重視閱讀材料挖掘數學文化——從2016年涼山州中考第24題談起

☉甘肅禮縣職業中等專業學校楊虎

重視閱讀材料挖掘數學文化——從2016年涼山州中考第24題談起

☉甘肅禮縣職業中等專業學校楊虎

一、試題呈現

試題：（2016年涼山州高中階段教育學校招生統一考試數學試題第24題）閱讀下列材料并回答問題：

古希臘幾何學家海倫（Heron，約公元50年），在數學史上以解決幾何測量問題而聞名.他在《度量》一書中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱為海倫公式.

我國南宋數學家秦九韶（約1202-約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：

下面我們對公式②進行變形：

這說明海倫公式與秦九韶公式實質上是同一公式，所以我們也稱①為海倫—秦九韶公式.

問題：如圖1，在△ABC中，AB= 13，BC=12，AC=7，⊙O內切于△ABC，切點分別是D、E、F.

（1）求△ABC的面積；

（2）求⊙O的半徑.

圖1

本題是一道材料閱讀、分析探究題，取材于人教版義務教育教科書數學八年級（下冊）二次根式一章中的閱讀與思考，材料題目是海倫—秦九韶公式，與原材料相比試題多了一問，即求三角形內切圓的半徑.筆者認為本題選題背景深邃而雋永，文化價值豐富而濃郁，問題解決簡約易推廣，是一道飽含豐富數學文化的試題.

二、試題解讀

1.選題背景深邃而雋永

（1）海倫公式來由.

海倫公式（Heron’s formula或Hero’s formula），又譯希羅公式、希倫公式、海龍公式，亦稱“海倫-秦九韶公式”.傳說是古代的敘拉古（希臘城邦）國王希倫（Heron，也稱海龍）二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求三角形面積.亦有認為阿基米德已經懂得這個公式，而由于《Metrica》是一部古代數學知識的結集，該公式的發現時期很有可能先于希羅的著作.其基本原理如下所示.

假設在平面內，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

注：“Metrica”（《度量論》）手抄本中用s作為半周長，所以兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長.

（2）海倫—秦九韶公式來由.

中國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣.

在我國《九章算術》中，已經有求三角形面積公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事.所以他們想到了三角形的三條邊.如果這樣做求三角形的面積也就方便多了.但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”.

秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.“術”即方法.三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個.相減后余數被4除，所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積.

由于任何邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式.比如說測量土地面積時，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案.

所謂“實”“隅”，指的是在一個方程p×2=q中，p為“隅”，q為“實”.于是S、a、b、c分別表示三角形面積、大斜、中斜、小斜（具體推導過程略），所以這一公式也被稱為“海倫-秦九韶公式”.

（3）幾個優美變式.

以下是這個公式的幾個優美變式，其中變式（4）就是秦九韶公式.

（4）關于公式的證明.

海倫公式的證明方法很多，最基本的思路是在給定的三角形中作內切圓，利用三角形相似來證明.中國古代的數學家梅文鼎在《平三角舉要》中，李善蘭在《天問或算》中，都給出了證法，其中利用勾股定理進行代數證明比較簡單，另外還有向量證法，三角函數證法，利用三角形的面積公式結合余弦定理證明等.限于篇幅，這里不做探究.

由此可以看出，這道試題以課本中的閱讀材料為平臺，以海倫公式為背景進行命題，不僅因海倫公式結構工整，形式漂亮，讓試題充滿了視角美，而且也因這個公式吸引好多人探索，讓試題具有了背景深邃、內涵雋永的無限韻味.

2.文化價值豐富而濃郁

（1）呼應課標數學文化要求.

數學文化是人類文化的重要組成部分，一直受到數學教育家的普遍關注.這一點在《數學課程標準》中有重要的體現.2001年《數學課程標準（實驗稿）》提出：“教材中要注重體現數學的文化價值，在對數學內容的學習過程中，教材可以在適當的地方插入介紹有關數發現與數學史的知識，豐富學生對數學發展的整體認識……”.時隔不久，2011年的《數學課程標準》又重申：“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中.為此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美……”.所以這道試題以海倫公式這一數學文化為背景命題是與《數學課程標準》的理念相呼應的.

（2）滲透國內外數學文化.

按照課程標準的建議，人民教育出版社出版的九年義務教育數學教材在閱讀與思考或實驗與探究欄目設置了一些與“數學文化”有關的內容，讓學生在數學學習過程中了解數學與自然及人類社會的聯系，進一步了解數學的價值.而本著這一理念，近年來的中考中蘊含豐富數學文化價值的試題頗受各地命題者的青睞，僅2016年這樣的試題就有不少，而本題更是以名人（古希臘幾何學家海倫）為引子，結合我國南宋時期的數學家秦九韶，給學生展現了優美的海倫-秦九韶公式.從數學史的角度看，世界上的每一個民族都有自己的數學史，而通過自己本國的語言、名人介紹同一個數學問題更能夠拉近學生心理上的距離，激發民族自豪感，增強學生對本國數學文化的理解與認同.所以在閱讀這道題時就能夠帶給學生心理上的親近感和視角上的震撼感，豐富而濃郁的數學文化價值體驗也油然而生，因而問題的求解也就自然而清新.

