淺談數學思想在線性代數概念教學中的應用

李俊華 陳艷菊

摘要：線性代數中的概念是教學的重點和難點。本文主要介紹了在線性代數的概念教學中如何滲透轉化與化歸思想、建模思想、幾何思想和類比思想等數學思想。通過數學思想的滲透，學生更深入地理解了概念，提升了數學思維能力。

關鍵詞：線性代數；概念教學；數學思想

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）10-0181-02

線性代數是高等院校經濟管理類各專業的數學主干課程之一，也是全國碩士研究生考試的必考課程，而概念教學是線性代數教學的重要組成部分，許多概念既是線性代數的重點也是難點，由于這些概念多且都具有較強的邏輯性和抽象性，學生學習起來有一定的難度。雖然部分學生機械地記住了某些概念，但因為沒有真正理解概念的本質，學生或者容易忘記或者學完之后只會套用解題，不知道如何應用。因此在教學中為了讓學生真正地理解概念，就不能忽略數學思想的滲透。在課堂教學中引導學生理解、掌握并學會運用概念中蘊藏的數學思想方法，提高學生分析問題和解決問題的能力，不僅能幫助學生更好地掌握所學知識，提升學生的數學思維能力，而且對教師教學水平的提高也會起到事半功倍的效果。本文結合轉化與化歸思想、建模思想和幾何思想等數學思想，主要介紹如何在線性代數的概念教學中滲透數學思想的教學。

一、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是指把待解決或未解決的問題，在一定條件下通過近似、等價、變換等方法轉化為已經解決或容易解決的問題，化難為易，化繁為簡，從而使得問題得以解決，它是解決數學問題的基本思想，是解決很多疑難問題的鑰匙，幾乎滲透到了數學的所有內容中。常見的轉化與化歸方法有換元法、類比法、數形結合法、正與反的轉化、整體與局部的轉化等，轉化與化歸的關鍵有三個：明確化歸對象、尋找化歸方法、確定化歸目標。線性代數中的很多概念都體現了轉化與化歸思想。在行列式內容中，行列式定義為一個特定結構的和式，行列式的計算最終轉化為了求和問題，求元素的余子式、代數余子式的問題轉化為求行列式的問題。在向量和向量組內容中，向量的線性運算轉化為相應的分量（數）的運算，向量組的線性相關性轉化為是否存在一組不全為零的常數使得成立，兩個向量組是否等價轉化為兩個向量組能否互相線性表示。在矩陣內容中，矩陣的秩轉化為向量組的秩，矩陣冪的定義則是先定義低階冪，然后通過低階冪來定義高階冪，分塊矩陣是借助了將高階矩陣降為低階矩陣的技巧來處理的，求線性空間中兩組不同基之間的過渡矩陣的問題轉化為求矩陣方程的問題，將可以相似對角化的矩陣轉化為簡單的對角矩陣，從而降低了計算難度。除此之外，線性方程組與其向量形式和矩陣形式之間的互化、基變換與過渡矩陣之間的互化、線性變換與其矩陣之間的互化、二次型與其矩陣之間的互化都體現了轉化思想，而化二次型為標準形所做的可逆線性替換則是將一組變元轉化為了另一組變元，這更是轉化與化歸思想的直接體現。在課堂教學中要時刻滲透轉化與化歸思想，向學生清楚地指明哪些概念中蘊含著轉化與化歸思想，重點講解轉化的方法和轉化的目標。這就需要教師對教材進行深入地分析和研究，結合具體內容和學生實際，在教學中突出轉化與化歸思想的教學，并通過小結和復習，不斷加強數學思想的教學。

二、數學建模思想

數學建模思想是指針對實際問題，通過建立相應的數學模型，運用恰當的數學語言和數學方法加以解決的數學思想，它是溝通數學與實際問題之間的橋梁，旨在培養分析和解決實際問題的能力。現在很多高等院校都已開設了數學建模課程，也有越來越多的人在關注數學建模競賽。把數學建模思想融入高校數學主干課程中去已是大勢所趨。線性代數的許多概念都非常抽象，如果離開了實例或應用背景而單純地向學生傳授抽象概念的話，學生會感覺枯燥無味，學習起來也很吃力。將抽象的數學概念和數學建模思想結合起來，讓學生明白抽象概念背后的實際意義，既能提高學生的學習興趣，對教學效果的提高也能起到事半功倍的效果。為此在將數學建模思想融入到線性代數的概念教學的過程中，應根據學生的實際接受能力，盡可能選取恰當的應用實例，將抽象問題生活化，從實際問題入手引入基本概念。例如在學習二、三階行列式時，用二、三元線性方程組的求解引入；在學習矩陣的乘法概念時，可以選取總進貨額和總銷售額問題作為引例；學習矩陣的特征值、特征向量概念時可以選取人口流動模型來引入。教師也可以結合學生的專業特點，針對不同專業的學生采用不同的應用實例，以激發學生的學習興趣。例如，在引入矩陣的概念時，對經濟類的學生，可以結合投入產出問題來講，對計算機專業的學生，可以結合通訊網絡問題來引入，對偏文科的學生，可以結合航空公司航班圖問題來講。同時教師還可以選擇一些日常生活中的實際問題，讓學生嘗試著建立數學模型進行求解，加強學生的數學建模意識。通過課內外針對實際問題的數學建模，使學生體會到課本中的概念都是與實際生活緊密聯系的，加深了對基本概念的理解，提高了學生學習線性代數的興趣，而且讓學生體會到了學以致用的妙處和數學建模思想的強大威力，激發了學生應用數學知識分析和解決實際問題的積極性和主動性。這里需要注意的是，數學建模是一個很復雜的過程，但由于學時的限制，在引入應用實例時不需要詳細講解數學建模的各個步驟，重點在于模型的建立以及整個過程中數學思想的體現，提升學生的數學思維能力。

