基于倒立擺系統(tǒng)案例的自動(dòng)控制原理教學(xué)研究

任祖華 周軍 錢惠敏 孫永輝

摘要：結(jié)合卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃以及《自動(dòng)控制原理》課程的特點(diǎn)，以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新、實(shí)踐能力為指向，在課程教學(xué)中融入工程案例進(jìn)行講解。本文以一級(jí)直線倒立擺的典型非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)為案例，將系統(tǒng)建模、穩(wěn)定性、可控性等特性分析和極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)的內(nèi)容與倒立擺案例直接關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生更好地理解自控原理教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際工程技術(shù)表現(xiàn)形式間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：自控原理;一級(jí)直線倒立擺;案例教學(xué);卓越工程師計(jì)劃

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）43-0170-02

一、引言

自控原理是自動(dòng)化專業(yè)的核心專業(yè)課程之一，也毫無疑問地成為在自動(dòng)化類專業(yè)學(xué)生中實(shí)施卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃時(shí)必須重點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)改革的科目。本文嘗試引入結(jié)合案例控制系統(tǒng)特性分析的教學(xué)模式，這樣可使得枯燥的純理論學(xué)習(xí)有了理解上的具體參照對(duì)象，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)理論課程的自發(fā)思考和理解，引導(dǎo)學(xué)生理論學(xué)習(xí)的工程應(yīng)用導(dǎo)向。

各種倒立擺系統(tǒng)作為典型的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，可以很好地反映許多工程控制對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，成為開展各種控制實(shí)驗(yàn)和理論校驗(yàn)的理想平臺(tái)。自控原理和線控理論中許多抽象的數(shù)學(xué)概念，如對(duì)控制系統(tǒng)的建模、穩(wěn)定性、可控性的模型特性分析、系統(tǒng)收斂速度和魯棒性能指標(biāo)等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)非常直觀地表現(xiàn)出來。

二、結(jié)合一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的自控原理教改思路

（一）對(duì)象物理特性及其數(shù)學(xué)建模

為了從理論上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行定性的分析和定量的計(jì)算，對(duì)象系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立是關(guān)鍵的第一步[1]，以下結(jié)合倒立擺詳細(xì)說明數(shù)學(xué)模型建立的過程。

圖1所示F是施加于小車的水平方向的作用力，x是小車的位移，θ是擺桿與豎直向上方向的夾角，m為擺桿質(zhì)量，l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，I為擺桿慣量，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量[2]。控制目標(biāo)是控制小車的水平運(yùn)動(dòng)，使擺桿保持在豎直向上的位置不倒，即倒立穩(wěn)定。

一方面，對(duì)擺桿垂直方向上的受力分析得到：

另一方面，對(duì)擺桿水平方向受力分析得到：

注意到，擺桿與小車間連接鉸鏈的力矩平衡方程是：

將式（1）與（2）代入式（3），整理可得：

如果考慮以倒立擺的小車加速度作為倒立擺系統(tǒng)的控制輸入量，x和θ作為系統(tǒng)的測(cè)量輸出，則以上經(jīng)過受力分析得到的系統(tǒng)輸入輸出之間的非線性微分方程就是對(duì)象的原始模型。由于非線性的存在，不利于基于該類模型的分析與設(shè)計(jì)，為此考慮模型簡(jiǎn)化，建立所謂的近似模型。

注意到，在擺桿豎直向上的平衡位置周邊的狹小角度區(qū)域內(nèi)，可以將以上模型近似線性化，此時(shí)由于θ較小，則近似認(rèn)為cosθ=1，sinθ=θ，則式（4）可以線性化為：

對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有I=ml2，進(jìn)而式（5）可變?yōu)椋?/p>

選取狀態(tài)向量

并代入?yún)?shù)l=0.25m;g=9.8m/s2，得系統(tǒng)的線性狀態(tài)空間表達(dá)式為：

由于上述建模過程是基于物理形象和定理/定律來給出的，學(xué)生很容易理解模型的工程意義，于是基于該模型的控制對(duì)象特性的分析與設(shè)計(jì)，就有了非常直觀的關(guān)聯(lián)參照。

（二）基于模型的系統(tǒng)能控性分析

由倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（7）和（8），構(gòu)造可控性矩陣并進(jìn)行秩條件判斷，有

rank（Q）=rank[B AB A2B A3B]=4=n（9）

由判別可控性的矩陣秩判據(jù)可知上述考慮的被控系統(tǒng)是完全能控的，從而可通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。這意味著倒立擺系統(tǒng)在擺桿垂直位置附近的鄰域內(nèi)，通過對(duì)小車加速度大小與方向的調(diào)整可以對(duì)其系統(tǒng)整體的狀態(tài)向量進(jìn)行控制以實(shí)現(xiàn)擺桿垂直平衡控制。

（三）基于模型的極點(diǎn)配置反饋鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)

由倒立擺系統(tǒng)的模型（7）計(jì)算出矩陣A的特征值為5.422，-5.422，0，0，由線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)[3]可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，即開環(huán)系統(tǒng)的擺桿垂直向上的平衡點(diǎn)不是穩(wěn)定的，需要引入狀態(tài)反饋進(jìn)行系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

取閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)

非主導(dǎo)極點(diǎn)取為μ3=-10，μ4=-10。相應(yīng)的期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

p*（s）=（s-μ1）（s-μ2）（s-μ3）（s-μ4）

=s4+24s3+196s2+720s+1600 （10）

對(duì)由（7），（8）定義的被控系統(tǒng)∑0（A，B，C），引入形如K=[k1 k2 k3 k4]靜態(tài)狀態(tài)反饋后，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：

pF（S）=det[sI-（A-BK）] （11）

令pF=（S）=p*（s），可得到反饋增益矩陣：

K=[-54.4218 -24.4898 93.2739 16.1633]

上述增益矩陣表明利用小車位置、速度的負(fù)反饋和擺桿角度、角速度的正反饋形成小車的加速度控制量作用到小車上，就可以在模型（7）（8）描述的倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)擺桿垂直平衡控制目標(biāo)。

三、結(jié)語

本文結(jié)合倒立擺系統(tǒng)，詳細(xì)具體地探討了自控原理課程中一系列抽象概念的內(nèi)涵，加深學(xué)生的理解，達(dá)到了理論與實(shí)踐的有益結(jié)合，為在自動(dòng)化類專業(yè)學(xué)生中實(shí)施卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃過程的自控原理教學(xué)做有益探索。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋瀟瀟，張力.結(jié)合自動(dòng)控制理論的現(xiàn)代控制理論教學(xué)研究[J].科技世界，2015，（6）：101-102.

[2]固高科技（深圳）有限公司.倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)[M].深圳：固高科技有限公司，2005：47.

[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理[M].第六版.北京：科學(xué)出版社，2013.