數學教學中的舉例淺析

吳艷 楊有龍

摘要：講授數學課時，準確而恰當地應用日常事例，可以起到講解明了清晰、淺顯易懂的教學效果。本文旨在探討講授數學課時的舉例藝術，針對高等數學微積分教學中的集合、無限與有限等概念的講授進行了舉例分析。

關鍵詞：微積分;數學教育;教學方法;高等教育

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）05-0137-02

一、引言

據光明日報2015年01月14日的報道，在日前舉行的第十屆“蘇步青數學教育獎”頒獎儀式上，中科院院士、復旦大學數學科學院李大潛教授針對當前中學數學教學中存在的一些突出問題，提出了自己的見解。李大潛院士表示，我們往往把數學看成一堆定義、公式、定理及證明的堆積，千方百計地要把這些知識灌輸到學生的頭腦中去，卻忘記了數學教育最根本的三件事：一是數學知識的來龍去脈;二是數學的精神實質和思想方法;三是數學的人文內涵。李院士說：“為什么有很多人覺得數學枯燥無味、過于抽象、高不可攀，因而望而生畏，甚至避之唯恐不及呢？我覺得數學教師有責任，我們數學家更有責任?！?/p>

課堂講授是十分細致、十分復雜和需要超常的藝術才能完成的活動。教學中常見的一種現象是照搬講稿，滿口的科學名詞和文縐縐的語句，使人感到干癟、生硬。對于這樣的講授，或許指不出什么錯誤，但本身就失去了“享受知識傳播”的意義。人常說：“話有三說，巧說為妙。”同一件事會因講解者的言詞和神態的不同而產生完全不同的效果，那么，怎樣才能做到“巧說”呢？

微積分是理工科一年級大學生的必學內容，這些內容在中學有所接觸，但僅僅是學習了一些皮毛或者最初始的概念和計算，如果大學的微積分課堂教學僅僅就事論事，很難在學生中產生課堂共鳴。美國數學家洪斯貝爾說：“把數學同音樂相比往往是很合適的，蹩腳的演奏會把迷人的樂曲搞得一團糟。同樣，拘泥于合理程式的講解，也會使許多光彩奪目的數學思想弄得黯然失色?！比绾问褂糜腥ざ子诶斫獾膶嵗龑祵W思想深入課堂就值得我們深思和研究，許多文獻[1-8]研究和探討了微積分的教學方法[1-7]和教材建設[8]，本文針對教學中的集合、有限、無限等有關概念進行舉例和論述，以期達到拋磚引玉的目的。

二、看不懂的集合悖論

1903年，英國數學家羅素提出了一個著名悖論：以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。這里的語言聽起來頗是拗口，學生理解起來需細細琢磨。通過詢問N是否是它自身的成員引出矛盾。一方面如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N，也就是說N不是它自身的成員;另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M，也就是說N是它自身的成員。無論出現哪一種情況都將導出矛盾的結論，學生對此不可思議。如果教師就這樣照本宣講，不僅自己講起來太過制式化，很難引起學生的注意力，而且講解過程很難與學生產生共鳴。

假設教師首先講解羅素給出的通俗例子，即俗稱的“理發師悖論”：有一天，薩維爾村理發師掛出一塊招牌：“村里所有不自己理發的人都由我給他們理發，我也只給這些人理發。”于是有人問理發師：“你的頭發由誰理呢？”這名理發師該怎么回答？是啞口無言嗎？讓學生分析這個例子：如果理發師給自己理發，那么他就屬于自己給自己理發的那類人;但是，招牌上說明他不給這類人理發，因此這個理發師不能自己給自己理發。如果由另外一個人給他理發，該理發師就是不給自己理發的人，而招牌上明明說他要給所有不自己理發的男人理發，因此，他應該自己給自己理發。由此可見，不管怎樣的推論，理發師所說的話總是自相矛盾的。

通過理發師悖論的自然鋪墊，可抽象出M與N集合：M表示薩維爾村自我理發的人的集合;N表示薩維爾村所有不自己理發的人的集合。那么理發師屬于那一個集合？若理發師屬于M，意味著他給自己理發，根據“村里所有不自己理發的人都由我給他們理發，我也只給這些人理發”，則知道他不給自己理發，即理發師屬于N。同理若理發師屬于N，意味著他不給自己理發，根據“村里所有不自己理發的人都由我給他們理發，我也只給這些人理發”，則知道他要給自己理發，即理發師屬于M。因此無論哪種情形，都有理發師屬于M也屬于N的矛盾結果。

