a決定拋物線的形狀嗎

殷菊+葉軍

教學“二次函數的圖象”這一節時，筆者發現有很多資料使用了以下習題：y=ax2的圖象與y=2x2的圖象形狀相同，則a=_______。

命題者提供的答案是：a=2或-2，其命題意圖無非是：二次函數y=ax2+bx+c中，二次項系數a的絕對值大小決定了二次函數的形狀，因此|a|=2，所以a=2或-2。網上一些數學論壇里，支持此結論者不在少數，但這卻是一個“病題”。

得出這一“結論”大約是混淆了拋物線的“開口大小”與“形狀”這兩個內涵不同的名詞。一般意義上所說的“開口大小”，是指在同一坐標系中，用垂直于對稱軸的直線去截拋物線，所得的弦長的大小關系。大小只是相對而言，拋物線不是一個封閉圖形，因此不能簡單地說某條拋物線開口很大或很小。在高中數學中，引入“通徑”這一概念，就可以避免一些紛爭。

例：在同一坐標系中，畫出y=2x2和y=0.5x2的圖象。

從圖象可以看出，在同一坐標系中，y=2x2的圖象比y=0.5x2的圖象開口小。事實上，當|a|越大時，y=|a|x2變化越快，體現在圖象上就是上升（或下降）越快，因此開口越小，函數圖象越“陡”。

但是，我們能否說二者的圖象“形狀不同”呢？

在中學階段，我們對相似形的定義是：形狀相同的圖形叫作相似形。也就是說，“形狀相同”等于同“相似”。而圖形的相似，既可以是直線形（三角形、多邊形等）的相似，也可以是曲線圖形（圓、拋物線、雙曲線等）的相似。研究三角形與多邊形的相似，我們有現成的判定定理，但是對于曲線形則沒有。更主要的區別是，多邊形都是有限的封閉圖形，而拋物線這樣的圖形卻可以無限延伸。那么，我們能簡單地憑借一眼的直觀而判斷拋物線“形狀不同”，因此不相似嗎？

我們借助于《幾何畫板》工具來做一個實驗。畫好拋物線y=2x2，然后拖動x軸上的單位刻度1，以此改變坐標系中單位長度1所代表的實際長度，則拋物線的開口大小隨之發生變化。上圖是同一個二次函數在不同坐標系中的圖象形狀。很顯然，它們的“形狀不同”，但是它們卻是同一條拋物線！

其實，右圖可以看作左圖的局部放大。我們在左圖中取出[-0.3，0.3]上的一段圖象，然后用放大鏡觀察，就會得到右圖的效果。而同樣的操作，放在三角形或多邊形上，卻不會出現如此效果。究其原因，是角度在“放大”過程中保持不變，由此反觀拋物線，哪一處有“角度”呢？

由此發現，研究曲線形的相似，不像多邊形這種“有棱有角”的圖形那樣通過測量角度作為判斷的條件之一，確實是一件比較麻煩的事情。因此，我們也不能簡單地憑借觀察就斷言曲線是否“形狀不同”——雖然我們表達的只是“開口大小不同”這一側面。

若兩個圖形相似，則一定可以通過平移、旋轉、翻折等合同變換，使之成為位似圖形。而一般意義上的位似基于以下定義：圖形F與F的點一一對應，且有以下關系：

（1）連接每對對應點的連線都通過同一點S；

（2）每對對應點或都在S的同側，或都在S的異側；

（3）如果點A與B是F上的任意兩點，它們在F′上的對應點分別是A′、B′，且SA′∶SA=SB′∶SB=k（常數）。

則稱F與F′是位似圖形，其中S是位似中心，k是相似系數。

也可以證明，兩條離心率相等的圓錐曲線都相似，拋物線的離心率都等于1，因此所有的拋物線都相似。

（作者單位：1.江蘇省南通市通州區二甲中學 2.南京師范大學附屬中學江寧分校）