高三數學總復習證明與求解不等式方法淺議

楊敏欣

摘 要： 不等式是高中數學的重要內容之一，不等式的證明蘊涵著豐富的數學思想方法.不等式作為高中數學的重點、難點內容之一，是培養學生探究思維能力的好材料，因而是數學高考命題的熱點.本文針對高三數學不等式復習中證明與求解不等式的方法容易出現的問題提出注意點.

關鍵詞： 不等式 均值不等式 三角換元 反證法 函數的單調性

一、利用均值不等式求解不等式

均值不等式在高中數學的應用比較廣泛，常用于求函數的最值，或者應用于不等式的證明.解題思路比較明確，因為公式的應用主要是原式或者是它們的變式，所以比較好下手，但是在解題中一定要注意公式自身所隱含的條件.在利用公式求函數的最值時特別是要滿足“一正，二定，三相等”這句話.即第一個條件是兩個數都應該是正數；第二個條件是和或是積要定值，不能含有跟自變量有關的參數；第三個條件是在函數取到最值時能夠取到等號，也就是相應的自變量能取得到.看以下一個例題.

例1：已知x，y>0，x+y=1，求■+■的最小值.

上述是一道非常典型的題目，上過高三老師在不等式復習時也都會把它重新再拿來講一遍.很多學生在做題過程中很容易出現套公式的現象，常會出現以下錯誤：

∵x+y≥2■∴xy≤（■）■=■，∴■+■≥2■≥4■.

問題出在哪里呢？很多學生一時查不出來.后面老師提醒了一下很多學生就知道原因了：不等式取不到等號，上述解題過程中用到兩次均值不等式，但是兩次的x，y取不到相同的值.故最小值不是4■.正解如下：

■+■=（x+y）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，此時當且僅當■=■，x=■-1，y=2-■時，取到最小值.

二、利用反證法證明不等式

反證法，它是從反面的角度思考問題，即肯定題設否定結論，從否定的結論出發導出矛盾，從而最終肯定命題是正確.反證法是高中數學不等式中常用的方法之一，它是直接證明不易下手，此時應該考慮的是“正難則反”的原則，從反面的角度進行推理.它常用于以下證明：

（1）難于直接使用已知條件導出結論的命題；

（2）唯一性命題；

（3）“至多”或“至少”性命題；

（4）否定性或肯定性命題.

例2：已知x，y>0，x+y>2，試證：■，■中至少有一個小于2.

分析：要證的結論與條件之間的聯系不明顯.直接由條件推出結論不夠清晰.另外，如果從正面證明，需要對某一個分式小于2或兩個分式都小于2等進行分類討論，而從反面證明，則只要證明兩個分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮用反證法.

證明：假設■，■都不小于2，即■≥2，且■≥2因為x，y≥0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，把這兩個不等式相加得，2+x+y≥2（x+y），從而x+y≤2.

這與已知條件x+y>2矛盾.因此，■，■都不小于2是不可能的，即原命題成立.

三、利用三角換元解證不等式

有些不等式證明問題中，含有一些特殊的條件及特殊的運算關系.這些條件或運算關系恰好滿足三角關系，則可以采用三角代換證明.常見的換元形式有（1）x■+y■=a■，可令x=acosθ，y=asinθ；（2）x■+y■≤1，可令x=tcosθ，y=tsinθ（|t|≤1）.

例3：已知x■+y■=1，求證：|x■+2xy-y■|≤■.

分析：本題中，由x■+y■=1可聯想到三角換元公式：sin■θ+cos■θ=1，進行三角換元證明.

證明：令x=sinθ，y=cosθ，則

|x■+2xy-y■|=|cos■θ+2sinθcosθ-sin■θ|

=|cos2θ+sin2θ|=■|sin（2θ+■）|≤■

故命題得證.

例4：已知x■+y■=1，m■+n■=4，求mx+ny的最大值.

分析：很多學生首先會想到用公式：ab≤■，因而會有如下解法：mx≤■，nx≤■，把這兩個不等式相加就得到

mx+ny≤■+■=■=■，從而得到它的最大值是■.

解題過程錯在哪里呢？這也是很多學生會忽略的一個問題：就是等號取不到，因而它的最大值不是■，這種類型題還是應該考慮三角換元或是用柯西不等式求解.

正解：令x=cosα，y=sinα；m=2cosβ，n=2sinβ，則mx+ny=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）≤2.

當然本題用柯西不等式也很簡單，這邊不再說明.

四、利用函數的單調性求不等式的最值

在求解不等式的過程中往往會出現一些題目直接用公式或是其他方法不易得出結論，甚至得出的結論是錯誤的.這時可以考慮構造函數通過證明函數的單調性求函數的最值，問題往往會迎刃而解.

例5：求函數f（x）=■的最小值.

分析：本題很多學生第一個想到的還是會用均值不等式進行求解，先把它拆成f（x）=■+■≥2，從而得到最小值是2的錯誤答案.主要也是錯在等號取不到的原因.這時可以考慮構造函數，通過證明函數的單調性進行求解.

解：令f（t）=t+■（t≥2），令t■>t■≥2

f（t■）-f（t■）=（t■+■）-（t■+■）=■>0，

∴f（t）在[2，+∞）上是增函數.∴f（t）■=f（2）=■，此時x=0.

不等式的證明方法和求解方法不只上面所談到的這幾種，還有很多.只要我們平時多注意收集，多做歸納，多做觀察，多做比較，多做反思，在高三數學總復習中才會有的放矢，事半功倍.

參考文獻：

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[2]郭慧清.一類分式不等式的新證法[J].數學通報.

[3]李紅春.構造法巧解三解函數題[J].高中數學教與學.

[4]余元希，田萬海，毛宏德.初等代數研究.高等教育出版社.

[5]曹鳳山.利用基本不等式的變化證明分式不等式[J].數學通報.