基于網絡的數學課程軟件項目化教學模式

付艷茹 馬強

摘 要： 基于數學精講多練和增益性提升學生學習成效的目標，分析了網絡條件下數學課程軟件項目化教學的內涵與形式，闡述了數學內容與數學軟件融合及教學資源重組的實現過程，討論了項目化教學設計中的教學要素和軟件實現的普適性方法。

關鍵詞： 數學課程； 項目化； 軟件； 網絡； 教學設計

中圖分類號： G712 文獻標志碼： A 文章編號： 1671-2153（2015）05-0017-05

數學教學歷經PPT、學習網站、MOCC視頻課程等多種輔助形式，不同層次的院校基本實現了由傳統式“黑板+粉筆”到互動式教學的轉變。僅依院校而言，由于數學教學欠缺探究性，加之數學內容本身枯燥的自然屬性，學生往往質疑和誤判數學課程的應用價值。功利性取向對學習效果的影響顯著，精講與多練之間的矛盾依舊，出現了許多“互而不動”的現象，似乎啟發式數學教學遇到了新的瓶頸。一些學者已經注意到了這個新的問題[1]-[6]。如何使數學教學立足于“改”轉向“改好”值得不同層次的院校探索。

筆者多年來在對“普+職”學生只分層不分班的彈性分層基礎上，基于“云計算輔助教學”CCAI的網絡條件，采用軟件項目化對高等數學和應用數學課程進行改革，通過設計數學軟件模塊和數學內容銜接串并成數學教學小項目，采用互動性和探究性的教學協作來達成“精講”與“多練”，帶動學生的學習，改變將教師和學生視已知者和未知者的簡單劃線，提升了學生學習數學的興趣和學習水平。

一、數學課程軟件項目化概念

數學課程軟件項目化教學是將抽象思維與形象思維相結合的行為導向性數學教學模式，是啟發式教學在網絡條件下的升級版，是一種基于網絡條件綜合運用和分解不同的數學軟件，按照數學的知識點和數學邏輯，師生以教學協作的方式共同實施一個相對完整的數學教學項目工作而進行的互動式教學活動。與傳統數學教學模式的主要區別是：教學設計不獨囿于數學教材內容本身，強調數學軟件和數學內容的教學協同；數學教學過程以師生互動式探究為主；數學內容按數學邏輯分解為相對獨立操作的項目化教學單元，按教學單元來部署數學軟件模塊；項目化教學過程中具有相對明確的單元始終時間，結束后有相對完整的數學教學小項目作品，以此為教學測量與評價的量化依據。

前述模式是數學軟件借助網絡條件的主動介入來干涉互動式數學學習，其教學策略的典型特征可以概括為數學教學過程中的“精講多練、項目拉動”。之所以強調軟件對互動式學習數學的主動介入和干涉，原因是數學教學條件在師生教與學兩端均已發生較大變化，不同層次學生面對著學時少、課程多、內容雜、就業難的多重需求，促成了數學教學很難合理對沖有限學時與教學密度，表現出平衡“精講多練”與“互動探究”相互重疊時序上的乏力，以及學生位于教學終端的“只啟不發”的疲態，而軟件的介入是希望通過數學教學小項目的探究形成互動。美國學者喬依斯（B.Joyce）和許瓦斯（B.Showers）在1982年所做的等組實驗中發現，經歷案例式或項目化的師生互動指導，有近75%的學生能在課堂上直接有效地應用所學的內容，而采用傳統的教學方式，則只有15%悟性較高的學生能有同樣的表現，其他較多同學無法直接消化教學內容，需要課后再復習。在二人所完成的等組實驗中，教學設計中的負荷主要來源于案例或項目的拉動，而負荷的效率達到了60%的幅度[6]。

僅就教學本身而言，數學課程的軟件項目化并未改變教師傳遞數學知識的本質任務，數學軟件也并非是要求學生額外學習的指向，只是強調數學和軟件的教學協同和應用，它與傳統上啟發式教學和因材施教也并不相悖，只是案例式在現代技術條件下的高級階段，而數學軟件的介入可施加必要的教學項目負荷，充分再現“教為主導、學為主體、疑為主軸、動為主線”教學互動過程，通過項目形成互動以為抽象思維與形象思維穿針引線，有助于學生解析不同難度數學問題時，由項目記錄數據信息反映學生個人注意力和學習負荷，既有助于學生去除應試意識，也有助于教師分析學生對不同受挫級別的反應，以便在學生學習數學過程中的重要時刻，給予必要和有效的干涉。

