從函數視角研究數列

鄧平

【摘 要】滬教版高二年級第一學期課本中第6頁寫道：“從函數的觀點看，數列可以看成是以正整數集（或其子集）為定義域的函數。”數列是一個定義在正整數集（或其子集）上的特殊函數。從這個意義上看，它豐富了學生所接觸的函數概念的范圍，引導學生利用函數去研究數列問題，能使解數列的問題更有新意和綜合性，更能有效地培養學生的思維品質和創新意識。因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數的有關知識，以函數的概念、圖像、性質為紐帶，架起函數與數列之間的橋梁，揭示它們之間的內在聯系，從而有效地解決數列問題。

【關鍵詞】函數；數列；解決問題

一、數列通項公式、求和公式與函數關系

通過對數列中的通項公式以及前n項和公式等這些特殊的函數關系的概念理解與分析，引導學生充分認識an，sn和n的對應關系，從而利用概念，鼓勵學生主動探究，挖掘出數列通項公式、求和公式與函數的內在聯系，使學生知識系統化，培養學生數學整體意識，用聯系發展的眼光學習數學。在教學實踐過程中，通過學生的自主學習，發揮他們的主體作用，歸納出數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：

數列 通項公式 對應函數

等差數列 an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d） y=dx+b（d≠0時為一次函數）

等比數列 y=aqx（指數型函數）

數列 前n項和公式 對應函數

等差數列 y=ax2+bx（a≠0時為二次函數）

等比數列 y=aqx+b（指數型函數）

我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。

例1：等差數列{an}中，an=m，am=n，（m≠n）則am+n=？

分析：因為{an}是等差數列，所以an是關于n的一次函數，一次函數圖像是一條直線，則（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得am+n=0（圖像如下），這里利用等差數列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。

例2：等差數列{an}中，a1=25，前n項和為sn，若s9=s17，n為何值時sn最大？分析：等差數列前n項和sn可以看成關于n的二次函數Sn=，（n，sn）是拋物線f（x）=上的離散點，根據題意，f（9）=f（17），則因為欲求Sn最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為，即當n=13時，Sn最大。

例3：等差數列{an}和等比數列{bn}首項均為1，且公差不等于1，公比q>0且q≠0，則集合{（n，an）|an=bn}一定含有元素

分析：等差數列{an}，由于首項為1，即a1=1，所以它的圖像是必過（1，1）的一條直線，而等比數列{bn}首項為1，公比為q，q>0且q≠1，故bn=qn-1，它表示指數函數f（n）=qn圖像向右平移一個單位得到，必過（1，1），所以此集合中必定含有元素（1，1）。

二、數列應用題中構造函數，成功“解決”

數列知識本身就是來源于實際問題，又被廣泛應用于實際問題，帶有情境的數列問題，不僅可以考察學生的綜合能力，而且可以考察學生解決實際問題的能力。

例6：在一次人才招聘會上，A、B兩家公司分別開出它們的工資標準：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的基礎上遞增5%。設某人年初被A，B兩家公司同時錄用，試問：該人在A公司工作比在B公司工作的月工資最多時可高出多少元（精確到1元）？

分析：由題意可知，此人在A、B兩公司工作的第n年月工資數分別為：

an=1500+230（n-1）=230n+1270

bn=2000×1.05n-1

其中n∈N*

問題是該人在A公司比在B公司工資每月高出部分的最大值

故需要比較an和bn，

可設f（n）=an-bn=230n-2000×1.05n-1+1270

所以問題轉化為研究函數f（n）最大值。

因為當n≥2時：

即

所以當1≤n≤19時，f（n）單調遞增，而當n≥20時，f（n）單調遞減，因而當n=19時，f（n）有最大值f（19）=a19-b19=827（計算器算出）。

故此人在A公司工作比在B公司工作的月工資最多時可高出827元。

通過對以上實例的研究和分析，筆者發現，數列作為離散函數的典型代表之一，不僅在高中數學中具有重要位置，而且，在現實生活中有著非常廣泛的作用。因此，在教學實踐過程中，教師應創設恰當的情境，讓學生在這個情境中自覺領會和發現知識的形成過程，在感悟的過程中深刻體會其蘊含的數學思想和方法，理解用函數思想解決數列問題的本質。當學生理解并掌握之后，往往能誘發知識的遷移，使學生產生舉一反三、融會貫通的解決多種數列問題。同時，我們的學生的知識網絡能夠得以不斷優化與完善，思維豐富并發散，對知識的掌握與運用能夠駕輕就熟。

參考文獻：

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