動能定理的妙用

施筆英

高中物理中有關運動學的題目有直線和曲線運動之分，也有勻變速和非勻變速之分，對解題方法的選擇可能多種，但是很多解法需要滿足條件才可用，而動能定理的使用并不需要條件限制，而且公式簡單，解題思路明晰。它揭示了物體外力做的總功與其動能變化之間的關系。可表示為W總=Ek2—Ek1=△Ek。在所研究的問題中，如果物體受外力作用而運動狀態發生變化時，此時巧妙運用動能定理，往往能使解決問題的途徑簡捷明快，事半功倍。 下面就以對動能定理的使用中較有代表性的例子進一步介紹。

一、動能定理的應用可擴展到全過程

當物體運動是由幾個物理過程組成，又不需要研究過程的中間狀態時，可以把幾個物理過程看作一個整體來研究，從而避免考慮每個運動過程的具體細節，大大簡化運算。

例1：如圖1所示，一物體質量m=2kg，在傾角θ=37o的斜面上的A點以初速度V0=3m/s下滑。A點距彈簧上的檔板位置B的距離AB=4m，當物體到達B后，將彈簧壓縮到C點，最大壓縮量BC=0.2m，然后物體又被彈簧彈上去，彈到最高位置D點，D點距A點為AD=3m。求物體跟斜面間的動摩擦因素。（g=10m/s2，彈簧及檔板質量不計）

圖1

解析：在該題中，物體的運動過程分成了幾個階段，若用牛頓運動定律解決，要分幾個過程來處理。考慮到全過程始末狀態動能都是零，用動能定理解決就方便多了。

對A→B→C→D全過程，由動能定律得：

W總=mgAD·sinθ-f（AB+2BC+BD）=0-mvo2

F=umgcosθ

兩式聯立得：u==0.52

二.動能定理的應用可擴展到物體系統

動能定理常用于研究單個物體，公式中W總是指外力的總功。但動能定理也可擴展應用到物體系統中，只是在物體系統中必須注意內力的功也要改變物體的動能，所以此時動能定理可拓展為：所有外力和內力做功的代數和等于物體系統總動能的變化。即W外+W內=△Ek。

例2：質量為m的小物體A放在質量為m0的木版B的左端，B在水平拉力的作用下，沿水平地面勻速向右滑動，且A、B相對靜止。某時刻撤去水平拉力，經過一段時間。B在地面上滑行的距離為x，A在B上向右滑行的距離為L，最后A和B都停下來。設A和B間的動摩擦因素為μ1，B與地面間的動摩擦因素為μ2，且μ1<μ2，求x的表達式。（如圖2）

圖2

解析：若把A、B兩個物體看成一系統，則此系統中內力即為它們間的一對滑動摩擦力W內=fABS相=u1mgL；外力為地面對B的滑動摩擦力，則外力對系統所做功W外=fB地×X=u1（m+mo）gx。設A、B共同初速度v，根據動能定理，

對系統有u2（m+m0）gx+u1mgL= （m+m0）v2

同理對A有u1mg（x+L）=mv2解得：x=

三、用動能定理可求變力的功

例3：一質量為m的小球，用長為L的輕繩懸于O點，小球在水平拉力F的作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖3所示，則力F所做的功為多少（ ）。

圖3

A、mgLcosθ

B、mgL（1-cosθ）

C、FLsinθ

D、FLθ

解析：F使球緩慢移動，各點均可看作平衡狀態，繩拉力和F均為變力，繩拉力不做功，F做正功，重力做負功，根據動能定理可知

WF-WG=0

WG=mgh=mgL（1-cosθ）

∴WF=mgL（1-cosθ）

選B。

四、靈活變通，大膽運用動能定理“正交分解”法

例4：如圖 4所示，在水平方向的勻強電場中，有一帶電體P自O點豎直向上射出，它的初動能為4J。當上升到最高點M時，它的動能是5J，則帶電體折回通過與O點在同一水平線上的O點時，其動能為多大？

圖4

解析：帶電體P受到了電場力和重力的作用，在豎直方向上只受重力，做豎直上拋運動；在水平方向上只受電場力，做初速度為零的勻加速直線運動。

設帶電體P在O點的動能為Ek1 ，到達M點的動能為Ek2，到達O點的動能為Ek3。由于帶電體P在豎直方向上做豎直上拋運動，上升的時間和下降的時間相同，所以tOM=tMO，又由于帶電體P在水平方向上做初速度為零的勻加速直線運動，所以帶電體P在其上升和下降的兩段時間內，在水平方向上的位移之比為XOM ： XMO=1 ： 3。則兩段時間內電場力對帶電體P所做的功之比也是1：3。當帶電體在O點時，它在水平方向上初速度為零，則水平方向上初動能Ek1x=0，豎直方向上的初動能Ek1y=4J；到達M點時，它在豎直方向上分速度為零，則Ek2y=0、Ek2x=5J； 到達O點時它在豎直方向上速度和在O點時的速度大小相同，則Ek3y=4J。

O→M，水平方向由動能定理得：Ek2x-Ek1x=F電·XOM

M→O，水平方向由動能定理得：Ek3x-Ek2x=F電·XMO

所以： 代入數據得Ek3x=20J

故Ek3=Ek3x+Ek3y=20J+4J=24J

特別提醒：本題中用了動能定理的“正交分解”法，在對動能定理進行正交分解時，我們應注意到，動能定理的正交分解與矢量正交分解不同，只有當兩個或多個正交力做功時才能應用。