計獨具匠心，在解題時學生因想不到運用平滑定理可能造成束手無策。

綜上所述，“平滑定理”在中考壓軸題中有著廣泛的應用，本文主要介紹了三種類型題的應用：“三角形面積轉換”“三角形面積相等”“面積等分線”。這三種應用都是運用了“平滑定理”的本質同底等高。在求解三角形面積的時候可能有很多方法，如割補法、面積比等于相似比的平方等，我們要根據題目給出的已知條件，具體分析尋找最佳方法解答。事實證明，在求與三角形面積有關的問題時，我們適時應用“平滑定理”會收到意想不到的效果，讓我們巧妙地應用“平滑定理”來解決三角形面積問題。

？誗編輯 謝尾合