經歷數學活動發展幾何直觀

彭忠榮

[摘 要] 幾何直觀是《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標》）提出的數學課程核心概念之一，它可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用. 本文以蘇教版九年級數學上冊第二章對稱圖形圓的第4節“圓周角”教學設計為例探討如何培養學生的幾何直觀.

[關鍵詞] 圓周角；圓心角；探究；幾何直觀

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《課標》）提出的數學課程核心概念之一，指出幾何直觀主要是指“利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果. 幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用”. 本文以蘇教版九年級數學上冊第二章對稱圖形圓的第4節“圓周角”教學設計為例就教學內容和內容解析、學情分析及問題診斷；引導學生經歷數學活動，歸納定理；應用定理，拓展延伸等環節進行相關分析、整理，并與更多同行分享研討.

教學內容和內容解析

圓周角這節課是在學習圓、弦、弧、圓心角等概念基礎上，繼而對同弧所對的圓周角與圓心角關系說理、作圖、計算.這節課既是前面知識的繼續，又是研究圓與其他平面幾何圖形的橋梁和紐帶.教材把圓周角這節分兩課時，此文說圓周角第一課時.

教學目標

1. 知識與技能：理解圓周角概念，體會同弧所對的圓周角與圓心角關系的發現、探索、驗證過程.

2. 過程與方法：經歷操作、觀察、猜想、分析、交流、論證等數學活動，體驗圓周角定理探索過程，培養學生邏輯思維和運用幾何語言的能力.

3. 情感與態度：通過數學活動引導學生對圖形觀察、探究、添加輔助線，激發學生好奇心和求知欲，培養運用數學知識解決問題的能力.

教學重點和難點

重點：探索同弧所對的圓周角與圓心角關系.

難點：了解圓周角分類，用化歸思想，合情推理驗證圓周角與圓心角的關系.

學情分析

九年級學生有較強的自我發展意識，對有“挑戰性”的問題比較感興趣，具備一定的邏輯推理能力. 在教學中應建立數學與生活的聯系，創設一系列具有啟發性、挑戰性的問題情境激發學生學習的興趣，引導學生用數學的眼光思考問題、發現規律、驗證猜想.

教學支持條件設計

為幫助學生探索發現它們的關系，在學生動手操作基礎上，再用幾何畫板度量和動畫功能，準確、全面驗證發現的結論.

教學設計

活動一 創設情景、激發興趣

師：（教師投影足球射門圖片）足球訓練場上教練在球門前劃了一個圓圈，進行無人防守射門訓練，如圖1，甲、乙兩名運動員分別在C、D兩地，爭論不休，都說自己所在位置對球門AB張角大.如果你是教練，評一評他們兩個人，誰的位置對球門AB張角大？

設計意圖：聯系生活中足球射門情境，創設有挑戰性的問題情境導入新課，激發學生探索激情和求知欲，把學生注意力盡快集中到課堂.

活動二 經歷數學活動，發展幾何直觀

1. 問題呈現，合作探究

師：復習圓心角的概念.

生：頂點在圓心的角叫圓心角.

師：圖中∠C、∠D與我們前面所學的圓心角有什么區別？∠C、∠D的邊和頂點與圓的位置有什么特點？

設計意圖：從生活實例入手選擇新舊知識切入點，讓學生經歷觀察、分析、抽象出圖形共同屬性，得出圓周角定義.引出課題——圓周角.

師：仿照圓心角定義給圓周角下定義.

生：定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.

特征：①角的頂點在圓上.②角的兩邊都與圓相交.

練習：下列與圓有關的角中，哪些是圓周角？

設計意圖：此處并排呈現正例和反例有利于學生對圓周角概念本質屬性與非本質屬性進行比較. 使學生容易理解概念.

2. 合作探究，歸納定理

師：畫弧AB所對圓心角，再畫弧AB所對圓周角，你能畫多少個同一條弧所對的圓心角和圓周角呢？

生：動手畫圖探究.

師：用幾何動態語言探究圓周角與圓心角的位置關系，從而分為三種位置關系.

師：量一量所畫弧AB所對圓周角、圓心角的度數有何發現？請驗證.

