基于經驗積累 凸顯數學思考

高巍

【關鍵詞】活動經驗 分數的意義 教學實踐 教學思考

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）07A-

0038-04

數學的基本活動經驗是指在學生參與數學學習的活動中積累起來的。相對于數學基礎知識和叢本技能等顯性學習而言，基本活動經驗的積累具有隱性的特征。數學基本活動經驗的積累，有利于學生理解知識的來龍去脈，掌握數學思維方法，體驗并領會數學思想，從而形成比較完整的數學認知結構，有效提升數學素養，對后續學習和發展產生積極影響。本文中筆者將結合《分數的意義》的教學實踐與思考，具體闡述讓學生積累數學基本活動經驗的操作方法。

一、聚焦學生，發現問題

分數在拉丁文里來源于FRANGERE，是打破、斷裂的意思，曾被人叫做是“破碎數”。在歐洲，分數被認為是最難的數學內容。現在，德國人形容某個人陷入困境時，常引用一句古老的諺語，說他“掉進分數里了”。教學數學多年的教師一定也會有這樣的感覺，學習分數對于孩子們來說的確很困難，特別是后面學到分數、百分數應用題時，更是錯誤連連。對于分數，我們有著太多的疑問——

問題一：分數是一個數嗎？它來自哪里？人類歷史上最早產生的數是自然數，但度量或均分不能用整數表示時，便產生了分數。分數首先是一個能計量具體大小的數。但我們不難發現：孩子們在解應用題時，如果最后答案是分數的話，他們常常習慣于將分數轉化為小數來表示。筆者曾讓學生做過這樣一組題目：3個的是（ ）個；6個的是（ ）個；1個的是（ ）個。最后一題孩子往往不會用來表示，而是不厭其煩地算出0.333333……為什么孩子會覺得分數不是一個“數”呢？生活中不常用，或者說學生的學習缺乏情景的支撐和生活的經驗是主要原因之一，還有其他的原因么？

問題二：分數的意義是什么？它有哪些內涵呢？把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數叫做分數。各種版本的教材，都對分數的意義做了如此明確的闡述，理解和記憶這樣的一個概念本身對于學生沒有任何問題。但是學生真正理解和掌握了分數的意義是什么了嗎？這里所說的“表示這樣一份或幾份的數”到底是一個具體的量，還是部分與總體的一種關系呢？

問題三：單位“1”是什么？如何確定單位“1”？孩子們在三年級初步認識分數時，單位“1”表示的都是一個物體，而在五年級再次認識分數時，發現單位“1”除了可以表示一個物體，還可以表示一個整體（一些物體）。為什么同樣大小或者同樣長度的物體可以是，還可以是？分數應用題是學生學習的一個難點，而正確找出單位“1”是解題的關鍵。我們應該怎樣引導學生形成尋找單位“1”的意識，從而讓學生將分數與單位“1”緊緊地聯系起來呢？是否在學生理解分數的意義時就應該落實呢？

二、聚焦問題，探究原因

（一）學習材料的合理選擇與適時抽象

人教版教材中，兩次的認識分數都呈現了圓片、線段、香蕉等直觀的教學材料。這些直觀圖示的呈現，為教師與學生提供了豐富的學習資源，激發了孩子們的形象思維、喚起了孩子們的生活體驗，為進一步發展孩子們的抽象思維奠定了基礎。但是，教師的教、學生的學往往也僅停留在這一直觀層面上，具體表現為學生對分數意義的表述需要借助于具體物的表述，而無法抽象到數的表述。究其原因，教師過于注重直觀教學，而忽視了抽象教學。由于這種抽象沒有建立在直觀基礎上，因而學生無法建構數的概念。

另外，教師在教學中提供給學生的學習資源和學生用來操作的素材往往是指向于幫助學生理解分數的“部分與整體”這一關系的情景與材料，即引導學生參與分的過程，從而體會分子與分母的“部總”關系，往往忽視了分數作為一個數的意義來理解。孩子們缺少這方面的活動經驗與直觀感受，當然無法建立分數意義的完整概念。

