類比舊知探新知，實踐“單元教學”——以“一元一次不等式”起始課教學為例

☉江蘇泰州市姜堰區實驗初級中學黃華

類比舊知探新知，實踐“單元教學”——以“一元一次不等式”起始課教學為例

☉江蘇泰州市姜堰區實驗初級中學黃華

近讀《中學數學》（初中版），不少課例都在踐行專家教師李庾南老師的“單元教學”思想，對很多課例的大膽取舍、精巧設計令人嘆服.于是在最近一次教學研討活動中，筆者有機會執教一元一次不等式的教研課，決定丟開教材，基于自己多年來對一元一次不等式全章的理解和教學經驗，嘗試了一次“單元教學”，得到了聽課老師的一致好評.本文先呈現該課的教學設計，并跟進闡釋相關教學立意，供研討.

一、“一元一次不等式”起始課教學設計

（一）生活情境，引入新課

出示一組生活情境.

問題1：從圖片中我們看到姚明的個頭要比拜納姆高，若用a表示姚明的身高，拜納姆的身高用b表示，則a與b的關系可表示為__________.

問題2：據報道，神舟七號載人航天飛行取得圓滿成功.這一成功將給我國帶來1000多億元的經濟效應，超過了“神舟七號”工程的總投資的40倍.你知道“神舟七號”工程的總投資最多是多少億元？若設“神舟七號”工程的總投資為x億元，則上述關系可用式子表示為：__________.

問題3：蘇通大橋是當今世界跨徑最大的斜拉橋，總投資86億元.在其經營期內，收回投資不成問題.在其正式通車前的試運行期內，已獲得2億多元的旅游及其他收入.據預測，通車后蘇通大橋的年純收入約7億多元，那么，通車后至少要多少年才能收回全部投資開始盈利？若設x年后收回全部投資開始盈利，則可得：_________.

預設：學生可以列出不等式a＞b，1000＞40x（40x＜1000），7x+2≥86.

追問1：上述式子是等式嗎？為什么？

追問2：你能不能類比“等式”給這些式子一個名稱？（不等式）

追問3：根據你的理解，什么樣的式子叫作不等式？（引導學生說出“用不等號連接表示不相等關系的式子，叫作不等式）

設計意圖：學生類比等式定義給出不等式的定義，并引導學生基于類比的方法探索新知.（板書課題：不等式及其性質）

（二）師生互動，探究新知

活動1：類比一元一次方程的定義給一元一次不等式下定義

觀察兩個不等式：40x＜1000，7x+2≥86.

問題：它們有什么共同的特點？

活動2：類比一元一次方程的解的定義，給一元一次不等式的解與解集下定義

（1）你能檢驗x=24及x=25是否為方程40x=1000的解嗎？

追問：為什么x=25是？什么叫“方程的解”？引導學生說出：使方程成立的未知數的值是方程的解.

（2）已知數值：22、23、24、24.9、25、25.1、28、30.判斷：上述數值，哪些使不等式40x＜1000成立，哪些使之不成立？

追問1：類比方程的解的定義，x=25.1是否為不等式40x＜100的解？對照方程解的定義，你能說說什么是不等式的解嗎？

追問2：你能找出這個不等式的其他解嗎？這個不等式有多少個解？

追問3：x在什么范圍內時，不等式40x＜1000總成立？不成立呢？

預設定義：一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.

預設講評：不等式的解集必須滿足兩個條件：

（1）解集中的任何一個數值都使不等式成立；

（2）解集外的任何一個數值都不能使不等式成立.

活動3：數形結合描述解集

首先將40x＜1000的解集表示成x＜25，然后可以在數軸上直觀地表示出來（略）.

（三）解簡單的不等式

過渡：研究不等式的一個重要任務，就是求出不等式的解集.求不等式的解集的過程，叫作解不等式.

題1：下列說法正確的是（）.

A.x=3是2x＞1的解集

B.x=3不是2x＞1的解

C.x=3是2x＞1的唯一解

D.x=3是2x＞1的解

題2：下列數值哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？

-4、-2.5、0、1、2.5、3、3.2、4.8、8、12.

（四）類比等式的性質探究不等式的性質

過渡：世界上很多重大的發現都是從猜想開始的，根據你的猜想解一解下列不等式.

預設追問：

（1）你是怎樣想到這么解的？

（2）這樣解得到的不等式的解集對嗎？驗證一下！

預設互動：如學生解錯了（4），追問你對不等式的性質遷移有什么發現，正確的解集是什么；如學生將（4）解正確了，則讓學生比較（3）（4），你發現了什么？

（3）你對等式的性質遷移到不等式又有什么猜想？

預設解答：

性質1：不等式的兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變.

