高中數學“數列與差分”專題教學研究

張麗

摘 要：高中階段的數列、差分專題教學，對學生日后的生活非常有幫助，這一專題教學，可有效提高學生自身的綜合素質，對于滿足學生多元化的需求，意義重大。本文將對高中數學“數列與差分”進行闡述，并在此基礎上就如何進行專題教學，談一下自己的觀點和認識，以供參考。

關鍵詞：高中數學；數列；差分；專題教學；研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2015）04-068-01

高中階段的數學教學過程中，尤其是“數列與差分”專題教學，可幫助學生有效解決現實生活中的一些問題，實用價值非常的大。

1. 數列與差分關系分析

第一，數列是描述世界客觀事物的數學模型。數列是定義在自然數集上的特殊函數，對客觀存在的各種離散變量進行描述。實踐中可以看到，客觀存在的很多變量本身都表現出一定的離散性，比如細胞分裂、股市等，均具有函數關系的離散性特點。同時，還存在著很多連續函數關系，無法用解析式對其進行表示，比如河流的水位變化等，只能通過測得相應數值來得到數列。在不影響研究結果的情況下，為了更加方便分析研究，通常將對連續函數的研究有效地轉化成對數列的研究。

第二，差分是對數列變化進行描述的一種工具。比如，△an=an+1.其中，an 代表{an}這一數列中的第n項一階差分，并將“△”稱作差分算子，此時有△（△an）=△2；an=△an+1；其中△an代表{an}這一數列的第n項二階差分。對于二階差分△2an而言，其中的2代表差分兩次運算。{an}這一豎列的二階差分，構成了一個新的數列，即{△2an}。事實上，高中數學數列與差分之間存在著一定的關聯性，具體表現在以下幾個方面：當{an}={2，2，2，2，2}時，一階差分△an為{0，0，0，0}；此時數列的一階差分為各項是零的常數列；再如，當{an}={3n-5}時，即{an}={-2，1，4，7，10，13，16，19}；一階差分△an為常數列 {3，3，3，3，3，3，3}，通項an=3n-5（線性函數）。當{an}這一數列是由線性函數定義的等差數列時，一階差分即為常數列；當{an}= {n2-3n+5}= {3，3，5，9，15，23}時，一階差分為{0，2，4，6，8}，二階差分為{2，2，2，2}，通項an=n2-3n+5（二次函數）。當{an}這一數列由二次函數定義時，二階差分為常數列。若將上述由二次函數、線性函數或者指數函數定義的不同階差分結論作為定理，則這些結論對基于數列的一階和二階差分，對研究數列遵循變化情況、數列通項，意義重大。

2. 高中數學“數列與差分”教學策略

本文以待定系數法求解差分方程為例，對如何進行數列與差分教學深入分析。所謂待定系數法求解差分方程、常微分方程思想，可以對比分析；在非齊次線性差分方程求解過程中，采用待定系數法應用效果也非常的好。從應用實踐來看，采用待定系數法對差分方程進行求解，主要是基于方程自身的特點，設一般模式，然后再根據相關條件，確定解之后將其代入方程之中，從而求得待定系數。比如，當K≠1時，一階非齊次差分方程可表示為xn+1=kxn+b①，此時得到一個特定解，即xn=A；將xn=A代入公式①中，則可得A=kA+b，A=b/（1-k），此時xn=b/（1-k），一階非齊次差分方程通解：xn=knc+ b/（1-k），（其中c代表任意常數）；當k=1時，xn+1=xn+b的一階差分是一個常數，設xn=An特解，然后將其代入原方程之中，此時A（n+1）=An+b，即A=b；xn=bn；方程①的通解：xn=knc+ bn=c+bn（其中，c代表任意常數）。以下可通過具體的例子來說明上述理論分析。

例1：某教室內的座位布設過程中，如果每后一排均比前一排插座數量多出2個，而且已知首排插座數量為30，求以下四個問題的解。

①用yn表示n排插座的數量，試求yn與yn+1的關系；

②試求第九排插座的數量是多少？

③以Sn來表示第n排之前插座的總數，試求Sn與Sn+1的關系？

④若該教室共有20排插座，試問可以同時坐多少個學生？

解：①yn+1=yn+2；其中n=1，2… ②從題目中可知，k=1，b=2，此時yn=2n+c，（其中c代表任意常數）；已知y1=30，則可求出c=28，此時的特解方程為yn=2n+28，即y9=46；③Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，此時Sn+1= Sn+30，n=1，2… ④通過③可以得到Sn+1-Sn= 2n+30，即Sn=2n+30，此時可得到數列Sn一階差分表達式二次函數，將這一二次函數設為：Sn=An2+Bn+C，可得Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30；A=1，B=29，結合條件可得y1=30=S1，30=A+B+C， Sn=n2+29n，n=1，2… 由此可得S20=980.

3. 結語

總而言之，數學這門學科的實用性非常的強，將數列與差分教學納入新課改下的高中數學教學過程之中，既是課程改革和教學的需求，又是學科發展的必然，因此應當重視和不斷創新教學模式，只有這樣才能提高教學質量和效率。

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