數(shù)列教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透

鄧平

【摘 要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力橋梁。能否有意識(shí)地正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志。數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；數(shù)列思想

1 函數(shù)思想

函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)考察數(shù)學(xué)對(duì)象。數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)理解數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法。

例1：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，已知a1=25，S9=S17問數(shù)列的多少項(xiàng)和最大？

分析：易知所給數(shù)列{an}不是常數(shù)列，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為零，所以可利用函數(shù)思想研究Sn的最值。

解法1：由a1=25，S9=S17得：

，∴d=-2。

從而；

故前13項(xiàng)的和最大，其最大值為169。

解法2：，Sn的圖像是開口向下的拋物線上一群離散的點(diǎn)，由S9=S17知最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即前13項(xiàng)的和最大。

2 方程思想

方程思想就是通過設(shè)元建立方程，研究方程解決問題的方法。在解數(shù)列問題時(shí)，利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)構(gòu)造方程（組），是解數(shù)列問題基本方法。

例2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S12=84，S20=460，求S28。

分析：解此題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可利用已知條件列出關(guān)于a1和d的方程組求出基本量a1和d，也可用待定系數(shù)法確定Sn。

解法1：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)已知條件和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得

解得

∴

從而S28=2×282-17×28=1092

解法2：易知所給等差數(shù)列不是常數(shù)列，所以它的前n項(xiàng)和可設(shè)為，由已知條件得

解得

∴Sn=2n2-17n，S28=2×282-17×28=1092

3 分類討論思想

復(fù)雜問題無法一次性解決，常需分類研究，化整為零，各個(gè)擊破。數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的分類討論的問題。

例3：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-n2+18n，試求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式。

分析：解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并弄清數(shù)列{an}中各項(xiàng)的符號(hào)以便化去|an|的絕對(duì)值。故需分類探討.

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-12+18×1=17；

當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=-n2+18n-[-（n-1）2+18n]=19-2n

∴當(dāng)1≤n≤9時(shí)，an>0，當(dāng)n≥10時(shí)，an<0，從而

當(dāng)1≤n≤9時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+an=Sn=-n2-18n；

當(dāng)n≥10時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|

=a1+a2+…+a9-a10…-an=-Sn+2S9

=n2-18n+2（-92+18×9）=n2-18n+162

∴Tn=

4 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化就是將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題。這是解決數(shù)列問題重要方法。

例4：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=6。若S1，S2，…，Sn中，S8最大，數(shù)列{an-4}的前多少項(xiàng)和最大？

分析：求Sn的最大值有多種轉(zhuǎn)化方法。本題可將Sn滿足的要求轉(zhuǎn)化為公差d滿足的要求；再將k所滿足的條件轉(zhuǎn)化為它的幾何意義，借助圖示直接寫出結(jié)果。

解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則S8最大

設(shè){an-4}的前k項(xiàng)和最大，則有2+（k-1）d>0，且2+kd<0，故有（*）

，

如圖，數(shù)軸的兩個(gè)陰影區(qū)間中，左邊是的取值范圍，右邊是的取值范圍，（*）的成立等價(jià)于k取兩個(gè)區(qū)間之間的自然數(shù)，所以k=3，即的前3項(xiàng)和最大。

5 整體思想

整體思想就是從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其它整體處理后，達(dá)到簡(jiǎn)捷地解題的目的。

例5：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為27∶32，求公差d。

分析：此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解，計(jì)算量較大，注意考慮用整體思想去解決，解法十分簡(jiǎn)捷。

解：由題意令奇數(shù)項(xiàng)和為27x，偶數(shù)項(xiàng)和為32x。

∵S12=27x+32x=59x=354，∴x=6

而S偶-S奇=32x-27x=5x=30=6d，∴d=5

6 遞推思想

遞推思想就是通過探求、構(gòu)造和運(yùn)用所給問題中的遞推關(guān)系解決問題的思想方法。數(shù)列問題，從某種意義上講是遞推關(guān)系的表現(xiàn)形式。利用遞推思想解決某些數(shù)列問題可體現(xiàn)遞推思想解決問題的優(yōu)越性。

例6：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有，證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

分析：證明等差數(shù)列一般考慮用等差數(shù)列的定義。這里可利用遞推關(guān)系，將Sn轉(zhuǎn)換得an，然后再對(duì)an，an-1的遞推關(guān)系繼續(xù)探求。

解：由得，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=，

即a1+（n-2）an-（n-1）an-1=0

同理a1+（n-1）an-1-nan=0

兩式相減得（n-1）an+1-2（n-1）an+（n-1）an-1=0，

即an+1-2an+an-1=0，

從而有an+1-an=an-an-1（n≥2）

由此可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

7 歸納、猜想與證明思想

通過對(duì)個(gè)別、特殊情況的分析、觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出一般的結(jié)論或性質(zhì)，再尋求證明方法。這是我們由已知探索未知的重要途徑。

例7：已知數(shù)列{an}滿足條件：a2=6，（n-1）an+1=（n+1）（an-1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析：此題求解思路不清晰，從特例入手，觀察、猜想結(jié)論，再加以證明不失為一種好辦法。

解：由已知條件，分別取n=1，2，3，…，得

a1=1=1×1，a2=6=2×3，a3=15=3×5，a4=28=4×7，……

通過觀察、歸納、可得出猜想：an=n（2n-1）=2n2-n

用數(shù)學(xué)歸納法容易證明這一結(jié)論是正確的（證明略）。

還有一些重要的思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分析與綜合、聯(lián)想與類比，構(gòu)造模型等思想方法已在上述例題中有所涉及，限于篇幅，不再贅述。

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