生：有的借助量角器，用度量的方法進行驗證；有的采用折疊重合方法進行驗證.

學生興奮地叫著我發現了：同弧所對圓周角都相等；同弧所對圓周角度數等于它所對圓心角度數的一半.

設計意圖：先引導學生經歷操作、觀察、猜想、分析、驗證等數學活動，探索圓周角性質，感知基本幾何事實，體會兩種數量關系：同弧所對圓周角和圓心角關系；同弧所對圓周角關系.

師：用幾何畫板度量功能量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，發現∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB；接著用計算功能，計算∠ACB和∠AOB的比值，發現∠ACB ∶ ∠AOB=1 ∶ 2.再從以下幾個方面演示，讓學生觀察圓周角的度數是否改變，同弧所對圓周角與圓心角的關系有無變化：①拖動圓周角頂點使其在圓周上運動；②改變圓心角度數；③改變圓半徑大小.

從而驗證猜想：同弧所對圓周角度數等于它所對圓心角度數的一半.

設計意圖：用幾何畫板演示驗證，用幾何動態語言來探究圓周角與圓心角的關系，在某些量變化過程中使學生觀察不變的數量關系，更好地理解圓周角與圓心角的關系.

師：請同學們把發現的結論用文字語言表述一下.

生：他的說法不準確，應該是：在同圓或等圓中，同弧所對圓周角相等且都等于這條弧所對圓心角的一半，丟掉了“在同圓或等圓中”和“這條弧所對的”這兩點.endprint

設計意圖：通過動手操作和幾何直觀相結合，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續.

活動三 用分類討論的方法證明定理

師：為了說明結論正確性，下面探究論證：請同學們在下圖⊙O中畫出圓周角有三種位置關系，即圓心可能在圓周角的一邊上，可能在圓周角的內部，也可能在圓周角的外部.

師：借助計算機動畫演示，觀察驗證學生發現的三種位置關系：

設計意圖：以動態演示方式，幫助學生直觀觀察圓心與圓周角的三種位置關系，為分情況證明圓周角定理奠定基礎.讓學生通過合作、分類討論進行探究，培養學生思維嚴謹性和邏輯性.

師：圓心與圓周角有三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓心在圓周角的外部.

師：在上述三種情況中我們先選擇其中的一種情況證明，如何證明？

生：選擇第一種情況證明，因為圓心在圓周角的一邊上是最簡單的一種情況.因為圓心角在圓周角的一邊上，AC是圓的直徑，由同圓半徑相等得，OC=OB，所以∠C=∠B，根據定理“三角形外角等于和它不相鄰兩個內角的和”可得∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半.

師：當圓心在圓周角內部時，圓周角∠ACB的邊AC、BC在直徑CD的兩側，因此為尋找證明思路帶來了方便，沿CD對折⊙O，展開后你有什么發現？

師：很好！請同學們寫出這種情況的證明過程，再完成最后一種情況的證明.

設計意圖：通過觀察度量、實驗操作、圖形變換、推理論證探索性質，讓學生學會分析問題和解決問題.另外從數學語言的三種形態“文字語言、圖形語言、符號語言”進行描述，強化對數學知識學習與理解，加強數學語言的運用.

活動四 定理應用

例1 如圖16，點A、B、C在⊙O上，點D在⊙O外，CD、BD分別交⊙O于點E、F，比較∠BAC與∠BDC的大小，并說明理由.

例題變式：移動點D到⊙O內，其他條件不變，此時∠BAC與∠BDC的大小又如何？并說明理由.

例2 解決導入新課問題，發展能力.

拓展延伸：比較∠D、∠E、∠F的大小關系？

活動五 鞏固練習

1. 如圖19，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？

2. 如圖20，點A、B、C、D在圓O上，若∠ACB=60°，則∠ADB=______，∠AOB=______.

3. 如圖21，等邊三角形ABC的頂點都在⊙O上，點D是⊙O上一點，則∠BDC=______.

學生獨立思考解決問題，小組討論，教師及時糾正反饋.