三、幾何思想

幾何思想是指在解決代數問題時，利用問題的幾何圖形，將抽象的問題形象化、直觀化，啟發思維，從而解決問題。將抽象的數學語言轉化成直觀的幾何圖形，借助幾何解釋，可以幫助我們理解抽象的數學概念和數學理論，并且可以鍛煉空間想象能力和形象思維、抽象思維能力。幾何思想與代數思想之間相互滲透，就是常說的數形結合思想。線性代數中的幾乎所有重要概念都有其幾何意義。作為最基本的二、三階行列式都有它們的幾何意義，可以用來求定向面積和體積：以二維列向量為鄰邊的平行四邊形的面積是由它們構成的二階行列式的絕對值；以三維列向量為相鄰棱的平面六面體的體積是由它們構成的三階行列式的絕對值。對二元線性方程組而言，如果將方程組中的每一個方程看作是一個平面的話，則線性方程組有沒有解的問題就相當于這兩個平面有沒有交點的問題：當兩個平面重合或者不平行時一定有交點，此時線性方程組一定是有解的；當兩個平面平行但不重合時沒有交點，此時線性方程組無解。若空間中的兩個向量共線，則這兩個向量是線性相關的，否則是線性無關的；空間中的三個向量共面，則這三個向量是線性相關的，否則是線性無關的。矩陣的特征向量是指被矩陣變換后能夠和自身共線的向量，而矩陣的特征值則說明了新向量的方向及擴大縮小的倍數。兩個相似矩陣表示了相同的線性變換。令二元正定二次型等于任意大于零的常數，則其圖形是以原點為中心的橢圓。在課堂教學中，教師要根據概念的特點和學生的實際情況，將線性代數與解析幾何結合起來，利用解析幾何形象直觀的特點，給出概念的幾何背景，淡化概念的抽象性，訓練學生從幾何角度分析問題、解決問題的能力，加強學生的數形結合意識，同時還可以借助多媒體等教學工具幫助學生加深對知識的理解。

四、類比思想

所謂類比思想是指，通過比較兩個不同對象的某些相同或相似屬性，根據其中一個具有的其他屬性來推斷另一對象也具有相似的其他屬性。運用類比思想解決問題的過程是：將原問題利用類比得到類比問題，通過對類比問題的求解得到原問題類似的解法。而運用類比的關鍵是要尋找到合適的類比對象。類比是利用舊知識來認識新知識的過程，通過類比，加強了不同知識之間的聯系，可以培養學生的創造性思維。在線性代數的概念教學中，很多概念都可以利用類比思想進行教學。主要有兩類：一類是線性代數課程本身內容之間的類比。例如，由二、三階行列式的定義類比得到了階行列式的定義，由二、三階行列式求解線性方程組的結論類比得到了克萊姆法則；將平面上的二維向量和空間中的三維向量的概念推廣得到了一般的維向量的概念；由線性方程組的初等變換類比給出了矩陣的初等變換的概念；通過類比，可以很好地區分余子式、子式、主子式和順序主子式等概念，能清楚地理解矩陣的等價、相似和合同等關系之間的區別和聯系；類比普通矩陣，進行分塊矩陣的運算。另一類是其他數學知識和線性代數知識之間的類比。例如，將矩陣的運算與數的運算類比，將單位矩陣的作用與數1的作用類比，將數量矩陣與數的作用類比，類比倒數的運算得到了逆矩陣的概念，將矩陣方程與函數方程類比，向量內積、長度等內容與學生已知的解析幾何知識進行類比，將二次曲面化標準形問題與二次型化標準形問題對比。在教學過程中，如果能夠將新知識和學生已有的數學知識進行類比，學生會更容易接受新知識，還可以達到溫故知新的效果。

五、小結

在線性代數的概念教學中，要把讓學生理解、掌握并學會運用數學思想放在和傳授知識同等的位置上，要不斷加強數學思想的教學，提高學生的數學思維能力。同時也應該要注意，數學思想的教學必須遵循循序漸進、由淺入深、反復滲透等原則，要有計劃、有步驟地進行數學思想的教學，不能急功近利。

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