高三數學總復習證明與求解不等式方法淺議

楊敏欣

摘 要： 不等式是高中數學的重要內容之一，不等式的證明蘊涵著豐富的數學思想方法.不等式作為高中數學的重點、難點內容之一，是培養學生探究思維能力的好材料，因而是數學高考命題的熱點.本文針對高三數學不等式復習中證明與求解不等式的方法容易出現的問題提出注意點.

關鍵詞： 不等式 均值不等式 三角換元 反證法 函數的單調性

一、利用均值不等式求解不等式

均值不等式在高中數學的應用比較廣泛，常用于求函數的最值，或者應用于不等式的證明.解題思路比較明確，因為公式的應用主要是原式或者是它們的變式，所以比較好下手，但是在解題中一定要注意公式自身所隱含的條件.在利用公式求函數的最值時特別是要滿足“一正，二定，三相等”這句話.即第一個條件是兩個數都應該是正數；第二個條件是和或是積要定值，不能含有跟自變量有關的參數；第三個條件是在函數取到最值時能夠取到等號，也就是相應的自變量能取得到.看以下一個例題.

例1：已知x，y>0，x+y=1，求■+■的最小值.

上述是一道非常典型的題目，上過高三老師在不等式復習時也都會把它重新再拿來講一遍.很多學生在做題過程中很容易出現套公式的現象，常會出現以下錯誤：

∵x+y≥2■∴xy≤（■）■=■，∴■+■≥2■≥4■.

問題出在哪里呢？很多學生一時查不出來.后面老師提醒了一下很多學生就知道原因了：不等式取不到等號，上述解題過程中用到兩次均值不等式，但是兩次的……