淺析數形結合思想的應用

王燕兵

【摘 要】數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的;或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的。

【關鍵詞】數學結合;數學教學;思想方法

下面談一談數形結合的幾種常見類型。

一、由數想形，直觀顯現

例1.設a、b是兩個實數，A={（x，y）|x=n，y=na+b}（n∈Z），B={（x，y）|x=m，y=3m2+15}（m∈Z），C={（x，y）|x2+y2≤144}，討論是否存在a，b，使得A∩B≠φ與（a，b）∈C同時成立。

分析：集合A、B都是不連續的點集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含義就是“存在a、b使得na+b=3n2+15（n∈Z）有解（A∩B時x=n=m）。再抓住主參數a、b，則此問題的幾何意義是：動點（a，b）在直線L：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，但原點到直線L的距離≥12。

解：由A∩B≠φ得：na+b=3n2+15;

設動點（a，b）在直線L：nx+y=3n2+15上，且直線與圓x2+y2=144有公共點，

所以圓心到直線距離d= 12

∵n為整數 ∴上式不能取等號，故a、b不存在。

評注：集合轉化為點集，而用圖形進行研究。此題也屬探索性問題用數形結合法解，其中還體現了主元思想、方程思想，并體現了對有公共點問題的恰當處理方法。

二、用“數”說“形”

例2.已知曲線C1：y=3x+4x，曲線C2：y=5x，試判斷曲線C1與曲線C2的交點個數。

分析：因難準確畫出曲線C1的圖象，因此通過直接觀察C1與C2的圖象而判斷交點個數是難以解決。由y=3x+4xy=5x，得3x+4x=5x，兩邊除以5x，使方程的一邊得到簡化，得 x=1。聯想指數函數的單調性即易得解。

解：由y=3x+4xy=5x，得3x+4x=5x。

易知x=2是方程的解。故曲線C1與曲線C2有一個交點。

評注：本題是一個有關“形”的問題，通過代數變換，即用“數”的方法，說明了“形”的道理。當然為使“數”具備較強的說服力，還可再用“形”輔助說明。

總之，數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。數形結合思想在高中數學的思想方法中占有非常重要的地位，從上面所舉的例子中，可以看出：數形結合思想的“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合;應用數形結合思想，就是要充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決。