論析數(shù)學學習的“伸展與跳躍”

李建梅

[摘 要]數(shù)學是培養(yǎng)學生理性思維和想象能力的學科，數(shù)學教學是培養(yǎng)學生理性氣質(zhì)、適應(yīng)學生個性發(fā)展需要的基礎(chǔ)工作。教學只有順應(yīng)知識的邏輯起點、尊重和接納學生的現(xiàn)實起點，有效實施“因材施教”，才能實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的目標。學生的成長只有越過了學科本身和現(xiàn)實水平的瓶頸，才能實現(xiàn)自主性的伸展與跳躍。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學學習 伸展 跳躍 成長

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-005

“學有起點，但無終點。”這是對教育真諦的最好詮釋。無論水平高低、能力強弱，在學習過程中學生對數(shù)學仍能保持一份興趣，仍有思考的熱情、溝通的欲望，仍有堅韌不拔的毅力、謹慎認真的品質(zhì)，學生的生命就能獲得伸展與跳躍，而這種伸展與跳躍就是學生最好的成長。

[案例一] “謝式做法”的“橫空出世”

教學除數(shù)是小數(shù)的除法豎式，形如“4.2”時，一般會指導學生劃去算式中的小數(shù)點轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，這也是教材中的常規(guī)做法，但是豎式中原有的小數(shù)點和移動后的小數(shù)點的彼此干擾增加了計算難度，我一直也沒有想到更好的解決辦法。

前不久教學除數(shù)是小數(shù)的除法時，我突發(fā)念想：什么都不講，學生會怎么做？

根據(jù)已有經(jīng)驗，學生懂得根據(jù)商不變的規(guī)律把原有算式“7.98÷4.2”轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法進行計算，于是我讓學生嘗試豎式計算。結(jié)果不同能力水平的學生呈現(xiàn)了不一樣的狀態(tài)：一部分學生因沒有先例可循無從下手，示意他們看課本，但課本上也只有4.2的提示，沒有具體做法，面對這個變形的豎式，他們一樣手足無措；一部分學生開始嘗試利用原有豎式“4.2”步步揣摩（是基于已有除法經(jīng)驗的合情推理，有一定的思維難度）；還有幾名學生索性寫成“420”后直接計算；只有一名姓謝的學生直接寫成轉(zhuǎn)化之后的除法豎式“42”，并很快完成，我把它命名為“謝式做法”。靜靜的課堂，火熱的思考，各種想法都在悄然醞釀。

縱觀全班，沒有發(fā)現(xiàn)一名學生寫成教材中的格式，看來教材推廣的豎式不會自然生成。我先講解了教材中的豎式，再把幾種不同的做法集中呈現(xiàn)在黑板上，讓學生自己登臺講述思路。在一一解讀與比較后，學生明白了書上的豎式書寫既保持了原有算式的樣式，又有轉(zhuǎn)化之后的面貌，前后變化一目了然，但仍覺得不習慣而且有點繁，不如“420”和“42”的豎式利落清爽。我對于“420”和“42”哪個更好并沒有做出定論，而是讓學生自由選擇適合自己的豎式。其實，好與不好得看具體情況，再說，除了除數(shù)的大小變化，就此題而言它們沒有明顯的難度差別。

隨著情況的復雜、練習的深入，少數(shù)學生堅持采取書上的常規(guī)做法，大部分學生開始趨向于“謝式做法”。教材呈現(xiàn)的只是個例子，適合學生的才是最好的。受學生的感染，我也在不知不覺中開始經(jīng)常運用“謝式做法”了。這個姓謝的學生學習僅僅處于下游水平，卻這絲毫沒有影響“謝式做法”的“橫空出世”，“謝式做法”的誕生讓他足足“美”了一個星期，這樣的體驗何嘗不是他學習經(jīng)歷中的一次優(yōu)美伸展與華麗蛻變？

回顧“除數(shù)是小數(shù)的除法”的學習過程，教師介入很少，因為教師的“后退”成就了一個“學習共同體”，學生獨立思考、自然生成、互相啟發(fā)、彼此影響。無論是什么層次的學生都在與他人的交流中增強理解，在比較辨析中認同和接納，在自我反思和同伴互助中豐富認識，發(fā)展能力。“謝式做法”的“橫空出世”正是在這樣的共同體中產(chǎn)生并得到普及，這正是學習的意義。

[案例二]直逼本質(zhì)的數(shù)學發(fā)現(xiàn)

首先給出五年級教材中的一組習題：先算一算，再比較每組題的得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