性質2：不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.

性質3：不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

追問：這樣的猜想對嗎？（引導學生對具體的數字不等式進行分類驗證）

設計意圖：由學生歸納等式性質與不等式性質的區別和聯系.通過類比發現二者的相同點和不同點，把知識系統化，提高思維的深刻性.適時地再次突出重點，突破性質3這個難點，為正確應用性質打好基礎.

③-3a__________-3b.（不等式性質_____）

④2a-5_________2b-5.（不等式性質_____）

⑤-5a+2_________-5b+2.（不等式性質_____）

挑戰練習：解不等式并在數軸上表示解集：（1）7x+ 2≤86；（2）4-2（x-3）＜4（x+1）.

預設互動：安排兩個學生上臺板演后追問：利用不等式的性質解不等式與解方程有什么共同點和不同點？

跟蹤練習：某次地震后，某部隊火速從距重災區45千米的機場出發，計劃1小時內趕到災區.行進了20分鐘，中途由于道路出現泥石流，官兵下車搶修道路，用了10分鐘，在剩下的路途中，至少以怎樣的速度行進，才能在規定時間前趕到？

（五）跟蹤訓練，鞏固新知

題1：判斷正誤

①由2＜4，可得2×3＜4×3.（）

②由2＜4，可得2a＜4a.（）

③由2x＞-4，可得x＞-2.（）

④由-2x＞4，可得x＞-2.（）

題2：已知a＜b，用“＞”或“＜”填空，并填寫理由.

①a-3_____b-3.（不等式性質_____）

（六）小結歸納，布置作業（略）

二、教學立意的進一步闡釋

以上整理了一元一次不等式單元教學的起始課教學設計，特別是各個教學環節、活動下面都預設了詳細的講評互動、追問預設等，為了進一步說明教學立意，以下再圍繞“單元教學”的操作要義給出三點闡釋.

1.單元教學起始課需要深刻理解整個單元的重、難點

由于單元教學起始課的教學內容常常涵蓋整個單元的大部分教學內容，包括新的概念、性質、方法，重要的例、習題類型等，這時預設單元教學起始課前需要深刻理解整個單元的所有重點、難點，這樣才能在起始課上實施必要的“有的放矢”，也才可能在起始課教學進程中，面對學生不同的“生成”做到精準點評、大膽擱置.比如在上文教學環節（三）中，只能安排解幾道簡單的不等式，初步理解解法、懂得不等式的解與解集的概念，因為系統研究一元一次不等式的解法尚待后續課時繼續探究.

2.單元教學起始課需要激活學生已有經驗或研究方法

對于一元一次不等式來說，它的知識生長點是等式性質和一元一次方程，無論是通過等式性質類比不等式性質，還是一元一次方程的概念、解法可以遷移到一元一次不等式中來，這些新知探究出來的方法靠的都是類比猜想、歸納概括，所以課堂駕馭時就需要通過引導學生回顧已有經驗、已熟悉的研究路徑或套路繼續研究新的內容.一方面可以探究出本課新知，另一方面也使得學生研究套路意識進一步強化.

3.單元教學起始課后需要跟進必要的習題訓練

由于單元教學起始課往往是新的定義、概念、性質超過傳統意義的新知概念第1課時，這樣的課堂教學必然會擠占必要的例、習題訓練的時間，這就需要在單元教學起始課后跟進必要的習題課，習題課的重點在于選題與互動式的講評.比如選題的典型性，由淺及深的變式拓展設計，講評后跟進的變式再測或聽課檢測，都是鞏固新知的必要手段.

三、寫在最后

當前數學素養成為數學教育研究的一項重要課題，特別是近兩年來，核心素養成為基礎教育中的熱點問題.但是，什么是數學素養，哪些是數學素養的核心和關鍵，研究者們還沒有形成統一的認識，這也造成了教師實踐中的困惑和問題.我們基于專家教師的“單元教學”實踐智慧，貼近學生實際、大膽整合教材，開展的單元教學起始課研究，試圖向學生傳遞數學的整體觀、研究數學新問題的套路意識等，是不是也可看成是培養數學核心素養的案例研究呢？

1.湯志良.步步有據：推導冪的運算性質——李庾南老師“冪的運算性質”課例賞析［J］.中學數學（下），2015（5）.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇錦華.從數學整體觀看單元教學［J］.中學數學教學參考（中），2015（11）.Z