憶阻混沌系統(tǒng)的同步*

陳福利(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

憶阻混沌系統(tǒng)的同步*

陳福利
(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

摘要:憶阻器之所以引起了人們的大量關(guān)注，是因為它具有其一些特殊的特點，在普通的混沌系統(tǒng)中代替蔡氏二極管通過用憶阻器，因之得到了一個憶阻混沌系統(tǒng);研究了憶阻混沌系統(tǒng)的同步，通過用Lyapunov穩(wěn)定性理論，并設(shè)計一個脈沖控制器來實現(xiàn)憶阻混沌系統(tǒng)在不同的條件下的同步，從理論分析上說明了結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞:憶阻器;混沌系統(tǒng);同步

蔡少棠教授［1］在1971年第一次提出了”憶阻器”的觀點，它被當(dāng)做是電感、電阻、電容除外的又一個基本電路元件，當(dāng)電荷流過憶阻器兩端時，憶阻器可以記住當(dāng)前的電荷量，又因為這樣，所以憶阻器又被稱之為“記憶電阻”。憶阻器是一個非線性的且是無源的元件，顯示了許多特別的性質(zhì)［2］，輔助研究人員用憶阻器解釋了納米系統(tǒng)中的幾種現(xiàn)象，例如:在自旋電子元件和熱敏電阻中，研究人員在HP實驗室中把憶阻器用在一個大的密度存儲空間里，成功的構(gòu)造了一個簡單的數(shù)據(jù)存儲裝置。憶阻器非常容易發(fā)生混沌振蕩信號，于是，大量研究人員通過采用憶阻器，創(chuàng)建了憶阻混沌系統(tǒng)［3－5］。Itoh和蔡少棠［3］引進了一個擁有分段線性嚴(yán)格增加的弧線憶阻模型，取代了線性振蕩器中的蔡氏晶體二極管，得到了一個含有憶阻器的混沌系統(tǒng)，并對它的動力學(xué)特性進行了分析。其后Muthuswamy選用一個分段不連續(xù)的線性憶阻器導(dǎo)函數(shù)，替換了蔡氏二極管，形成了一個嶄新的憶阻混沌系統(tǒng)［3］，憶阻器從出現(xiàn)開始，它的使用范圍［6］和應(yīng)用條件［7］吸引了研究者的注意。

近年來，Strukov等人［5，8］發(fā)明了一些具有記憶特點的元件之后，憶阻器應(yīng)用在混沌系統(tǒng)中非常廣泛:可用于電路的設(shè)計或?qū)ι锏挠洃浱攸c進行實驗等，文獻［3，4］采用的憶阻器造成了憶阻或憶導(dǎo)都是間斷的非線性函數(shù)，是因為憶阻器的特點是不光滑的間斷段線性函數(shù)，并且只是簡單地分析了所提出混沌電路的動力學(xué)特點，在此基礎(chǔ)上，利用混沌動力學(xué)特征和以往研究過的理論分析方法，現(xiàn)將對其進一步研究憶阻混沌電路的同步問題。

1　模型建立

在2008年，Itoh和蔡少棠提出了一個用憶阻器代替了蔡氏二極管，導(dǎo)推出了一個四階憶阻混沌電路，如圖1所示。

圖1　四階憶阻混沌電路

利用這個電路導(dǎo)出了憶阻混沌電路的方程:

令x1(t) = V1(t)，x2(t) = i(t)，x3(t) = V2(t)，x4(t) =φ(t)，G = 1，以及定義憶導(dǎo)函數(shù):W(φ) =－a+3bφ2其中(a＞0，b＞0，φ是憶阻元件的狀態(tài)變量)，式(1)的狀態(tài)方程可改寫成無量綱的狀態(tài)方程:

圖1的所示的憶阻混沌電路系統(tǒng)是一個四維系統(tǒng)，它的動力學(xué)特性由式(2)描述。

2　憶阻混沌系統(tǒng)同步的理論分析

讓系統(tǒng)(2)作為主系統(tǒng)，相應(yīng)的可以做出響應(yīng)系統(tǒng)

令ei(t) = yi(t)－xi(t) (i=1，2，3，4)為系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(3)同步誤差.為了實現(xiàn)系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)的同步，定義控制器ui(t) (i=1，2，3，4)如下:

系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(3)的同步誤差系統(tǒng):

最后，給出結(jié)果。

定理1假定存在常數(shù)ki＞0(i=1，2，3，4)，使得

則同步誤差系統(tǒng)(5)漸進收斂于零，并且系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)達(dá)到完全同步。

證明構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)為

對式(6)求導(dǎo):

例如:選擇主系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件分別:(－0.001，0.01，0.－0.000 1)，(0，0.001，0.000 1，0)，取主

系統(tǒng)的參數(shù)a=1.2，C1=12，C2= 7，，控制器的參數(shù)為:k= 7.2，k=－5，k= 4.6，k= 1.5，由定理1通過1234數(shù)值模擬可知誤差系統(tǒng)漸進趨于零，從而主系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步。

3　結(jié)束語

通過引進一個四階憶阻混沌電路系統(tǒng)，在以往研究系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一個控制器，使誤差系統(tǒng)漸進收斂于零，從而主系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步。

參考文獻:

［1］CHUA L.Memristor-the Missing Circuit Element［J］.IEEE Trans on Circuit Theory，1971，18(5):507-519

［2］CHUA L.KANG S.Memristive Devices and Systems［J］.Proceeding of the IEEE，1976，64(2):209-223

［3］ITOH M，CHUA L.Memristor Oscillators［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2008，18(11):3183-3206

［4］MUTHUSWAMY B.Memristor Based Chaotic Circuits［J］.IETE Technical Review，2009，26(6):415-426

［5］SNIDER G，STRUKOV D，WILLIAMS R.The Missing Memristor Found［J］.Nature，2008，453:80-83

［6］SCHROEDER R.Memristor Mechanics［J］.IEEE Spectrum，2009，46(2):8

［7］CHEN G.Leon Chua’s Memristor［J］.IEEE T Circuits Syst Mag，2008，8(2):55

［8］WILLIAMS S.How We Found the Missingmemristor［J］.IEEE Spectrum，2008，45(12):24-31

Synchronization of the Memristor-based Chaotic System

CHEN Fu-li
(School of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Abstract:Memristor draws people’s lots of attention，because it has some special features.A memristor chaotic system is obtained by substituting memristor for Chua’s Diode in normal chaotic system.This paper focuses on the synchronization of the memristor-based chaotic system.A pulse controller is designed to realize the synchronization under different conditions，and theoretical analysis proves the effectiveness.

Key words:memristor; chaotic system; synchronization

中圖分類號:O157.2

文獻標(biāo)識碼:A

文章編號:1672－058X(2015) 08－0024－04

doi:10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0008.006

收稿日期:2014－10－28;修回日期:2014－12－04.

*基金項目:重慶市教委科研資助項目(KJ130606).

作者簡介:陳福利(1990-)，女，重慶忠縣人，碩士研究生，從事微分方程與動力系統(tǒng)研究.