《Z+Z超級畫板》下初中數學有意義學習的探索

牛應林

[摘 要] 隨著信息技術的發展，數學工具逐漸進入課堂. 本文著重闡述了張景中院士所帶團隊開發的《Z+Z超級畫板》，講述了其功能以及特點，如能讓數學變得形象且容易理解；讓數學變得有趣且具有吸引力.

[關鍵詞] Z+Z超級畫板；形象；有意義

當社會的許多領域都在享受信息技術的發展所帶來的進步成果時，數學教育自然也對信息技術的進步寄予厚望：技術能否使抽象的數學變得更直觀、更容易理解？技術能否讓數學變得更有趣、更有吸引力？技術能否有助于初中生有意義地學習數學？

在數學軟件行業中，人們普遍的做法是：為處理平面幾何問題而開發了動態幾何軟件（DGS），為處理代數運算問題而開發了計算機代數系統（CAS），為處理模擬隨機過程問題而開發了隨機過程模擬平臺（PSP），為處理學生編程問題而開發了兒童編程語言（KPE），為處理課件制作問題而開發了課件整合工具（CDS）. 張景中院士帶領的團隊所開發的《Z+Z超級畫板》為代表的動態幾何教學軟件得到廣泛應用. 《Z+Z超級畫板》能夠處理幾何、代數、三角、概率、統計、算法、積分等數學知識中絕大多數模塊的內容，它適用于小學、初中、高中和大學階段的數學教育. 《Z+Z超級畫板》研發團隊還提供了整套的課程資源庫，具有以下特點：幾乎涵蓋初中階段數學課程的每一個知識內容，能夠形象展示數學知識發生、發展的過程，動態性高；可以重復演示，任意設定展示的步驟和過程，交互性強；字體、顏色、文本內容、方程表達式等統統可以編輯、修改，實現一件多用；可以增加對象、添加署名、保存設置，進行個性化設計.

具體來說，《Z+Z超級畫板》針對初中數學教學和學習主要具有以下功能.

作圖：通過鼠標或者命令能夠直接作出幾十種常見的幾何圖形. 圖形可以平移、旋轉或放縮.

變換：指定要進行的變換后，選擇被變換的對象執行變換命令，即可得到變換后的圖形. 若變換的條件是動態的或者是參數，可以輕松展示圖形動態變換的過程.

動態測量計算：能夠直接測量點的坐標、直線的方程、圓的面積等，測量的結果還可以進一步參與運算；幾何對象發生變化時，測量和計算的結果會發生相應的改變.

函數方程作圖：輸入表達式即可作出對應的曲線. 方程可以是顯性方程、參數方程、極坐標方程、超越方程等. 方程中能夠帶有參數，參數改變則曲線的性質對應改變.

智能文本公式：在文本框中輸入數學表達式后，即可同步顯示為傳統格式的數學公式. 文本內的變量或公式還能參與數值計算和符號運算，大大提高輸入數學公式的效率.

數值符號運算：能夠方便進行一般浮點數的數值運算，還能對分數、無理數、變量等進行精確的符號運算. 另外，系統內部還提供了進行各種運算的函數.

程序運行環境：支持賦值、判斷、循環等語句結構，能夠自定義函數，與一般高級程序語言中的語法習慣一致，能夠滿足基礎教育階段利用算法解決一般數學問題的需求.

隨機過程模擬：根據系統提供的隨機函數以及屏幕自動刷新的機制，可以直觀模擬翻硬幣、拋豆子、擲骰子、布豐投針等隨機過程，并自動記錄統計數據，計算統計結果.

統計表格生成：統計表格能夠自動記錄某一項或某幾項表達式的測量結果，亦可通過手工輸入數據. 統計表格能方便地變為折線圖、條形圖、扇形圖等.

自動推理證明：系統能夠自動記錄用戶作圖過程中對象之間的幾何關系，然后根據內部的規則（定理）進行推理和計算. 根據推理得到的信息，用戶可以得到或簡或繁的解答過程.