二、數學與軟件的內容融合與教學協作

數學課程項目化的前置條件是基于網絡合理選取數學軟件的若干模塊介入數學教學，選取的基本原則是所選軟件模塊與數學教學內容相適配，確保數學內容與數學軟件在教學過程中所占比重主次分明。一般應選用適宜學生直接使用的“傻瓜式”數學軟件為主，師生可以直接使用而不必另外開課，反之，將因頭重腳輕的教學設計而加重學生于數學之外的學習負擔。表1列出了適宜教學可選的數學軟件。

按軟件研發地分為來自國外和國內的兩類，前者以MATLAB、MATHMATICA、MINITAB等處于國際前沿專業化數學軟件為代表，通過數學軟件介入，可輕松輔助師生在數學課堂上實現信號仿真、數學建模、公式解析顯示、2D或3D作圖、復雜數學計算等教學任務；后者則以MathQ、MathPlay、SciencePlay、ScienceIE等為代表，其中的MathQ軟件幾乎為數學而生，它以QQ軟件的風格首次實現了數形結合及數學教學過程的即時通訊（見圖1），最大程度兼顧了學生學習數學與日常娛樂的使用習慣，可為師生的實時互動串針引線，教師可用之指定學生進行學習相互幫帶，以及依據學習水平對學生進行彈性分層，從而可以基于網絡完整地再現學生互助及師生互動探究數學學習的整個過程。

在前述數學軟件中，一般可選取處于數學軟件主導地位的MATLAB作為項目化教學的首選軟件。MATLAB在國外是數學專業以及計算機、電子等相關專業學生的主要必修課，在國內則是一般以數學實驗的選修課形式而存在。由于MATLAB包含了600多個數學函數的交互式集成環境，師生可在教學過程中無需大量編程，而直接進行矩陣運算、復數運算、符號運算、三角函數計算、幾何變換、傅立葉變換、積分變換、特征向量計算、數組計算、線性方程組求解、微分方程組求解、偏微分方程組求解等，還可以進行數據統計、數學建模、仿真計算、信號處理、圖像處理等可視化操作，幾乎覆蓋現今高校中典型數學課程的全部教學內容。教師可以在此基礎上，再同時選取數學軟件MathQ、MathPlay、ScienceIE等，與前述的MATLAB

軟件結合使用，并與分解的數學教學內容一道構成了項目化教學元素，而師生可以借助此類數學軟件的功能，通過項目化教學中預設的數學問題由手工解析到數學軟件求解的輔助對照，以實時互動的方式，在數學課堂上實現與數學內容的協同以及師生或學生之間的教學協作，并通過附加MathQ、SciencePlay、ScienceIE等軟件將數學教學活動從課上延展至課下，并為下次課留置待以解決的數學問題伏筆，從而有機形成數學教學時空的無隙閉環。

三、教學設計中的教學資源與教學要素

數學課程項目化教學模式牽涉了與傳統“黑板+粉筆”式、PPT輔助教學式以及視頻錄像式等顯著不同的教學資源配置，包括師資的執教水平、教學場地（機房）條件、班級人數標準、助教配備數量、教學管理方式、可操作的考核手段，甚至在思維層面涉及管理者對項目化教學的認識等軟資源。僅微觀上就數學課程項目化教學模式而言，整個實施過程需要教學團隊的集體參與而非教師個體的單打獨斗，其教學資源配置過程可能沖突于管理者的思維、僵化的教學管理制度及陳舊的課程標準，故需要基于創新角度來理順認識，反之，往往會因認識缺位產生一定阻礙力量。

與此同時，師生于項目化教學過程中的互動與探究，是以犧牲較多的教學資源成本為代價的，如具備至少班級規模的網絡電腦場地條件等，那種超大合班批發式和“黑板+粉筆”式乃至PPT教學幻燈片式的低成本教學，均無法與項目化教學所需資源相較短長。另外，實施項目化教學的前置條件是需要懂數學且會用軟件的“雙師型”教師，雖然項目化教學過程會衍生學生自主學習數學的能力，但“教于學之前”并未完全取代，知識技能結構單一的教師很難適應項目化教學的需求，即使配備助教試圖彌補使用數學軟件的短板，也將會于項目化教學課程上遭遇實時互動的困難。

