探索構造法在初中數學中的運用

張遠利

摘要：對于一些使用通常方法按照定向思維難以解決的數學問題，我們通常會使用構造法，運用一切已知條件和數學知識，在思維中構造滿足條件或結論的數學對象，從而方便快捷的解決數學問題。初中數學教師在數學解題教學中，合理運用構造法引導學生解題思路，能夠有效的幫助學生提高數學解題效率。本文從構造圖形、構造方程等方面對構造法解題進行了詳解。

關鍵詞：構造法 初中數學 解題

引言

在數學解題過程中，通常會采用定向思維將條件向結論進行轉化，而面對一些數學難題時，這種解題思路往往會走入困境，構造法是解決這一問題的有效途徑。構造法就是利用條件與結論的特殊性，構造新的數學圖形、方程、函數等數學形式，柬實現條件向結論的轉化，或是運用條件構造出數學對象，抓住問題的矛盾所在，進而解決數學問題。由此可見，這種方法并不是直接解決數學問題，而是通過間接的手段，尋找輔助問題，進而解決問題的方法。這也是構造法解決問題的巧妙的地方。

一、構造法概述

構造法是根據題設的提點，用已知的條件中的元素作為“元件”，用已知的關系作為“支架”，通過觀察、聯想，采用新的設計，構造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法。在運用構造法時，一是要明確構造的目的，即要解決什么問題而去構造;二是要弄清楚問題的特點，從而依據特點來確定構造的方案，實現構造解題。因此，構造法的基本特征就是：第一，對索要討論的問題給出了較為直觀的描述;第二，不但回答了提出的問題，而且構造出具體的結果。

二、構造法在初中數學中的運用

1、構造圖形

當一些問題的條件與結論之間的聯系不是很快就能找到的時候，通過構造圖形，往往能將二者之間的聯系非常明確的表示出來，進而獲得解決問題的方法。首先，遇到問題時要先觀察其中的代數式的特征，通過已有的基礎知識，聯想出與其能夠對應起來的幾何圖形數量關系，然后根據已有的條件，構造出相應的幾何圖形，然后將數形結合的數學思想力法運用其中，通過將圖形按照條件分割、組合，使得解題思路更加的清晰直觀，從而達到事半功倍的解題效果。

例1.l：已知a、b、c是大于O并且小于1的正數，證明a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1。

分析：在這一題當中，我們根據已知條件無法快速向結論轉化，就需要根據已知條件構造圖形。根據題意可知，a、b、c是大于0并且小于1的正數，而且所證結論中有a（l-b），b（l-c）、c（l-a）三種代數式，因此，可以構造出向積分別為a（l-b）、b（l-c）、c（l-a）的矩形，以及面積為l的正方形，（如圖一）那么我們能夠明顯的看出，根據條件所得的結論是成立的。

例 1.2 1/2+1/2₂+1/2₃+1/2₄……+1/2_n=（用含n式子表示）

分析：本題可用圖形解決，作正方形，每次取正方形一半，按圖分割：第一次得到陰影面積為1/2，第二次得到陰影面積1/2+1/2₂，如此無限的取下去，第n次得到原圖陰影面積1/2+l/2₂+l/2₃+l/2₄……+l/2_n正好是原圖面積減去空白處面積1-1/2_n。本題除構造正方形也可構造等腰直角三角形，靈活多樣，只需抓住后次分割面積是上次一半這一性質即可。

2、構造方程

方程是解決數學問題比較常用并且十分重要的一種工具，是通過根與系數的關系或者根的判別式來構造方程。利用構造方程的方法解決數學問題，一個重要的前提就是必須要熟悉條件或者結論中隱藏起來的結構形式，從而能夠構造出與力程相互對應的表達形式。

例2.1：已知條件：（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=0，求證結論：x+z=2y。

分析：從已知條件（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=O中，我們可以聯想到一元二次方程的根的判別式b2-4ac，因此，這一題中，我們可以讓b=z-x，a=x-y，c=y-z，由此可以構造出一元二次方程（x-y）X₂+（z-x）X+（y-z）=0。

所以，我們能夠得到以下的解題方法：當X=y時，從題中條件可以得出x=y=z，因此x+z=2y，當x≠y時，就有一元二次力程（x-y）X₂+X+（y-z）=0，通過觀察方程的各項系數，能夠發現（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，所以方程有一個根等于l，又因為△=（z-x）₂-4（x-y）（y-z）=0，所以方程的兩個根同為1，由韋達定理可知|*|=（y-z）/（x-y），可得x-y=y-z，因此，x+z=2y結論成立。

例2.2：已知實數x、y、z滿足x+y=5，x₂=xy+y-9，求x+2y+3z的值。

分析：根據本題的條件可以使我們聯想到韋達定理，但是仍然需要經過合理的變形，才能構造出方程組求解。從題中我們可以得出一組方式組（x+1）+y=6①，（x+1） y=z₂+9②，以x+l、y為方程的兩個實數根構造方程r₂-6t+z₂+9=0。因為方程有實數根，所以△=（-6）₂-4 （z₂+9） =-4z₂≥0.由此可以得到z₂=0，且△=o，所以方程t₂-6t+z₂+9=0有兩個相等的實數根，所以t₁=t₂=3，于是x+l=y=3，所以x=2，y=3，z=0，得出x+2y+3z=2+2*3+0=8。

總結

從以上例題中能夠明顯看到，運用構造法解題十分快捷方便。構造法的應用重在構造，根據已知條件，運用已有的基礎知識去將條件和結論聯系起來，發現問題，并為解決問題創造條件，從而真正的解決數學問題。

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