讓數學變得形象且容易理解

《Z+Z超級畫板》能夠讓抽象、枯燥的數學變得更直觀、更形象、更容易理解，通過動手、觀察、猜測、驗證等過程，幫助學生理解變化對象中不變的數學關系，從感性認識上升到理性認識.

例如，通過《Z+Z超級畫板》中的隨機模擬實驗幫助學生深刻理解概率和頻率等概念的數學本質等.

讓數學變得有趣且具有吸引力

利用《Z+Z超級畫板》中繪制的數學對象在變化中能夠保持其不變的性質，使得很多數學問題可以動手操作、探索實驗了，從而讓數學看得到、摸得著，變得更有趣、更具吸引力.

例如，解析幾何中的“梯子下滑問題”：有一個長5米的梯子，其一端靠在墻上、另一端放在地面上，當梯子沿著墻面下滑的過程中：（1）求梯子中點的軌跡方程；（2）求梯子上距離墻角最近的點的軌跡方程；（3）求梯子所掃描區域的邊界的曲線方程……

在傳統學習手段條件下，學生只能通過推理和計算得到一個一個的方程，而有了計算機和《Z+Z超級畫板》之后，就能觀察到這些方程所對應的漂亮的、有吸引力的圖案（圖2）. 這些美麗的、有趣的圖案對學生的吸引力，必將慢慢轉化為數學對學生的吸引力.

讓數學變得開放且具有挑戰性

當學生利用計算機和《Z+Z超級畫板》學習數學經歷一段時間之后，處理問題的方式會更加多樣化，思考問題的方式會更加具有開放性. 原來想到而沒做到的問題，現在開始努力嘗試解決；原來沒有考慮到的問題，現在開始不斷思考.

例如，對于紙上的點來說，利用計算機作出的點能夠運動，而運動的方式又有很多種：隨意運動、沿直線運動、沿圓周運動、沿曲線運動、沿多邊形邊界運動、單方向運動、往返運動、連續運動、跳躍運動，等等. 因此，對于下面這個開放性的問題來說，極具挑戰性.

例如，如圖3，點A為圓O上的動點，點B為圓O′上的動點，點C是線段AB的中點，當點A和點B分別在各自所在圓上運動時，求點C的軌跡.

點A和點B可以以不同的方向、不同的起始位置、不同的速度在各自的圓上運動，在計算機中利用《Z+Z超級畫板》均能動態模擬和直觀展示這些過程，但點C的軌跡是什么形狀的曲線？有哪些性質呢？并不是馬上就能講得清楚.

如果三個點分別在三個不同的圓上運動，它們之間連線上的一點的軌跡可能是什么形狀的曲線呢？如果一個點在圓上運動而另外一個點在一個多邊形上運動，它們之間連線上的一點的軌跡有什么性質呢？因此，《Z+Z超級畫板》能夠幫助學生開拓思維、擴展視野.

讓數學變得系統且具有理論性

與物理實驗、化學實驗不同的是，在計算機中得到一個數學實驗的結果之后還需進一步通過數學上的推理與計算.

例如，滾動的車輪邊沿上一點所經過的軌跡曲線，是一段圓弧嗎？是半個橢圓嗎？還是其他什么曲線？這就需要從數學上進行推導和驗證.

再如，長半軸與短半軸之和為定值（假設是5）的橢圓包絡的邊界，兩端點分別在x軸和y軸上滑動的定長線段（假設是5）包絡的邊界，都是在半徑為5的定圓內滾動的動圓（直徑為2.5）邊界上一點所生成的擺線. 但是若要在數學上說明它們為同一種曲線，則數學上需要進一步證明.

不是通過直觀觀察已經得到結果了嗎，為什么還需要證明呢？請看下面的例子：

可見，計算機的恰當使用并不會削弱學生的思考，反而會啟發學生更加深入、積極地思考.

大量案例和實驗數據顯示，《Z+Z超級畫板》在實施數學新課程的理念、幫助學生理解數學概念、改善學習方式、提高學習數學的興趣、增加學習數學的積極性、提高數學成績尤其是提高數學基礎較為薄弱的學生的數學成績等方面發揮了積極、顯著的作用. 《Z+Z超級畫板》下的初中數學學習更有意義.endprint