數量關系式是解決分數實際問題的一把“鑰匙”

管景強

[摘 要]運用數量關系式，可以讓我們找到解決分數實際問題的“鑰匙”。那么，怎樣才能準確找到解決分數實際問題的這把“鑰匙”呢？通過案例分析，發現對分率的理解與分析是關鍵。因此，課堂教學中，教師要教會學生準確找出數量關系式的方法，提高學生解決分數實際問題的能力。

[關鍵詞]數量關系式 分數實際問題 解題能力

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）05-032

典型的分數實際問題都隱含著基本的數量關系式，即“單位‘1的量×分率=分率所對應的數量”，用好這個數量關系式，能夠讓我們找到解決分數實際問題的“鑰匙”。那么，怎樣才能準確找到解決分數實際問題的這把“鑰匙”呢？其中，對分率的理解與分析是關鍵。

一、理解關系句中分數的意義，準確找出數量關系式

現行教材已淡化分率這一概念，可在分數實際問題中，一般都含有用分數表示兩個數量間倍比關系的句子（可稱為關系句），而句中的分數也是分率。它表示的就是“單位‘1的量”“分率所對應的數量”這兩個數量之間的倍比關系，即“分率所對應的數量”是“單位‘1的量”的幾分之幾。我們從關系句中的分率入手，明確誰是誰的幾分之幾，就能輕松找出分數實際問題中的基本數量關系式。

1.標準句式

關系句中可以明顯看出誰是誰的幾分之幾。如“黑兔只數是白兔的2 / 3”，從中可以看出這里的2 / 3是把白兔的只數看作單位“1”，指的是黑兔只數是白兔只數的2 / 3；反過來說，白兔只數的2 / 3就是黑兔的只數。因此，此題的數量關系式就可以列為“白兔×2 / 3=黑兔”。

2.省略句式

關系句中隱含或省略了一些關鍵詞語，這時就需要先補充完善關系句后再進行分析。如“同學們去植樹，第一天植了2 / 5”，這里可以讓學生先想想第一天植的是誰的2 / 5，待學生弄清“第一天植樹的棵數是植樹總棵數的2 / 5”后，自然就可以列出題中的數量關系式為“總棵數×2 / 5=第一天植的”。再如“用去一些后，還剩3 / 7”，這里可以讓學生先想想誰是誰的3 / 7，因為有“用去一些后”這幾個字的干擾，學生可能會出現兩種觀點：一是還剩的是原有的3 / 7；二是用去的是原有的3 / 7。接著，教師可引導學生進行對比分析，得出正確的數量關系式為“原有的×3 / 7=還剩的”。另外，“一個數量比另一個數量多幾分之幾或少幾分之幾”的問題，也是學生最容易混淆和出錯的。如“紅花的朵數比黃花多3 / 5”，實際上這句話補充完整應該是“紅花比黃花多的朵數是黃花朵數的3 / 5”，要讓學生理解這里的3 / 5是把黃花的朵數看作單位“1”，平均分成了5份，紅花比黃花多的朵數是這樣的3份（可以借助線段圖理解），數量關系式也就可以列為“黃花×3 / 5=紅花比黃花多的”。

不過，需要注意的是，分數實際問題中有的分數并不表示數量間的倍比關系，而是用分數表示具體數量。

3.區別分數表示的是分率還是具體數量

如有這樣一道題：“有兩根彩帶，第一根3米，第二根比第一根長1 / 4米，第二根長多少米？”有學生算出的結果是3米或3.75米，怎么得來的呢？實際上，學生是把這里的“長1 / 4米”當作“長1 / 4”來計算了，這里的“1 / 4米”是指具體數量而不是分率。