（二）分數來源的處理方式與適時呈現

在教學分數時，分數產生的來源往往被教師忽略。而縱觀各種版本教材，蘇教版、北師大版教材中都沒有分數產生這一內容，只有人教版教材在分數的再認識時加入了分數產生的素材（分數產生的真正根源在于測量）。那么，分數的產生是否可有可無呢？筆者認為，分數的產生是學生學習分數意義的前提，忽視了分數產生的來源，學生就缺少了學習分數的興趣與動力，也不利于學生深入地理解分數，最終導致學生缺失了對于分數本是一個數的初步感知。

（三）單位“1”的概念內涵與來歷體驗

分數的意義中的單位“1”是個抽象難懂的概念，也是引導學生對分數意義理解的關鍵所在。在現有的教學中，教師們只關注到什么是單位“1”，并將其作為這節課的教學重、難點不厭其煩地舉例示范，反復強調什么是“一個整體”，力求在操作中讓學生掌握單位“1”的概念。但是，這樣就可以了嗎？正如前面提到的“不讓孩子了解分數的產生，那么孩子對于分數意義的理解一定也是片面且淺顯的”，教師們總是幫助學生設定好單位“1”，只需要學生考慮平均分成幾份取幾份就可以了，而恰恰忽略了對學生設定單位“1”能力的培養，即忽略了單位“1”的來歷。能否順利地找出單位“1”是學生后續學習分數應用題的關鍵，教師對單位“1”來歷的簡單處理或置之不理為孩子的后續學習埋下了隱患。

三、關注過程，研究策略

（一）找準學習起點，為深入探究尋找原有經驗

數學課程標準指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。“以生為本”是新課程改革的核心理念。因此，教學必須建立在學生已有的經驗基礎上，找準孩子們的學習起點和已有的活動經驗。

學生通過三年級分數的初步認識，已經具有了以下學習基礎：一是已經初步了解分數產生的根源——一個物體的一部分用整數表示不了時用分數表示。其實分數產生的真正根源在于測量。在本節課中筆者設計了“了解分數的產生及發展”的教學環節。通過視頻講解，孩子們再次感受分數產生的真正原因及發展演變過程，從而完善對分數意義的理解——分數首先是一個與整數、小數一樣的數；它還可以表示部分與整體間的關系。二是已經歷了把一個物體或圖形平均分后產生分數的過程。在學生已有的認知中，分數表示的是“一個物體或整體”的幾分之幾，所以單位“1”在學生初步認識分數時是隱性的。面對一個分數，學生更關注“平均分成幾份”而很少關注這個分數表示“誰的幾分之幾”。對此，筆者讓孩子們結合“”說說已經知道的有關分數的知識，目的是激活學生的原有認知，從而了解學生對于分數的理解情況。對學生進行了初步了解之后，筆者設計了“在9個圓中任意選取幾個圓表示分數”的教學環節，意在引導學生利用原有知識經驗解決問題，進而關注“把誰看作一個整體”，突出本節課的教學重點——確定單位“1”。只有基于學生原有知識基礎與活動經驗上的教學才是真正為學生所需要的，才會體現出探究的價值。

（二）巧用學習材料，為意義理解提供探究經驗

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。”要想讓孩子產生探究的欲望，在課堂上提供給孩子研究的學習材料尤為重要。

學生對于分數的學習并不是一張白紙，借助學生已有的學習經驗，我們完全可以引導孩子們自主探究分數的意義。例如，給出9個圓，讓學生按要求圈一圈，涂一涂。在學生圈出若干個圓后，再讓學生將所圈圓的涂上顏色。活動結果表明：不同層次的學生對于分數意義的理解深度也不盡相同。有的孩子只能在一個圓中找到分數，有的孩子能在4的倍數個圓中找到，有的孩子真正理解了分數平均分的本質，只要能分成相等的四份，就一定能找到1份作為整體的，從而找出6個圓、9個圓的。這一素材對于研究分數的意義十分重要。通過對這一有選擇的、開放性的學習材料的使用，課堂上生成了許多有意義的教學素材；通過對比，學生充分體會到整體對應的量（單位“1”）變化了，部分對應的量也變了。把誰看作單位“1”是確定分數的關鍵，從而加深了學生對于單位“1”的理解。隨著圓圈數量的不斷增加，“一個整體”的概念內涵越發寬泛了。在這一操作活動中，學生通過探究與合作，感受到了數學與現實生活的密切聯系，切實提高了自主探究的學習能力，為理解分數的意義這一抽象概念提供了直觀模型，積累了操作探究經驗。

