自覺融于課堂，概念自然“懂了”

張浩

許多同學會有這樣的感覺：在審題過程中似曾相識，但解題過程中卻義千瘡百孔.究其根源，主要是在課堂中對學習內容的理解上往往蜻蜓點水，習慣于簡單模仿，沒有自己的獨立思考.尤其是對概念的理解，對問題的理解不夠深刻，老師追問“懂了嗎”，不假思索地回答“懂了”.

懂是有階段性的.對于概念，同學們不僅僅要懂其本身，而且要懂它的來龍去脈；不僅要通過例題懂概念的局部，而且要通過課堂練習、課后作業懂其全部；懂這個概念為什么要提出來，從哪一個方面提出來，利用這個概念可以解決什么問題，為什么可以解決這些問題，如此等等.下面從《導數》中的一些問題，淺談一下上述思考.

第一階段：概念的生成，達到概念的“朦朧懂”

導數概念的建立是基于“無限逼近”的過程，這與初等數學所涉及的思想方法有著本質的不同.我們首先是學習平均變化率，平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，大部分同學對應該有一定的印象.緊接著結合圖象學習瞬時變化率，這是導數概念的源頭.同學們可以嘗試畫出逐步放大的圖形.具體就是曲線上一點P附近的圖形放大再放大，是“局部以直代曲”的思想根源.

第二階段：例題的探究，達到概念的“局部懂”

在“朦朧懂”后，我們的頭腦中往往有一個抽象的概念模型，這需要用具體例子來試一試，以判斷對概念的“懂”的程度.因此例題的學習是一個具體化的過程，在這一過程中，不要怕出錯，要敢于試，尤其要從不太懂的角度去探究，需要同學們結合剛剛學習的概念多角度去分析、解答.

例 已知f（x）=x?，求曲線y=f（x）在x=2處的切線斜率.

分析這是教材上的一道例題，背景是利用割線斜率逼近切線斜率與導數之間的相互關聯，利用導數很容易求得斜率為4.

思考我們可以對例題進行多樣化的挖掘、探究，比如作出圖象加強直觀；還可以取△x<0進行比較；有條件的同學還可以利用計算機分別演示數值逼近和圖形逼近的過程，生動形象度和可信度大大增加.

以上從多個側面探究導數的概念，通過例題，我們要弄懂例題中關注的局部，形成一個個“局部懂”.

第三階段：練習的解答，達到概念的“變式懂”

在“局部懂”后，我們頭腦中的知識和方法往往是雜亂無章的，需要梳理，尤其需要依白己的認知去梳理.因此我們要把握好課堂上老師留出的小段練習時間，將課堂上的練習題——例題的“變式”逐一擊破.我們要在變式學習中，讓一個個“局部懂”連起來.

練習（1）直線ι是拋物線y=0.5x?-4x+10在x=6處的切線，求直線ι在y軸上的截距；

（2）直線ι是曲線y=f（x）在x=4處的切線，且切點坐標為（4，5），又ι的縱截距為3，求f'（4）的值；

（3）分別求曲線y=x?+2x在點A（l，1）及點B（-1，-3）處的切線方程.

解（1）由題意得：y'=x-4，所以切線的斜率為2.

又因為切點坐標為（6，4），由直線方程的點斜式可得直線方程為：y-4=2（x-6），即為：y=2x-8.

令x=0得y=-8，所以直線ι在y軸上的截距為 8.

（2）因為ι的縱截距為3，所以直線過點（0，3），結合ι過切點（4，5），由直線方程的兩點式可得ι的方程為，化解得ι的斜率為1/2，所以f'（4）=1/2

（3）易得：y'=2x+2，所以曲線在點A，B處的斜率分別為：0和4，對應的切線方程分別為：y=1和y=4x+l.

評注這是一組教材后的課堂練習題，相對例題而言更強調的是對概念本質的理解.抓住切點、切線、斜率等幾個相關聯的關鍵詞，將導數的幾何意義充分理解、消化、吸收，這組問題就迎刃而解了.

思考三個練習題從不同層面詮釋了利用導數求切線時的各種關聯，一方面利用方程組的理念也可以求解切線的相關問題，另一方面利用導數可以優化解題.但過程當中對概念的理解要透徹，從單純的模仿到帶有創造性的模仿，是一個飛躍.

該問題中有一個容易出現理解偏差的詞“在……處”，這個詞與“過……點”常常混淆，在練習中，要通過多次反復的強化，逐步融于自己的知識結構中，而不應該通過記憶來學習.說了這一問題，有可能一些同學要問：是不是要死磕一些詞呢？不一定，有些概念的真正“懂”要經過多次反復，因此在課堂練習中更應該關注主流、重點，跟上課堂節奏，不應該在個別處“轉圈”.

第四階段：作業的自測，達到概念的“升華懂”

由于課堂上時空的制約，“變式懂”也只是在課堂中的懂，這種懂往往是瞬時的，課后，應該及時復習鞏固，讓“懂”升華.下面通過一個問題的探究，希望對大家有所啟發.

問題設函數，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0.

（1）求y=f'（x）的解析式；

（2）證明：曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=O和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

略解（1）根據曲線y=f（x）在點（2，f（2》處的切線方程為7x-4y-12=0可知，（2，f（2））滿足函數方程，且f；（2）=7/4，列方程組可求得

（2）求出f（x）在任一點（o，yo）處的切線方程，分別令x=0和y=x，求出切線與y軸及與y=x交點的坐標，表達出面積的關系式，再消去變量，求得定值為6.

思考本題旨在通過對導數的幾何意義和解析幾何中的定值問題的探究，提高對導數的整體認識，在提升推理論證能力和運算求解能力的同時，導數概念在頭腦中也得到升華.

課堂上的理解程度受很多因素的影響，但追根溯源必須要對概念有深刻的理解，對典型問題要問一問為什么，對課堂練習要問一問像不像，對課后作業要問一問怎么做，作業做好后要問一問是否還有其他方法.

學習中的每個階段，我們應該跟上甚至超越，這樣才是真正的“懂”.