新課標(biāo)高考理科卷中概率與統(tǒng)計(jì)的探究

李龍飛

摘 要 概率與統(tǒng)計(jì)是每年高考必考內(nèi)容之一，是一個(gè)常考的知識(shí)點(diǎn)也是一個(gè)熱點(diǎn)，歷年在全國(guó)各地的高考題中所占的分量都較大，不但有大題出現(xiàn)，還有一部分小題，具體考查內(nèi)容，考察的形式也多樣化，解題的方法也有很多，本文就對(duì)云南省的高考數(shù)學(xué)所考的新課標(biāo)理科試卷中概率與統(tǒng)計(jì)解答題作些簡(jiǎn)單分析與探究.

關(guān)鍵詞 高考 新課標(biāo) 概率與統(tǒng)計(jì) 函數(shù) 分類(lèi)討論

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2015）21-0010-02

概率與統(tǒng)計(jì)是每年高考必考內(nèi)容之一，是一個(gè)常考的知識(shí)點(diǎn)也是一個(gè)熱點(diǎn)，歷年在全國(guó)各地的高考題中所占的分量都較大，具體考查內(nèi)容、考察的形式也多樣化，解題的方法也有很多。近幾年云南省高考中的概率與統(tǒng)計(jì)解答題的特點(diǎn)是密切聯(lián)系教材，試題通常是通過(guò)對(duì)課本原題的改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、拓廣，從而成為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧，并賦予生活氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題。以學(xué)生的學(xué)習(xí)生活為情景，貼近生活實(shí)際，這也充分顯示了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活。高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查的力度一直都很大，通常是一個(gè)大題和一個(gè)小題，分?jǐn)?shù)共計(jì)17分。其中解答題不僅題型在變化，而且問(wèn)題的新穎度和廣度也在不斷加大，難度與深度基本保持不變。這幾年新課標(biāo)卷考查的知識(shí)點(diǎn)包括：函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)、分布列、數(shù)學(xué)期望。本文就對(duì)我們?cè)颇鲜〉母呖紨?shù)學(xué)所考的新課標(biāo)理科試卷中概率與統(tǒng)計(jì)解答題作些簡(jiǎn)單分析與探究。

例1 （2012高考真題新課標(biāo)理第18題）

某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。

（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式。

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。

（i）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；

（ii）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：本題考查函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)、分布列、數(shù)學(xué)期望的綜合應(yīng)用。

解：（1）當(dāng)n≥16時(shí)，y=16€祝？0-5）=80

當(dāng)n≤15時(shí)，y=5n-5（16-n）=10n-80

∴y=（n∈N）

（2）（i）X可取60，70，80

P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P=（X=80）=0.7

X的分布列為

EX=60€？.1+70€？.2+80€？.7=76

DX=162€？.1+62€？.2+42€？.7=44

（ii）購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為

y=（14€？-3€？）€？.1+（15€？-2€？）€？.2+（16€？-1€？）0.16+17€？€？.54=76.4

又76.4>76所以，應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝。

點(diǎn)評(píng)：以花店購(gòu)進(jìn)玫瑰花為情境，貼近生活實(shí)際；第（1）問(wèn)簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的應(yīng)用，也就是通過(guò)分類(lèi)討論求出分段函數(shù)利潤(rùn) （單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量 （單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式.同時(shí)問(wèn)題（1）的解決為問(wèn)題（2）的求解做好了鋪墊，第（2）的（i）是考查分布列、數(shù)學(xué)期望，結(jié)合頻數(shù)分布表及古典概型公式：P（A）=（包括等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式等等）求得 取值的對(duì)應(yīng)概率，從而得到 分布列、數(shù)學(xué)期望；第（ii）是考查數(shù)學(xué)期望的理解，當(dāng)天的利潤(rùn)也就是當(dāng)天的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望大的利潤(rùn)就大。因此，購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，只需要求出它們的數(shù)學(xué)期望問(wèn)題就得以解決。

例2 （2013年新課標(biāo)理科卷Ⅱ第19題）

經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每 t虧損300元。根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示。經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品，以 （單位：t，100≤X≤150）表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量， （單位：元）表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)銷(xiāo)商該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)。

（Ⅰ）將T表示為X的函數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若X∈[100，110]，則取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110]的概率），求利潤(rùn) 的數(shù)學(xué)期望。