（三）凸顯數學思考，為后續學習積累思維經驗

數學教學與思維的關系十分密切，我們在教會學生如何學習的同時還要培養他們的思維能力，久而久之，才能讓他們形成比數學思維更高一級的數學思想，從而領悟學習數學的真諦。因此，在教學中，我們要時時刻刻關注數學思維的滲透。正如前面提到的學生學習分數時存在的普遍困惑：同樣的表示的可以是不同的量，而比較與的大小時，又必須默認為單位“1”是相同的，拋去“分率”的意義，而用分數“量”的意義去比較。這樣反復的轉換無疑給孩子的分數學習帶來了困擾。筆者認為，為了更好地凸顯分數的測量概念，理解在任意兩個分數中間是存在無限多個分數的，這就需要學生具備在數軸上標定分數的能力。本節課中筆者設計了“拓展提升，在數軸上完善分數意義的理解”環節，通過在數軸上找尋對應的分數，同樣一個點嘗試用不同的分數表示這樣的教學環節，滲透對應和極限的數學思想，從而拓展學生視野，也為后續發展打下基礎。最后，筆者不斷地延長數軸上數字“1”后面的數，讓學生充分感受無限的思想。數形結合，在直觀演繹的基礎上發展學生的抽象能力、觀察能力，以及培養良好的數感，能為后續學習積累豐富的思維經驗。

四、聚焦課堂，實踐跟進

（一）復習引入，在一個圖形中表示分數

結合“”這個分數，請你說一說，對于分數你已經知道了哪些知識。

（課件出示）

這些圖，哪些能用“”表示，哪些不能？請說明理由。

設計意圖：開門見山，直接以學生學過的分數導入新課，探尋學生的學習起點，復習舊知，為新課的學習做好鋪墊。

（二）教學新知，在一些圖形中表示分數

1.在操作中初步體驗“單位1”的含義

（1）呈現學習任務

①圈出若干個圓。

②將你所圈的若干圓涂上顏色。

（2）獨立實踐研究

（學生活動：每名學生的桌上有四張學習紙，告之學生一張紙上可畫一種方法，若畫完不夠的可繼續向教師要學習紙；時間為3分鐘）

設計意圖：在三年級時學生已經學習過分數，有了初步的認識。面對一個分數時，學生更關注“平均分成幾份”而很少關注這個分數表示“誰的幾分之幾”，即單位“1”的來歷。因此，筆者設計了以上環節，不僅僅是讓孩子充分感受單位“1”的變化，而且引導學生理解“在表示分數之前必須考慮把幾個圓看作一個整體”，進而關注“把誰看作一個整體”，也就是確定好單位“1”。

2.在對比中深入感悟單位“1”的含義

（1）選取典型，促進學生對概念本質的理解

（出示學生作品）

（引導學生說清楚：把4個圓平均分成4份，表示其中的1份，就是這4個圓的）

師（追問）：涂色部分是這4個圓的（），那空白部分是這4個圓的（），+=1，這個“1”指的是1個圓嗎？

生：不是，是4個圓了，把4個圓看成了一個整體。

（2）類比材料，加深學生對概念本質的理解

圈8個，涂上兩個圓的顏色

師：比較觀察，1號圖和2號圖有什么不同點？有什么相同點？

師（總結）：雖然他們研究的整體不一樣，1份所代表的結果也不一樣，但是他們都平均分成了4份。

（3）變式材料，鞏固學生對概念本質的理解

生1：把2個圓作為一個整體，平均分成4份，表示其中的一份，就是這2個圓的。

生2：把6個圓平均分成4份，表示其中的一份，就是這6個圓的。

師：這幅圖一份是可以清晰地看出來了，那么其他的三份在哪里？誰能將它分出來讓大家看明白。（生演示將6個圓平均分成4份）

出示圈5個，表示出其中

設計意圖：對于讓學生尋找的“”，筆者分三步進行反饋：從圓的數量等于均分數（原有認知）——圓的數量大于均分數（擴展單位“1”的概念）——圓的數量不是均分數的倍數（對于單位“1”本質意義的理解），幫助學生逐步建立“一個整體”的概念，使學生對于單位“1”數學模型的抽象提煉和數學定義的歸納概括更加順理成章。