3.問題解決簡約易推廣

（1）解法.

①第（1）問的解法.

解法1：因a=BC=12，b=AC=7，c=AB=13，則p=16，于是由海倫公式S=

解法2：因為a=BC=12，b=AC=7，c=AB=13，于是由秦九韶公式：得S=

單從運算的角度看，利用海倫公式涉及a、b、c、p四個量，但是計算數值較小，運算量小不易出錯；利用秦九韶公式涉及a、b、c三個量，但是運算數字較大，運算量大.

②第（2）問的解法.

解：如圖2，連接AO、BO、CO、OD、OE、OF.由于⊙O內切于△ABC，于是OE⊥BC，OD⊥AB，OF⊥AC.設⊙O的半徑為r，則OD=OE=OF=r，不難看出S△ABC=S△AOB++S=（r13+12+7）=16r.△AOC

圖2

圖3

由第（1）問知S△ABC=24，于是16r=24，解得r=，即⊙O的半徑為.

（2）推廣.

根據試題第（1）問進行如下推廣.

推廣1：在任意內接于圓的四邊形ABCD中，設四條邊長分別為a、b、c、d，且則=

由試題第（2）問的求解易得如下推廣2.

三、反思與啟示

1.反思

從教師的角度分析，閱讀材料在教材中沒有教學要求，這部分看似“可有可無”的內容在教學中可能被教師一筆帶過甚至忽略.因此，在教學中認為只要學生在課余看一看、學一學就可以，抑或持一個無所謂的態度，任由學生“自生自滅”，沒有必要引導學生進行探究.這樣必然影響到學生對閱讀材料學習的態度，認為教師不作要求的內容沒有必要學習，因而影響了對閱讀材料的學習，忽視了閱讀材料中蘊含的重要的數學文化價值.

從學生的角度看，素質教育雖然進行了好多年，數學課程改革也進行得如火如荼，減負的口號也很響亮，然而學生的書包似乎并沒有輕多少.大都忙于教師布置的課堂作業、正式作業、課外作業，而很少意識到閱讀材料的存在.當然閱讀材料有一定的深度與難度，比較抽象，也會讓部分學生望而興嘆，失去學習與探索的興趣.

2.啟示

（1）重視閱讀材料，提升情感教育.

首先，閱讀材料是教學內容的補充和延伸，又是引導學生進行自主探究學習的好素材，充分體現了《數學課程標準》中新的教學理念，可以幫助學生了解數學文化，開拓學習視野，提升發散思維，是教材的重要組成部分.其次，閱讀材料豐富了數學課程資源，對教學的彈性預設提供了可能，結合學生的特長個性，有利于教學中因材施教和分層教學的實施.所以對于這部分內容，教師應當鼓勵、要求并引導學生去學習，教師重視了，學生的態度也會隨之改變；同時也應當借助中考試題的導向作用，將閱讀材料滲入課堂，逐步融入教學，汲取閱讀材料中的營養，從古今數學發展史，名人故事與名題，數學游戲與趣聞，特別是與我國數學史、數學家有關的題材等入手，讓數學教學因為閱讀材料而生動有趣，賦予內涵，進一步提高學生的數學學習興趣，使其理解數學，熱愛數學，增強學生的學習熱情、愛國熱情，真正做到情感教育與考試功能的有機結合.

（2）整合閱讀材料，挖掘數學文化.

閱讀材料中蘊含的數學文化不僅對揭示數學知識的來源與應用有著重要作用，而且對學生學習數學的積極性與創造性有引導作用.但是閱讀材料往往是在章末作為教材的補充以較小的篇幅呈現，缺乏知識的完整性與連續性，這就要求教師廣泛閱讀各種材料，整合閱讀材料，濃縮知識，領會編寫意圖，創造性地教學，將閱讀材料滲透到教學的各個環節；更要挖掘材料背后的數學文化價值，對材料中的定義與概念、公式和與定理、思想及方法進行認真思考和深度融合，并進一步探索如何在教學中將其展現給學生，讓學生插上探索的翅膀，盡情翱翔在閱讀材料教學的廣袤天空中，體驗數學文化的博大精深，實現數學文化的育人功能.

1.張安軍.數學文化視角下的中考試題賞析及思考［J］.教育實踐與研究，2016（6）.

2.張寧.數學文化：情感教育與考試功能有效結合的載體——以“數學文化”為背景的中考試題賞析［J］.中學數學（下），2014（3）.

3.盧多秀.義務教育初中數學課本中閱讀材料的教學體會［J］.中學數學教學，1995（4）.

4.人民教育出版社課程教材研究所.義務教育教科書數學八年級（下）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

5.梁紅京.充分發揮教材中閱讀材料的作用［J］.基礎教育課程，2008（9）.

6.搜狗百科.海倫公式［E］.http：//baike.sogou.com/ v89877.htm.Z