大學(xué)物理中駐波講授方法的一點(diǎn)探討

嚴(yán)非男

摘 要 在常規(guī)教學(xué)中，分析駐波所用的方法與分析波的干涉的方法不同，以致有些學(xué)生誤認(rèn)為兩者是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的獨(dú)立現(xiàn)象。本文認(rèn)為可以用波的干涉的觀點(diǎn)講授駐波現(xiàn)象，說(shuō)明駐波就是特殊條件下的干涉現(xiàn)象，從而加深學(xué)生對(duì)駐波的干涉特性和物理圖像的理解。

關(guān)鍵詞 駐波 波的干涉 干涉增強(qiáng) 干涉減弱

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.09.025

Discussion on the Teaching Method of the Standing Wave

YAN Feinan

（Physics Department， College of Science， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093）

Abstract Commonly，the analysis methods for the wave interference and the standing wave are difference so that some students think there is no link between them. This paper analyzes the standing wave in the view of interference and show that the standing wave is a special phenomenon of the interference. It promotes students' understanding of the interference characteristics and the physical image of the standing wave.

Key words standing wave; wave interference; constructive interference; destructive interference

駐波在實(shí)際中有著非常廣泛的應(yīng)用，在理工科大學(xué)物理課程中，作為一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)中引起了人們的探討。①②③按照常規(guī)教學(xué)順序，一般先介紹波的干涉，再分析駐波現(xiàn)象。但由于所用分析方法不同，以致有些學(xué)生誤認(rèn)為兩者是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的獨(dú)立現(xiàn)象。本文認(rèn)為，可以用波的干涉的觀點(diǎn)講授駐波現(xiàn)象，起到一個(gè)銜接的作用，然后與教材中三角函數(shù)“和差化積”運(yùn)算法得到的結(jié)果進(jìn)行比較，使學(xué)生意識(shí)到駐波是特殊條件下的干涉現(xiàn)象，波腹等同于干涉增強(qiáng)，而波節(jié)等同于干涉減弱，從而加深學(xué)生對(duì)駐波的干涉特性和物理圖像的理解。

1 產(chǎn)生駐波的條件

波的干涉，是指兩列相干波（頻率相等、振動(dòng)方向相同以及相位差恒定的波）相遇時(shí)，在某些地方振動(dòng)始終增強(qiáng)，而在另一些地方振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象。而駐波是由振幅相同，傳播方向相反的兩列相干波相遇疊加而形成的現(xiàn)象，它比波的干涉多了兩個(gè)條件：“振幅相同及傳播方向相反”，因此，駐波是干涉的一種特殊情況。

設(shè)兩列相干簡(jiǎn)諧波，振幅均為，分別沿著軸正方向和負(fù)方向傳播，可分別表示為

（） = （ + ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

（） = （ + ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，為角頻率，為角波數(shù)（ = ），為波長(zhǎng)，和分別為兩列波在 = 0處的初相位，它們的取值無(wú)特殊要求。在大學(xué)物理教材④中常選取 = 0， = 0，但這并非產(chǎn)生駐波的必要條件。

2 駐波表達(dá)式

當(dāng)兩列波在處相遇時(shí)，根據(jù)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律，⑤⑥該處合振動(dòng)為：

= （） + （） = （ + ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中合振動(dòng)的振幅以及初相位可以用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖確定。

由式（1）和式（2）可知，兩列波在處的相位差為

€%= = 2 + （） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

兩列波在處的初相位分別為

= ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

= ?+ ?= ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

可見(jiàn)，€%=，和均隨著坐標(biāo)而變化，但和總是以對(duì)稱分布在的兩側(cè)。因此，根據(jù)的取值范圍，矢量合成圖有兩種可能，分別如圖1和圖2所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)矢量合成圖（ + << + ）

圖2 旋轉(zhuǎn)矢量合成圖（ ?+ << + ）

（1）當(dāng) + << + （ = 0，€？，€？，…）時(shí)，振動(dòng)合成如圖1所示?？梢?jiàn)，合振動(dòng)的初相位為 = ，由幾何關(guān)系可得振幅為 = 2。將和代入式（3），得合振動(dòng)表達(dá)式為：

= 2（ + ）（ + ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

（2）當(dāng) + << + （ = 0，€？，€？，…）時(shí)，振動(dòng)合成如圖2所示。此時(shí)，合振動(dòng)的初相位為 = ?+ ，振幅為 = 2（） = 。將和代入式（3），發(fā)現(xiàn)合振動(dòng)的表達(dá)式仍如式（7）所示。

式（7）即為駐波表達(dá)式，它與用三角函數(shù)的“和差化積”方法得到的駐波表達(dá)式一致。

3 干涉增強(qiáng)（波腹）和干涉減弱（波節(jié)）的位置

由圖1和圖2可見(jiàn)，合振動(dòng)的振幅取決于兩列波在相遇點(diǎn)的相位差;若和方向相同，即兩列波同相，則相位差滿足

= 2 + （） = 2（ = 0，€？，€？，…） ? ? ? ? ? ? ? （8）

此時(shí)，合振動(dòng)的振幅最大， = 2，這些位置干涉增強(qiáng)，在駐波現(xiàn)象中稱為波腹。根據(jù)式（8）可求出波腹的位置為

= （）（ = 0，€？，€？，…） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

若和方向相反，即兩列波反相，相位差為

= 2 + （） = （ = 0，€？，€？，…） ? ? （10）

則合振動(dòng)的振幅最小， = 0，稱為干涉減弱。因?yàn)橘|(zhì)元始終靜止不動(dòng)，故在駐波中稱之為波節(jié)。根據(jù)式（10）可求出干涉減弱的位置為

= （）（ = 0，€？，€？，…） ? ? ? ? ? （11）

式（9）和（11）表示的波腹和波節(jié)的位置分別與用三角函數(shù)“和差化積”方法得到的結(jié)果相一致。

4 結(jié)語(yǔ)

本文用波的干涉的觀點(diǎn)分析駐波的表達(dá)式以及波腹和波節(jié)的位置，突出了駐波的干涉圖像，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到駐波實(shí)際上就是干涉的一個(gè)特例，波腹等同于干涉增強(qiáng)現(xiàn)象，而波節(jié)等同于干涉減弱的現(xiàn)象，加深了學(xué)生對(duì)駐波的干涉特性以及波腹和波節(jié)的物理圖像的理解。

注釋

① 楊慶怡，劉奕新，郭進(jìn).用振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量和波動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量描述駐波波形[J].物理與工程，2009.19（3）：57-58.

② 夏崢嶸，李榮青，童悅.關(guān)于駐波的直觀教學(xué)[J].大學(xué)物理，2012.31（12）：42-44.

③ 魏巧，湯朝紅.駐波教學(xué)中的初相問(wèn)題[J].物理通報(bào)，2013（8）：20-21.

④ 程守洙，江之永，普通物理學(xué)下冊(cè)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2006：91-92.

⑤ 程守洙，江之永.普通物理學(xué)下冊(cè)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2006：30-31.

⑥ 王少杰，顧牡，毛俊健.大學(xué)物理下冊(cè)（第二版）[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2002：111-113.