實際上，數學課程項目化教學是教師將數學軟件和數學教學內容相互串并而形成互動探究的學習條件和氛圍，其中的關鍵在于挖掘教學要素，即將整個數學教學內容分解成能在教學單元內附載的項目負荷。以高等數學極坐標（ρ，θ）教學內容為例，全部的理論教學內容包括極坐標概念解釋、極坐標與直角坐標互換、平移變換、直線的極坐標方程、橢圓的極坐標方程、雙曲線的極坐標方程、拋物線的極坐標方程、圓錐曲線的極坐標方程八個部分，如按傳統方式教學加手工解析數學題目練習，則至少在6～8個學時左右。

考慮到數學軟件的有效介入，對等量教學內容分布于項目化教學中，可只預估4個學時單元，前5部分則預估2個學時單元，教學設計可依“教師講、學生講、置疑設問、軟件使用、結果討論、中立（含靜止）、再置疑（待課后）”七個互動分類階段相混合展開，并組合選取數學軟件為“MATLAB+MathQ+Science IE+SciencePlay”，每部分均對應選取MATLAB軟件的不同模塊，以此將數學軟件與數學理論相串并。其中數學理論教學和數學軟件實踐的占比可控為約4：6，前者占比大的是“學生講、置疑設問”兩個階段，后者占比大的是“軟件使用、結果討論”兩個階段，而“教師講”階段的占比通過在項目化教學過程中融合數學內容和數學軟件進行壓縮，為師生互動有意創造預留的時間。

為了說明教學設計中重組教學資源和確定教學要素的過程，筆者將前述極坐標（ρ，θ）部分的數學內容與數學軟件相串并。教學設計的基本思路是僅以直角坐標轉為極坐標公式x=ρcosθ和ρsinθ、極坐標轉為直角坐標公式ρ2=x2+y2和tanθ=y/x（ρ>0，0≤θ≤2π）、平移變換以及典型數學題目的手工解析為主，而以過點ρ（x0，y0）直線的極坐標方程x=x0+rcosθ和y=y0+rsinθ、橢圓的極坐標方程x=acosφ和b=sinφ（a>b>0）（二部分內容的軟件實踐為輔，試圖由學生動手來發現蘊含的數學規律后，再回到教師主導的公式解析上來。

教學實施則是以MATLAB軟件的不同模塊為負荷進行，對課堂上以抽象思維講授的極坐標內容，再以形象思維過渡到一維曲線及二維曲面上去，其教學元素集中在軟件提供的8個數學函數的應用牽引上。教師可按照項目化教學時序，經由軟件實踐達成師生的實時互動，具體可在連續2個學時的項目化教學單元的后半部分，先由randn函數產生高斯分布隨機數，用rose函數以數據大小和數據量分別作為角度和距離的樣本點進行第一次繪圖；次之用linspace函數產生等間距數組經余弦疊加指數函數exp，以stem函數進行第二次繪圖；再選取數據點為復數，取正弦和余弦函數按 0～2區間樣本點，用feather函數對復數矩陣元素相角和幅值進行第三次繪圖；繼而固定起點為圓點并用compass函數對自原點出發由實部和虛部組成的向量進行第四次繪圖（圖2）。

通過上述層層推進式的互動，師生共同完成了極坐標前5部分教學內容在基本XY平面及XYZ空間內的一維曲線及二維曲面的軟件串并，由MATLAB產生的模塊程序量卻很小。例如，對應于圖2（b）所示的模塊程序只有下列一段：

a=linspace（0，2*pi，40）；

z=cos（a）+i*sin（a）；

compass（z）；

顯然，經分解的、長度適宜、功能明確的軟件程序模塊介入項目化學習過程，學生增加不了太大的額外學習負擔，更主要的是形象思維與抽象思維之間的如此交替，實時互動于螺旋式學習過程，使之在“為什么這樣？”、“這樣有什么用？”、“怎么才能這樣？”的輪詢中，激發學生的學習興趣。圖2給出的是前述極坐標四次繪圖中的首尾二次，從中可以想見，假設數學軟件不介入項目化教學以對極坐標的轉換繪圖2（a）以及實部與虛部組成向量的繪圖2（b），那么學生就很難從數學教師抽象講授中獲得極坐標生動具體的空間形象。