區別分數表示的是分率還是具體數量有一個簡單的辦法，就是看分數后面有沒有單位名稱，沒有單位名稱的話就是分率，表示的是數量間的關系；有單位名稱的話，就表示具體數量。如果教學僅到此就止步，會發現學生遇到這樣的問題時還會犯類似的錯誤，因此我們應該讓學生弄清“1 / 4”與“1 / 4米”之間的本質不同。在教學中，我們可以經常進行這樣的練習：“兩根同樣長的鋼管，第一根用去2 / 5米，第二根用去2 / 5。哪一根用去的長一些？”（蘇教國標版小學數學六年級上冊第51頁的思考題）像這樣的問題，答案不是唯一的。通過討論，教師要讓學生清楚“用去2 / 5米”中的“2 / 5米”是把“1米”看作單位“1”，平均分成5份，表示其中的2份，化成小數可以是0.4米，用分米作單位是4分米，用厘米作單位就是40厘米，這是一個具體的、確定的、實實在在的長度，所以是個具體的數量。而“用去2 / 5”中的“2 / 5”是把一根鋼管看作單位“1”，“2 / 5”是針對這根鋼管而言的，表示的是用去的長度與這根鋼管長度這兩個數量間的倍比關系，因為鋼管的長度是未知的，所以這根鋼管的2 / 5也是未知的，從而得到三種不同的結果：當這根鋼管的長度大于1米時，用去的長度就大于1米的2 / 5，即大于2 / 5米；當這根鋼管的長度等于1米時，用去的長度就等于1米的2 / 5，即等于2 / 5米；當這根鋼管的長度小于1米時，用去的長度就小于1米的2 / 5，即小于2 / 5米。學生產生這種不確定性的原因是不理解“2 / 5米”與“2/ 5”之間的差異，當學生有了深刻的認識后自然會認識到單位名稱的重要性，進而從本質上理解了分數后面帶不帶單位名稱的區別，正確分析出問題中數量間的關系。

4.找出隱含的數量關系式

從關系句中的分率入手，明確誰是誰的幾分之幾，可以找出分數實際問題的基本數量關系式。實際上，結合關系句中的已知信息，通過數學聯想，還可以找出題中隱含的信息，從而找出隱含的數量關系式。如看到“一根繩子，用去1 / 3”時，可以想到“這根繩子還剩1-1 / 3”，就能得到數量關系式“一根繩子×（1-1 / 3）=還剩的”；看到“公雞的只數占雞總數的2 / 5”時，可以想到“母雞只數占雞總數的1-2 / 5”，從而得到數量關系式“雞總數×（1-2 / 5）=母雞只數”；看到“現價比原價便宜1 / 3”，可以想到“現價應該是原價的1-1 / 3”，得到數量關系式“原價×（1-1 / 3）=現價”；看到“一堆煤，第一天用去1 / 7，第二天用去2 / 5”，可以想到“還剩的”是這堆煤的1-1 / 7-2 / 5，可以得到數量關系式“一堆煤×（1-1 / 7-2 / 5）=還剩的”……學生分析關系句時往往通過關鍵詞，如“用去”“便宜”“還剩”等，進行數學聯想找出題中隱含的數量關系式。這里，教師要注意引導學生，如果感到解決問題有困難，可以通過畫線段圖的方法，尋找數量與分率間的對應關系來確定題中的數量關系式。如上面例中看到“一根繩子，用去1 / 3”“現價比原價便宜1 / 3”等，就可以通過畫線段圖來找出分率與數量的對應關系。如下圖：

從圖中可以明顯看出，“用去的長度”對應的分率是1 / 3，“還剩的長度”對應的分率是1-1 / 3，從而得到隱含的數量關系式為“一根繩子×（1-1 / 3）=還剩的”；“現價比原價便宜的”對應的分率是1 / 3，“現價”對應的分率是1-1 / 3，從而得到隱含的數量關系式為“原價×（1-1 / 3）=現價”。

二、運用數量關系式，解決分數實際問題

例1.世界上最小的洲是大洋洲，面積大約900萬平方千米。（1）歐洲的面積是大洋洲的10 / 9，是北美洲的5 / 12。（2）北美洲的面積是亞洲的6 / 11，是南極洲的12 / 7。（3）南美洲的面積是北美洲的3 / 4，是非洲的3 / 5。分別算出各個洲的面積。（蘇教國標版小學數學六年級上冊第65頁第12題）