由此教師還可讓學生模仿舉例，給出提出自己的悖論，達到舉一反三的結果。事實上，在當時羅素悖論以其簡單明了震驚了整個數學界，它的提出，造成了數學發展史上的第三次數學危機，同時也加快了人們將集合論公理化的進程。

三、有限與無限

學習高等數學首先要接觸無限與有限的概念，而它們在性質上有很大的差異，不能用有限的眼光看無限的問題。為了闡述無限與有限的差異?？膳e這樣的例子：操場上有一排中學生，如果知道任意兩個男生之間有女生，而且任意兩個女生之間有男生。那么，或者男女人數相等，或者至多相差一個。這是再明顯不過的事實。但是，在無限范圍內卻不成立。例如任意兩個無理數之間都有有理數，任意兩個有理數之間也有無理數，但是，無理數卻比有理數多得多。這樣一講，學生對無限與有限的概念，在性質上的差異有了感性與理性上的深刻認識。

簡單地說，有限個元素組成有限集合;無限個元素組成無限集合。然而學生如何理解有限集合與無限集合的本質區別？可舉這樣的例子：（有限情況）假設某酒店有n間房，每間房可剛好接待住宿一人，某天來了n個人，每人剛好分配一間房住宿。顯然此時若再多來一人，酒店也無能為力。（無限情況）假設某酒店有無限間房，分別表示為1，2，3，…，n，…，每間房可剛好接待住宿一人，某天來了無限個人，分別表示為r1，r2，r3，…，rn，…，每人剛好分配一間房住宿，即rn住進第n間房。那么此時若再多來一人s1，酒店也無能為力嗎？聰明的同學在老師提示下，很快就有了答案：讓rn住進第rn+1間房，空出來的第一間房就滿足了s1的住宿需求。若此時不是來一人，而是來了無限個人s1，s2，s3，…，sn，…，酒店還能提供房源嗎？顯然可讓rn住進第2n間房，空出來的奇數間房就滿足了需求，即可讓sn住進第2n-1間房。教師從這個例子出發就可引入有限集合與無限集合的本質區別：有限集一定比他的真子集元素多;無限集存在真子集與其對等。

再例如著名的芝諾悖論，跑神阿基里斯和烏龜賽跑的故事，烏龜提前跑了100米距離，假設阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍，這樣當阿基里斯跑了100米時，到達了烏龜原來的出發點，而烏龜也向前跑了10米;當阿基里斯再向前跑10米時，烏龜也向前跑了1米，……，如果這樣繼續下去。可以看出，被追趕者總是在追趕者的前面了，因為追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置，所以可以得出結論，阿基里斯永遠追不上烏龜！

這個結論與我們生活中的實際情況明顯相矛盾！甚至當時有人說，讓芝諾站在豹子前面100米試試，豹子是否也追不上他？但當時的古希臘人卻沒有從理論上給出令人信服的解答。他們之所以被這個問題困惑了幾千年，主要的原因是還沒有完全了解到，雖然無限過程需要無限個時間段來計算，但這無限時間段的總和卻可以是一個有限的數值，例如+++…+=1。通過這樣的生動例子介紹，同學們就很快進入這種情景里，引人入勝，環環相扣，使學生對極限的學習有了強烈的欲望，并留下深刻的印象。

四、總結

課堂教學很重要的一點就是要有吸引力，能夠將學生的眼睛、注意力、身心抓住，使得他們跟著教師的一言一行而動，老師的法寶就是用淺顯易懂、生動形象的例子將難以理解的概念、性質、定理等內容進行引入、講解，這樣的例子往往令學生久久回味、很難忘掉[1-8]。日常生活中的事兒，看起來似乎平淡無奇，細想起來卻常常可以發現其中蘊涵著深刻的道理。所以說生活給我們提供了豐富而有益的營養，等待我們去發現、去聯想、去挖掘，留意生活中的現象，并把他們與教學聯系起來，常?？梢垣@得準確而淺顯的比喻或實例。雖然講授數學課時的舉例藝術，只是講授藝術這個浩瀚大海中的一朵小浪花，但我們授課時如果“舉例”運用自如、恰如其分，也會起到意想不到的效果。

參考文獻：

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