向量在解決高中數學問題中的應用

宋麗娜

【摘 要】 “向量”可以用來解決數學中的許多問題，因此教師在進行教學、學生在進行題目解答時要發揮“向量”的作用。本文對此進行了分析研究，教師首先要讓學生明白“向量”在數學習題中的價值意義，從而培養學生的向量解題思維，幫助學生在不斷的摸索中能夠找到更多的解題途徑和方法，培養學生的向量應用意識。

【關鍵詞】 向量；高中數學；應用；研究

高中數學問題相對于其他階段的數學問題而言具有一定的復雜性，并且高中數學知識也有著相應的連貫性特點，所以針對一個題目會存在著多種解答方法。“向量”也可以用來解決數學中的許多問題，因此教師在進行教學、學生在進行題目解答時要發揮“向量”的作用價值，應用到各類數學問題中去。

一、教學策略中體現“向量”的價值意義

向量在許多數學問題上能夠作為有效的手段進行問題解決，因此向量在數學教學中是一個非常重要的環節，教師進行向量基礎知識的教學中就應該重視對向量的價值意義進行解釋，使得學生對向量的學習保持著一定的熱情，從而能夠重視向量知識的應用。例如在學習“向量的加法”時，設a=（x，y），b=（x1，y1），向量滿足著平行四邊形法則和三角形法則，所以便可以得出AB+BC=AC，由此滿足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。這個知識點就是一個關于向量在平面圖形中的應用問題，所以教師便可以讓學生進行猜想：平面問題的解決是否可以用向量知識來解答呢。這個問題就是“向量”價值意義的體現，促進學生在學習向量這個知識時能夠結合其他知識來進行思考，推動知識的結合應用，充分把向量的價值意義能夠從其他類型的知識體系中體現出來。這也是教師教學策略的體現，讓學生鞏固數學知識，尋找解決途徑。又比如“數乘向量”的學習，實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa=λ·a∣。當λ>0時，λa與a同方向；當λ<0時，λa與a反方向；當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。需要追的是：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。這種數乘向量的知識也有著其重要的價值意義，規律中對λ的討論就是一種嚴謹性的數學意識，這在高中數學學習中非常重要，因此向量知識也將此體現出來。而向量特殊的方向性，對整個數學問題的討論有著指導性作用，引導著學生更加注意到數學問題中的正負問題，這在其他類別的數學問題上也有著體現，所以向量的價值意義還在于對其他知識體系的映射，學生能夠通過向量的學習類比其他數學問題，這便是非常重要的數學經驗。

二、“向量”是一種解題的工具

對于數學題目的解決方法而言，向量更像是一種解題的工具，針對不同類型的題目，向量都能夠運用其中。學生有時遇到難題，不妨可以往向量這個知識點來考慮，也許會為自己的思路創造一個新的途徑。例如向量可以與線性規劃知識聯系起來，例如一道題目：“已知在平面直角坐標系中，O（0，0），M（1，1），N（0，1），Q（2，3），動點P（x，y）滿足不等式0≤向量OP·向量OM≤1，0≤向量OP·向量ON≤1，則z=向量OQ·向量OP的最大值為_______”這一道題目就充分將平面直角坐標系、線性規劃等代數問題進行融合，學生利用向量的算法知識能夠得到一條解析式，而這條解析式就與“最值”問題直接產生著聯系，通過線性規劃便能夠得出題中所說要求的“最大值”。所以此題，向量作為一種工具把題目中的條件進行變性，從而跳到另一個知識體系的討論中去，理清了題目的思路，簡化的題目的問題。所以學生要學會進行觀察和分析，弄清楚向量在題目中的作用。

向量的工具性還體現在解三角形的問題上，比如題目：“已知三角形ABC中，坐標依次是A（2，1），B（3，2），C（-3，1），BC邊上的高為AD，則向量AD的坐標是_______. ”這道題目就是向量在幾何問題上的應用，學生必須先對A、B、C三個點進行觀察建立相關的向量表示法，才能找到解題的突破口，此題中D點的坐標是一個未知數，而通過其他三個點的向量標示才能夠看出線段之間的聯系，D點作為一個未知點可以用未知坐標表示法來與其他線段建立聯系，從而推斷出向量AD的具體坐標。由此可見，向量的應用在幾何問題上也能夠作為一種“工具”將看似復雜的問題簡化。所以學生必須意識到向量的“工具性”作用才能為自己的解題開創道路。

三、培養學生的向量應用意識

向量不僅是一種聯系題目與解題思路的工具，更是一種解決題目的方法，許多問題也可以通過向量來考慮，也許會比傳統的方法更加省時省腦力。因此教師在進行教學時也要意識到向量知識是一種解題思路和方法，面對困難的問題時，向量也是一個值得考慮的方法，幫助學生快速組織思路、找到解題方法。例如在解析幾何問題中，常常會遇到已知某些點的坐標，然后求另一個點的坐標問題。針對這種情況的問題，學生們大多數會因為題目范圍是解析幾何，涉及函數運算的問題，所以會忽視其他知識的運用。所以很多學生往往是通過求方程解析式，然后建立方程組，根據一系列運算規律得出某點坐標。而從向量的角度看，直接設立所求點的坐標未知數，然后根據向量的幾何性質建立相應的函數解析式再來求出某個點的坐標。明顯得出，向量知識在題目中的應用會比傳統的解題思路要省力許多，放在考試上則會節約學生很多時間。所以教師在平時就要培養學生應用向量的意識，遇到難題時不要死停在傳統的思路上，不妨運用向量解題的方法或許會開明許多。

總體而言，向量作為高中數學知識系統中的一個小部分，其功能和作用卻有著不小的影響。教師需要做的是首先讓學生明白“向量”在數學習題中的價值意義，從而培養學生的向量解題思維，幫助學生在不斷的摸索中能夠找到更多的解題途徑和方法。向量作為一個特殊的數學問題是值得學生去琢磨和學習的。

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