3.概括提升，在對比中加深對單位“1”的理解

（1）概括延伸，強化學生對概念的應用

師：1號圖的表示的是（1）個圓，2號圖的表示的是（2）個圓，怎么回事呢？

生：整體不一樣，1份是1個圓的整體是4個圓，1份是2個圓的整體是8個圓。

師（追問）：如果表示的是3個圓，那么這個整體可能是（ ）。若表示的是7個圓，那么整體又可能是（ ）。

師：如此思考，那你們覺得這個整體還可能是？

生：32、36、64、240、400……

師：是啊！這個整體可以表示很多很多的數。數學上把這樣的整體叫做單位“1”。

師：數學上這些不同數量的圓可以表示單位“1”，生活當中還可以把什么表示單位“1”呢？

設計意圖：作為數學學習的促進者，教師應針對學生的回答適時追問：“同樣是，為什么前面是1個圓，而這里卻是2個圓呢？”“也可以是3個圓，你覺得行嗎？”這些適時追問，不斷將學生的數學思維引向深入，突出教學的重點：單位“1”的不同導致分數所表示的量的不同，為孩子們后續學習分數應用題做好鋪墊。

（2）總結比較，整理回顧“單位1”的研究過程

出示三年級時表示的“”和本節課表示的“”。

師：這些是三年級時學過的“”的表示方法，而這些是五年級學的“”的表示方法，有什么不一樣？

（三）鞏固練習，在練習中突破“分數單位的意義”

1.基礎練習，理解分數單位的意義

出示：

獨立完成——集體口答匯報

比較三幅圖的異同。

小結：三個分數的分數大小是一樣的（灰色部分），但是他們的分數單位是不一樣的（課件中用藍色強調）。

2.綜合練習，深化分數單位的應用

出示：

想一想：涂色部分可以用哪個分數來表示？

師：同樣一幅圖，怎么可以表示出這么多的分數？他們不同點在哪里？

（四）拓展提升，在數軸上完善“分數意義”的理解

1.借助數軸，表示分數

師：這是一條數軸，我們把“0”到“1”看作單位“1”，那“”在哪？“”“”呢？

2.觀察分數，發現規律

在這條數軸上可以表示多少個分數？你發現了什么？

如果把“0”到“”這一段看作“A”段，“”到“1”這段看作“B”段，那么黑板上的分數分別在哪一段？為什么？

師：如果這個點在“1～2”之間，那應該用什么分數表示呢？看來有關分數的知識還有很多，有待于我們進一步學習和探索。

設計意圖：通過練習將分數回歸到數軸上來，將分數的認識“去情境化”，引領學生把分數看成真正的“數”來認識，為后續學習積累豐厚的經驗。學生通過對數軸上分數的觀察發現，為“分數大小比較”“分數的基本性質”學習積累了經驗，同時發展了數感，滲透了極限等數學思想方法，為今后的學習埋下伏筆。

（五）追根溯源——感受分數產生與發展的淵源

視頻播放分數產生的來源及分數表示的演變過程（內容為書第60頁、62頁“你知道嗎？”）。

設計意圖：在三年級下冊學習“分數的初步認識”時，孩子們對分數的產生有了一定的了解，這里通過視頻這種喜聞樂見的方式再來回憶、感受分數產生的來源，可以讓學生更全面地了解分數的意義：“分數”首先是一個具體的數，分數還可以表示部分與整體的關系，分數還是兩個數的商或者兩個數的比……從而完善孩子們的知識結構。另外，通過對分數的產生、演變過程的了解，學生也豐富了對分數歷史的了解，擴大了知識面。

（責編 黎雪娟）