在此建立形象思維之后，教師可接續此教學節點，按約4：6的占比，再次轉向極坐標（ρ，θ），并記錄于小項目實驗報告中，而后三個部分的教學內容可留置課后。

除前述實施過程之外，在數學課程項目化教學的末端，教學要素主要體現為教師對學生完成情況的小項目作品進行實時評價，或基于網絡提交的作業驗收，以及課上向課下的小項目延展，包括為下次教學內容留置的設問、課后習題手工解析、所附加的數學軟件實踐以及追溯本次課程發生于“中立”階段的問題。一般而言，處于“中立”階段的表現是教師主導的數學教學活動發生了暫時停頓現象，與之相伴的往往是次生的“靜止”階段，即學生不理解教師所講數學內容，原本期望的教學互動和探究無奈地變成了“互而不動”和“探而不究”，表征為教者洋洋灑灑，學者昏昏欲睡。因此，教師需要思考教學設計本身的修正和項目負荷大小的調整，“中立”和“靜止”階段的用時較長，意味著師生之間已然難以互動，說明項目負荷過大，需要減少數學軟件模塊的介入，以防止分散學生學習精力；反之，說明項目負荷過小，需要加大介入的數學軟件模塊，吸引學生的注意力于數學應用之上，以此實時調動和保持學習興趣。

值得注意的是，項目化教學的“再置疑”階段是相鄰時序數學內容的承上啟下，也是項目化教學基于網絡于課后的自然延展，并非是項目化教學的終點。由于網絡條件下數學軟件的屬性功能，確保了教師主導的項目化教學永遠處于在線狀態，有助于幫助不同層次和學習水平的學生擺脫自主學習過程中遇阻的現實狀態，學生可以基于網絡興趣盎然地運用MathQ、Science IE、SciencePlay等數學軟件，隨時與教師或同學保持在線聯系與離線請求，還可同時利用Science IE和SciencePlay軟件于網絡上搜索包含各類公式在內的數學內容，繼續完成課堂現場未及完成的小項目，以及預習新的數學內容以先期形成形象思維，為下次項目化教學創造學習基礎，相當于增加了數學習題課和教師答疑的時間總量，也在一定程度上解決了數學教師受課程學時所限而難以發力的現實問題。

另一方面，師生借助MathQ軟件進行的視頻和音頻在線討論、在線遠程白板等，幾乎是將教師在傳統數學教學中慣用的黑板遷移到了實時網絡之上。更令學生興奮的是，進入到“再置疑”階段，師生之間已知失去了已知者和未知者的簡單界線，諸如求極限、求導數、求積分、求解特征向量、求解大型方程組，求解同構變換周期等數學題目的解析，均可由MATLAB一類的數學軟件計算出結果和驗證正誤。它的直接成果就是數學教師演變成互動過程的引導者，而以教師為主體的教學協同過渡為以學生為主體的學習協同，增益性提升了學習成效，潛移默化地影響互動探究自主式學習習慣。

筆者曾對“普+職”班級的高等數學課程進行過只分層不分班的彈性分層教學改革，并以考核加分的形式激勵學生互動式幫帶，結果表明了學生的學習興趣和學習成效優于不予分層的班級；后期對所承擔的高等數學和應用數學課程進行了項目化教學改革嘗試，數學軟件介入以MATLAB為主，課下互動則選取了MathQ軟件，將課程教學內容依次各分解為2學時的教學單元，相應選取了MATLAB軟件模塊，而數學小項目則定義了數學實驗報告。結果表明：項目化教學之后的師生互動的占時和占比變化顯著，其中課上“學生講、學生練”及“結果討論”的占比分別達到31.92%、33.43%、30.16%，較之項目化之前相應的10.12%、16.33%、18.25%有明顯提升，更為可喜的是學生學習數學興趣的顯著改變，以及平均成績的穩步提高，印證了項目化模式的有效性。不足之處是項目化教學所需資源較多，學校和教師均需付出較之以往更高的教學成本，對數學教師個體的心理承受能力也是一個考驗。

四、結束語

網絡技術和數學軟件的發展為突破傳統的啟發式數學教學的瓶頸，以便由傳統的講授和傳遞轉向現代的互動與探究，促進教學設計從僵化的靜態結構轉向創新的動態結構，提供了可落地操作的有限可能，而數學課程軟件項目化教學改變了教學操作末端形態，教師可調節項目負荷大小以彈性方式匹配不同層次學生學習數學的需求， 是互動和探究學習數學過程中最佳的教學協作過程，它可以強烈激發學生學習數學的興趣，使教學效果發生根本性改變，有望達成數學課程教學質量的真正提升，不失為一個數學教學改革的可選路徑。

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