設計意圖：考查學生對定理的理解和應用，使學生從復雜圖形中分解出基本圖形的能力.

活動六 課堂小結，鞏固反思

師：請你談談本節課有哪些收獲？

生：這節課學習圓周角的定義和圓周角的定理，知道圓周角有兩個要點：同弧對圓周角相等關系，圓心角和圓周角是二倍的關系.

生：通過學習學到要全面考慮問題，學會從特殊到一般解決問題的方法，滲透了分類和轉化的數學思想.

師：同學們都反思總結得很好，希望在今后學習能一如既往地養成勤反思、多總結的學習習慣，使我們學習成績更上一層樓.

設計意圖：通過小結梳理本節課的知識，幫助學生鞏固所學知識.

課后感悟

1. 教學展示知識背景—知識形成—揭示聯系的過程

本節課以經歷數學活動、發展幾何直觀為理念依據，組織教學活動.活動1是從足球射門問題情境引入，讓學生從經歷生活數學出發，提出問題導入新課.活動2將經歷數學活動、發展幾何直觀過程分為兩個層次，一是通過幾何直觀尋找位置關系；二是借助幾何直觀探索數量關系，初步感知同弧所對圓周角等于它所對圓心角一半.活動3通過師生互動，學生動手證明活動2的發現，利用已有知識經驗和數學思想方法進行演繹推理. 活動4通過定理應用，讓學生進行合理、簡潔的邏輯推理，使學生進一步體會數學思維的嚴謹性，將演繹推理滲透在思維訓練中.同時例2使情境創設問題得以解決，達到了首尾呼應，再將問題進一步拓展延伸.活動5通過師生交流和學生代表的理解，強化訓練鞏固定理.在解決問題的過程中發展學生邏輯推理能力.活動6讓學生從多方面對本節課進行小結，使學生對本節課的知識形成體系.本節課各環節層層深入、環環相扣，過渡自然，構成一個完整的知識生成體系.教學活動的過程體現師生積極參與、交往互動、共同發展過程；激發學生學習興趣，調動學習積極性，引發了學生數學思考，鼓勵了學生創造性思維；注重學生良好的數學學習習慣和數學學習方法的培養.

2. 教學方法尊重學生個體認知差異，因材施教，發展學生的幾何直觀

本節課以《課標》核心概念為主線，在教學方法上尊重學生個體認知差異，通過幾何直觀培養學生的數學推理能力.

在探究同弧所對的圓周角、圓心角的數量和位置關系時，先設置問題情景——足球射門，引入圓周角，本情境與學生現有生活經驗相符，學生對情境理解和圓周角概念導入順其自然.學生先獨立思考尋找解決問題的方法，然后組內討論，達成共識，使不同學生都有發表自己見解的機會，讓學生經歷觀察、猜想、操作、證明同弧所對圓周角圓心角的數量和位置關系.

3. 核心概念學習與定理證明上的特色

本節內容的核心概念是圓周角定義和圓周角定理. 在教學方式上，讓學生先自行探究，然后小組討論，這有利于不同層次學生的提高，也體現了團隊合作的精神；以實際情境為載體，運用《幾何畫板》的動畫、度量與演示功能，以問題串的形式設計教學環節，巧妙地引導學生歸納、總結，抽象出概念，通過正、反兩方面的練習進行概念辨析，強化對概念內涵的理解. 通過設計問題不斷地引導學生進行思考，在定理的探究階段，花費時間多一些是值得的，因為讓學生經歷自己探討、發現結論的過程，能夠逐步提高學生分析、解決問題的能力.

4. 數學思想和方法滲透

教學中先要求學生在已知圓中盡可能多地畫出同弧所對的圓周角，并引導學生初步觀察圓心角與圓周角的位置關系，接著利用《幾何畫板》的動畫演示功能，設計了圓周角的頂點在圓周上運動的動畫，直觀地展示了圓心與圓周角的三種位置關系，為圓周角定理的證明創設了條件，較好地體現了用分類討論和轉化的數學思想發展學生的幾何直觀能力.

總之，本課的教學設計在改革教法、優化教學方法方面做了一些有益的嘗試，較為成功.endprint