本題是“求一個數的幾分之幾是多少”與“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”這兩種分數實際問題的混合運用，題目中條件多，數量間的關系復雜，到底是用分數乘法計算，還是用分數除法或方程計算，學生往往分辨不清。這時，理清各數量間的關系，通過列出數量關系式來分析問題就能取得很好的效果。為了節省時間，提高教學效率，列數量關系式時，教師可以要求學生簡寫數量關系式，已知量可以標出在關系式下方，未知量可以用“？”表示。如下：

（1）歐洲的面積是大洋洲的10 / 9，是北美洲的5 / 12。

大洋洲×10 / 9=歐洲 北美洲×5 / 12=歐洲

900 ？ ？ 1000

（歐洲：900×10 / 9=1000） （北美洲：1000÷5 / 12=2400，或列方程解）

（2）北美洲的面積是亞洲的6 / 11，是南極洲的12 / 7。

亞洲×6 / 11=北美洲 南極洲×12 / 7=北美洲

？ 2400 ？ 2400

（亞洲：2400÷6 / 11=4400，或列方程解） （南極洲：2400÷12 / 7=1400，或列方程解）

（3）南美洲的面積是北美洲的3 / 4，是非洲的3 / 5。

北美洲×3 / 4=南美洲 非洲×3 / 5=南美洲

2400 ？ ？ 1800

（南美洲：2400×3 / 4=1800） （非洲：1800÷3/ 5=3000，或列方程解）

對列出的數量關系式進行分析后，可使復雜的數量關系明朗化，解決問題的思路和方法也就明確了。

例2.光明畜牧場養了900頭肉牛。（1）肉牛比奶牛少1 / 5，奶牛有多少頭？（2）奶牛比肉牛多1 / 4，奶牛有多少頭？

本題是稍復雜的分數實際問題，通過關系句，我們可以列出基本數量關系式來分析。如下：

（1）奶?！? / 5=肉牛比奶牛少的 （2）肉?！? / 4=奶牛比肉牛多的

對于第（2）題，很明顯可以先求出奶牛比肉牛多的頭數，再加上900就可以求出奶牛的頭數。而對于第（1）題，列出的數量關系式中奶牛頭數與肉牛比奶牛少的頭數都是未知的，這樣就沒法算出奶牛的頭數。這時，通過關系句“肉牛比奶牛少1 / 5”還能想到：把奶牛的頭數看作單位“1”，肉牛比奶牛少的頭數是奶牛頭數的1 / 5，那么肉牛頭數就應該是奶牛頭數的1-1 / 5，可以找出隱含的數量關系式“奶牛×（1-1 / 5）=肉?！?。同理，第（2）題也能找出類似形式的隱含數量關系式（如下）。

（1）奶?！粒?-1 / 5）=肉牛 （2）肉?！粒?+1 / 4）=奶牛

從中可以發現，通過上面的數量關系式可以很容易算出所求的問題。

例3.商店運來一批水果，第一天賣出9 / 20，第二天賣出105千克，還剩全部水果的3 / 8，這批水果共有多少千克？

通過關系句，可以列出如下的基本數量關系式。

一批水果×9 / 20=第一天賣的 一批水果×3 / 8=還剩的

本題運用上面的基本數量關系式解決不了所求問題，那么可以找隱含的數量關系式來分析解決問題。先畫出線段圖，如下。

一批水果×（1-9 / 20-3 / 8）=第二天賣的

從圖中可以看出，“第二天賣出的105千克蘋果”對應的分率應該是這批水果的（1-9 / 20-3 / 8），可以通過數量關系式來解決本問題，列式為105÷（1-9 / 20-3 / 8），或用方程解。

如上述例子所示，當通過基本數量關系式不能解決問題時，我們可以尋找隱含的信息，從中找出隱含的數量關系式，通過分析隱含的數量關系式，方便我們解決一些稍復雜的分數實際問題。當然，解決分數實際問題的方法和途徑還有很多，通過列數量關系式來解決只是其中最基本的一種方法，運用好數量關系式這把“鑰匙”，對學生解決分數實際問題能力的提高會有顯著的效果。我們在實際運用時，不必強求學生都要書面列出數量關系式，熟練者能在腦中浮現這樣的分析過程即可。

（責編 杜 華）