4.8÷0.1= 2.6×0.5= 1.5÷0.25=

4.8×10= 2.6÷2= 1.5×4=

學生的描述不外乎：得數(shù)相等；一道是乘法，一道是除法；結(jié)果大于或小于被除數(shù)（或第一個因數(shù)）……顯然，這些表象描述不夠全面深入且不抵及編者意圖。

題目涉及的要素比較復雜，我不再指望更有價值的發(fā)現(xiàn)，準備深度介入。突然，小林的手在我面前使勁地搖晃，大有不喊她回答絕不罷手之意。盡管知道這是個有點沖動的女孩，經(jīng)常會有片面的理解和莫名的錯誤，但為了不挫傷她的積極性，還是讓她來回答問題。小林頗為激動地說：“我發(fā)現(xiàn)除了大家說的，還有一個秘密——就是第一個算式里的除數(shù)和第二個算式里的后一個因數(shù)的積全部是1。”感覺其他同學還不能明白，她忍不住走上講臺對著算式比劃著、講述著……隨著她的闡述，教室里有了短暫的沉寂，隨即響起了一陣陣會意的聲音，大家都明白了！

對于還沒學習倒數(shù)的五年級學生，能有這樣的發(fā)現(xiàn)已是最接近本質(zhì)的思考了。我有責任讓小林感受：重要的不是知識的發(fā)現(xiàn)，而是知識的傳遞。于是我要求其他學生運用小林發(fā)現(xiàn)的規(guī)律各自寫了一組算式，并再次計算驗證，緊接著讓他們把每組題中的第二個數(shù)交換位置，學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律依然成立。數(shù)學的奇妙和有趣，以及它的再生長特點在此盡顯。基于此，我提示學生，小林的發(fā)現(xiàn)之所以了不起，是因為她是從兩個算式之間的關(guān)系來思考的，而“關(guān)系”是把握一切數(shù)學的關(guān)鍵和核心。

毋庸置疑，小林在這節(jié)課上某個時段是深入觀察與思考的，是努力交流與溝通的，是想方設(shè)法傳遞知識分享智慧的。生命的生長與跳躍有時就是一個機會的把握、一個平臺的搭建，我不由得竊喜：我成就了一個女孩光芒四射的時刻，讓一直不自信她有了偉大的發(fā)現(xiàn)，有了“重生”般的驚喜。

上述兩個案例，雖說都是計算教學，但是，它對我們更好地認識兒童的數(shù)學學習帶有普遍性的啟示意義。

首先，數(shù)學學習過程應(yīng)該是一個舒展的、自由表現(xiàn)的過程。俗話說，閑暇出智慧。學習者只有在自由而寬松的氛圍中，才能以最真實的狀態(tài)呈現(xiàn)在教師面前。只有每個學習者的思維、精力都展現(xiàn)出來，教師才能把握到他們最真實的起點。存在的都是合理的，如果學生的學習起點是多樣化的、有層次的，那教學就應(yīng)該從這種差異出發(fā)，在平淡中開掘新奇，從獨特中尋找精彩，將學習置身于充滿挑戰(zhàn)、思辨、探究、解惑、發(fā)現(xiàn)的場景中，學習自然就變得有意思、有意義。

其次，數(shù)學學習過程應(yīng)該是一個伸展的、跳躍的過程。伸展意味著全方位的打開——知識的、能力的、思維的……只要全身“每個細胞”都被激活了，那學習就充滿著無限的張力。數(shù)學學習不是在平地上行走，而是要拾級而上，“跳一跳，摘到果子”。這“跳”，是突破原有的定式，是另辟蹊徑的發(fā)現(xiàn)，是靈感爆發(fā)后的豁然開朗，是學習成功后的激動喜悅。

總之，每個人生命的最初姿態(tài)本不相同，我們沒有理由要求大家齊步向前。教育的要義是激勵和喚醒：喚醒學生內(nèi)在的自覺，激發(fā)學生潛在的能量。每個獨特的生命個體，應(yīng)該經(jīng)歷不一樣的生命體驗，不同能力的學生應(yīng)該形成不一樣的張力，從而形成豐富多彩的生命姿態(tài)。學習不是決出勝負的一場比賽，讓部分歡喜部分憂愁；學習應(yīng)該是敲響促進兒童生命拔節(jié)的鼓點，讓兒童汲取向上生長的精神力量；學習就是從現(xiàn)實起點走向可能終點的伸展和跳躍。

（責編 金 鈴）