范德蒙德行列式的應用

陳瑩

【摘要】用增補法（升階法） 說明了范德蒙（Vandermonde） 行列式的一個性質，并使其能解決一類行列式的計算問題。

【關鍵詞】范德蒙德行列式 行列式 行列式計算 推廣

引言

范德蒙德行列式的特點是行列式的每一列都是某個數的不同方幕， 且由上而下方幕次數由0遞增至n-1。利用范德蒙德行列式計算行列式， 應當先根據范德蒙德行列式的上述特點， 然后利用其結果計算。利用范德蒙德行列式的結論計算并不復雜，難的是如何將給定的行列式化成范式的標準形式。所給行列式各列（或各行） 都是某元素的不同次冪，但其冪次數的排列與范德蒙德行列式不完全相同，需利用行列式性質（如提取公因式，調換各行（或各列） 的次序，拆項等）

1主要結果

2綜合應用

由于行列式是方形的， 設 ， 則指數集合 ， 中必存 t在位空缺數字， 設它們是 。于是行列式中將缺少指數為 ， 的各行， 可簡寫為

先研究只缺1行的情況， 即

作一新行列式‘ ” ， 將指數為i的那行補齊， 并補充以y為變量1的列， 即

易知“ 為一范德蒙德行列式， 故 將‘ 行列式與它的展開式即上式對比， 得

以下研究缺行的情況

則行列式與 之乘積中 的系數為行列式

3范德蒙德行列式例題

解：本項中行列式的排列規律與范德蒙德行列式的排

列規律正好相反，為使Dn + 1中各列元素的方冪次數自上而

下遞升排列，將第n + 1 行依次與上行交換直至第1 行，第n

行依次與上行交換直至第2 行……第2 行依次與上行交換

直至第n 行，于是共經過

次行的交換得到n + 1 階范德蒙德行列式：

若Dn 的第i 行（列） 由兩個分行（列） 所組成，其中任意

相鄰兩行（列） 均含相同分行（列） ；且Dn 中含有由n 個分行

（列） 組成的范德蒙德行列式，那么將Dn 的第i 行（列） 乘以- 1 加到第（i + 1） 行（列） ，消除一些分行（列） ，即可化成范

德蒙德行列式：

總結

范德蒙德行列式在解決數學問題中有十分重要的作用，本文主要介紹了有關范德蒙德行列式的結論，和簡單的范德蒙德行列式的計算。范德蒙德行列式是一種特殊形的行列式，在計算方面有很強的技巧性。所以在行列式的計算中應用范德蒙德行列式，簡便計算。范德蒙德行列式在其他定理推理中也有重要作用。范德蒙德行列式應用其實很廣泛。本文只是一小部分。

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