摭談“類比推理”在初中數學中的應用

☉江蘇省泰州市高港區許莊初級中學王書霞

摭談“類比推理”在初中數學中的應用

☉江蘇省泰州市高港區許莊初級中學王書霞

類比推理是根據兩個對象之間的形同和相似進行推理計算的一種重要思想方法，是中學數學解題中的重要方法之一，通過類比推理能夠尋求解決問題的思路，可以使模糊的問題清晰化、復雜的問題簡單化.初中數學內容廣泛，很多內容如代數問題、幾何問題、方程問題、函數問題等都需要用到類比推理.本文結合具體案例簡要分析了類比推理的實際應用，以達到激活學生思維，提高學習效率的目的.

一、在代數問題中的應用

代數是初中數學的重要內容，是學生學習方程和函數的基礎，在中考數學中占有較大比重.在解決代數問題的過程中，教師要積極引導學生巧妙運用類比推理的方法，以幫助學生撥開迷霧，看到問題的實質，從而快速而有效地解決問題.比如，因式分解是初中代數的難點之一，學生對于稍微復雜一點的問題往往會束手無策，如果教師引導學生運用類比推理方法，那么就可以達到事半功倍的效果.

案例1因式分解（x+y-m-n）2-4（x-m）（y-n）.

分析：學生看到題目的第一感覺是難，主要原因是題目比較復雜，學生對于復雜因式分解的題目接觸少，以致有一種無從下手的感覺.此時，教師要發揮主導作用，幫助學生分析題目，通過觀察變形，學生可以發現題目前后兩部分之間聯系密切，與以前做過的一道題（a+ b）2-4ab很相似，可以把x-m看成a，把y-n看成b，然后，可以類比這道題的解題過程（a+b）2-4ab=a2+2ab+b2-4ab= a2-2ab+b2=（a-b）2就很容易解決了.

解：（x+y-m-n）2-4（x-m）（y-n）=［（x-m）+（y-n）］2-4（x-m）（y-n）=（x-m）2+2（x-m）（y-n）+（y-n）2-4（xm）（y-n）=（x-m）2-2（x-m）（y-n）+（y-n）2=［（x-m）-（yn）］2=（x-y-m+n）2.

由此可見，在代數解題中，應用類比推理方法可以培養學生的思維能力，大大縮短做題的時間，提高學生做題的效率.

二、在幾何問題中的應用

三角形和四邊形是初中數學的重要考點，在數學解題過程中，有很多幾何問題可通過類比推理的方法去解決，以達到高效快捷的效果.比如，特殊的四邊形是中考必考內容之一，也是綜合性很強的題目，往往有一定的難度，在解決此類問題時，可以選擇類比的方法，往往會取得意想不到的效果.

案例2如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形的外角平分線CF于點F，求證：AE=EF．

經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．

（1）如圖2，如果把“E是邊BC的中點”改為“E是邊BC上（除點B，C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“AE=EF”還成立嗎？

（2）如圖3，E是BC的延長線上（除點C外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”還成立嗎？

圖1

圖2

圖3

分析：這是一道綜合性的中考題，學生對于這種類型的題目往往一看就感覺很難，因此，有的學生甚至連題目沒有讀完就不看了，實際上如果學生仔細閱讀與分析，這道題非常簡單，學生只要類比小明的做法就很容易能證明出結論.（2）中可以在AB上取一點M，使AM= EC，即可證明△AME≌△ECF，然后得出結論.（3）中可以在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，也易證△ANE≌△ECF，從而得到AE=EF.

解：（1）成立.

證明：在AB上取一點M，使AM=BC，連接ME，如圖4.

所以BM=BE.所以∠BME=45°，所以∠AME=135°.

因為CF是外角平分線，所以∠DCF=45°，所以∠ECF=135°.

所以∠AME=∠ECF.

因為∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，所以∠BAE=∠CEF.

所以△AME≌△ECF.所以AE=EF.

圖4

圖5

（2）成立.

證明如下：在BA的延長線上取一點N.使AN=CE，連接NE，如圖5.所以BN=BE.所以∠N=∠FCE=45°.

因為四邊形ABCD是正方形，所以AD∥BE，所以∠DAE=∠BEA.所以∠NAE=∠CEF.所以△ANE≌△ECF，所以AE=EF.

三、在方程問題中的應用

解方程雖然在初中數學中的難度不是特別大，但由于學生學習數學基本遵循由特殊到一般的過程，因此，對于一些帶有字母系數的方程，學生解決起來感覺不是很順利，往往漏洞百出，如果運用類比推理的方法可大大降低出錯率，提高做題的速度.

案例3解關于x的方程：ax+b=cx+d（a≠c）.

分析：學生對于含有多個字母的方程往往有一種恐懼感，感覺無從下手，很多情況下直接選擇放棄，教師可以指導學生運用類比推理的方法去解決此類問題.可以把這個題目類比方程7x+5=2x-3的解題方法去解決就簡單多了.

解：ax+b=cx+d，ax-cx=d-b，（a-c）x=d-b.因為a≠c，所以a-c≠0，所以x=

此題的解題過程主要類比“7x+5=2x-3，7x-2x=-3-5，5x=-8，x=”這一解題過程得到，由此可見，運用類比推理具有較強的優越性.

四、在函數問題中的應用

函數是整個初中數學學習的重點和難點，函數內容在中考數學中占有很大的比重，也是學生失分最嚴重的題目，究其原因不僅是因為函數抽象性強，難度大，而且與學生不能正確運用合適的解題方法有直接關系.綜合性較強的函數題并不孤立存在，往往與其他的知識點有著千絲萬縷的聯系，學生要仔細觀察，認真分析，運用類比的方法往往會大大降低題目的難度，取得正確的解題思路和方法，迅速地得出結果.二次函數是中考的壓軸題，難度高、綜合性強，在解決此類題目時，可以運用類比推理去解決.

案例4在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點.

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值.

分析：第一問非常簡單，把A、O、B三個點代入去解方程組即可得出結果.第二問很多學生感覺很難，主要是不會求最小值的方法，此時，教師可以引導學生類比以前學習求最短距離的問題，通過作對稱點，利用兩點之間線段最短的道理，連接對稱點與另一個點，與對稱軸的交點即為所求的點，AB即為最短距離，然后利用勾股定理很容易就求得AM+OM的最小值.

解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點代入y= ax2+bx+c中，得y=-x2+x.

總之，類比推理是一種有效的數學解題方法，在初中數學中大膽運用類比推理不但可以達到溫故而知新的目的，而且可以培養學生的思維能力，使抽象復雜的數學問題簡單化，大大提高解題的效率.

1.陸欣蕓.類比推理在高中數學教學實踐中的應用探討［J］.學周刊，2016（1）.

2.林桂蓮.淺談類比法在初中數學教學中的應用［J］.教育教學論壇，2013（19）.H