分析：本題考查函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)、分布列，數(shù)學(xué)期望的綜合應(yīng)用。本題應(yīng)用分類(lèi)討論的思想將問(wèn)題（Ⅰ）中T表示為X的函數(shù).同時(shí)問(wèn)題（Ⅰ）的解決為問(wèn)題（Ⅱ），（Ⅲ）的求解做好了鋪墊，再結(jié)合頻率分布直方圖求解。

解：（Ⅰ）當(dāng)100≤X<130時(shí)

T=500X-300（130-X）=800X-39000

當(dāng)130≤X≤150時(shí)

T=500€？30=65000

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知利潤(rùn)T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)

120≤X≤150

由直方圖需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7。

（Ⅲ）依題意可得T的分布列為：

∴E（T）=45000€？.1+53000€？.2+61000€？.3+65000€？

0.4=594000

點(diǎn)評(píng)：以經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品為背景，貼近生活實(shí)際；第（Ⅰ）問(wèn)簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的應(yīng)用，也就是通過(guò)應(yīng)用分類(lèi)討論的思想將問(wèn)題（Ⅰ）中T表示為X的函數(shù)。同時(shí)問(wèn)題（Ⅰ）的解決為問(wèn)題（Ⅱ）， （Ⅲ）的求解做好了鋪墊， 再結(jié)合頻率分布直方圖及公式：頻率=€鬃榫啵侍？Ⅱ）用頻率近視作為概率，從而得到相應(yīng)的概率的估計(jì)值；問(wèn)題 （Ⅲ）求出利潤(rùn)T取值的對(duì)應(yīng)概率，從而得到T分布列、數(shù)學(xué)期望。

從上面的例題，我們可以看出，近幾年云南省高考中的概率與統(tǒng)計(jì)解答題的特點(diǎn)是密切聯(lián)系教材，試題通常是通過(guò)對(duì)課本原題的改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、拓廣，從而成為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予生活氣息、貼近學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題。以學(xué)生的學(xué)習(xí)生活為情景，貼近生活實(shí)際，這也充分顯示了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活。高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查的力度一直都很大，通常是一個(gè)大題和一個(gè)小題，分?jǐn)?shù)共計(jì)17分。其中解答題不僅題型在變化，而且問(wèn)題的新穎度和廣度也在不斷加大，難度與深度基本保持不變。這幾年新課標(biāo)卷考查的知識(shí)點(diǎn)包括：函數(shù)、概率、統(tǒng)計(jì)、分布列、數(shù)學(xué)期望。通過(guò)對(duì)高考命題的回顧現(xiàn)總結(jié)如下：

1.在復(fù)習(xí)中，概率與統(tǒng)計(jì)這部分的內(nèi)容不能忽視，從新課標(biāo)理科卷中的試卷看到每年均有一個(gè)概率的選擇題或填空題；都有一個(gè)概率解答題，概率經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合考查。例如概率與統(tǒng)計(jì)中的抽樣、頻率分布直方圖、莖葉圖、回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)等等相結(jié)合考查。所以在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的重視，新課標(biāo)理科卷中都沒(méi)有出現(xiàn)幾何概型，以后有可能出現(xiàn)也不能忽視。

2.在復(fù)習(xí)中，應(yīng)充分研究大綱、考綱，使學(xué)生掌握：

（1）古典概型：P（A）=（包括：①了解隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；隨機(jī)事件，等可能事件，互斥事件等等的概率；②會(huì)用排列組合基本公式計(jì)算等可能事件的概率；會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算事件的概率等）。

（2）幾何概型：

P（A）=

（3） ①條件概率：P（B|A）=（P（A）>0）

②二項(xiàng)分布：a.若X～B（n，p） 則P=（X=k）=CknPk（1-P）n-k（k=0，1，2，…，n）；

b.若X～B（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

③正態(tài)分布：若X～N（ ， 2），則E（X）= ，D（X）= 2等等。

3.在復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語(yǔ)言中捕捉信息、將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流。

4.在復(fù)習(xí)中，應(yīng)要求學(xué)生平時(shí)多關(guān)心國(guó)家大事，了解信息社會(huì)，講究聯(lián)系實(shí)際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，并加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育。

（責(zé)任編輯 全 玲）